Aturan L'Hôpital

Hopital sin x by -0.5x

Dalam kalkulus, Aturan L'Hôpital merupakan sebuah teknik derivatif (turunan) yang berguna untuk menentukan nilai limit yang melibatkan bentuk tak tentu. Penerapan (atau penerapan berulang) aturan ini akan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tentu. Dengan demikian, nilai suatu limit dapat dengan mudah ditentukan. Aturan ini paling sering digunakan dalam bidang fisika, ekonomi dan masih banyak lagi.

Dalam bentuk yang paling sederhana, dalil l’Hôpital menyatakan bahwa untuk fungsi ƒ dan g yang dapat diturunkan pada selang terbuka , bisa jadi terdapat suatu titik dalam selang yang tidak terdefinisi. Jika

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\underset{x\to c}{lim}g(x)=0\text{ atau }\pm \mathrm{\infty },$ $g^{\prime }(x)\ne 0$ untuk semua di dengan ,

dan

$\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ ada,

maka

$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$

Sejarah

Guillaume de l'Hôpital (juga ditulis l'Hospital) memublikasikan aturan ini pada bukunya yang terbitkan pada tahun 1696 berjudul Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (terjemahan Inggris: Analysis of the Infinitely Small for the Understanding of Curved Lines), buku teks pertama dalam ilmu kalkulus diferensial. Meskipun demikian, aturan ini diyakini pertama kali ditemukan oleh matematikawan dari Swiss bernama Johann Bernoulli.

Bentuk umum

Bentuk umum dari aturan L'hopital dapat digunakan untuk menyelesaikan banyak kasus. Misal dan berupa bilangan real yang diperluas (bilangan real, tak hingga positif, atau tak hingga negatif) dan merupakan selang terbuka yang mengandung atau selang terbuka dengan akhiran (untuk limit sepihak atau limit di tak hingga dengan tak hingga). Fungsi dan diasumsikan dapat diturunkan pada , tetapi kemungkinan tidak dapat diturunkan pada , dan $g^{\prime }(x)\ne 0$ pada tetapi kemungkinan tidak pada . Diasumsikan pula bahwa $\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L.$ Dengan demikian, aturan ini dapat diterapkan ketika rasio turunan memiliki jumlah hingga maupun tak hingga, tetapi tidak ketika rasio turunan mengalami fluktuasi permanen saat semakin mendekat ke .

Apabila

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\underset{x\to c}{lim}g(x)=0$

atau

$\underset{x\to c}{lim}|f(x)|=\underset{x\to c}{lim}|g(x)|=\mathrm{\infty },$

maka

$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=L.$

Meskipun kita menulis x → c, limit di atas bisa saja berupa limit sepihak (x → c⁺ atau x → c⁻).

Pranala luar

• l'Hôpital's rule at PlanetMath

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28473411 (2025-11-14T03:48:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.