Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz atau pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam matematika.

Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.

Pernyataan pertidaksamaan

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor $𝐮$ dan $𝐯$ dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwadengan $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor $𝐮$ dinyatakan dan didefinisikan dengan:$$\Vert 𝐮\Vert :=\sqrt{⟨𝐮,𝐮⟩}$$sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa $\Vert 𝐮{\Vert }^2=⟨𝐮,𝐮⟩,$ dengan $⟨𝐮,𝐮⟩$ selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika $𝐮$ dan $𝐯$ adalah vektor yang tergantung linear.

Kasus istimewa

Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif

Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif:$$\frac{{\left(\sum _{i=1}^n{u}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{v}_i}\le \sum _{i=1}^n\frac{u_i^2}{v_i}\text{atau}\frac{u_1^2}{v_1}+\frac{u_2^2}{v_2}+\cdots +\frac{u_n^2}{v_n}\ge \frac{{(u_1+u_2+\cdots +u_n)}^2}{v_1+v_2+\cdots +v_n}.$$Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di ${ℝ}^n$ dengan memasukkan$${u_i}^{\prime }=\frac{u_i}{\sqrt{v_i}}\text{ dan }{v_i}^{\prime }=\sqrt{v_i}.$$ Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Ruang Euklides dimensi-

Dalam ruang Euklides ${ℝ}^n$ dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai$${\left(\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{u}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{v}_i^2\right)$$Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di $x$ di bawah berikut adalah:$$0\le (u_{1}x+v_1{)}^2+\cdots +(u_{n}x+v_n{)}^2=(\sum u_i^2)x^2+2(\sum u_i{v}_i)x+\sum v_i^2.$$Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk $x,$ sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,$${\left(\sum _i{u}_i{v}_i\right)}^2-\left(\sum _i{u}_i^2\right)\left(\sum _i{v}_i^2\right)\le 0,$$

Ruang kompleks bidang-

Jika $𝐮,𝐯\in {ℂ}^n$ dengan $𝐮=(u_1,\dots ,u_n)$ dan $𝐯=(v_1,\dots ,v_n)$, dan $u_1,\dots ,u_n\in ℂ$ dan $v_1,\dots ,v_n\in ℂ$; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor ${ℂ}^n$merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan $⟨𝐮,𝐯⟩:=u_1\overline{v_1}+\cdots +u_n\overline{v_n},$ dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:$${\left|\sum _{i=1}^n{u}_i{\overline{v}}_i\right|}^2\le \sum _{j=1}^n|u_j{|}^2\sum _{k=1}^n|v_k{|}^2,$$atau dengan kata lain,$$|u_1{\overline{v}}_1+\cdots +u_n{\overline{v}}_n{|}^2\le (|u_1{|}^2+\cdots +|u_n{|}^2)(|v_1{|}^2+\cdots +|v_n{|}^2).$$

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

${|{\int }_{{ℝ}^n}f(x)\overline{g(x)}dx|}^2\le {\int }_{{ℝ}^n}|f(x){|}^{2}dx{\int }_{{ℝ}^n}|g(x){|}^{2}dx.$

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28032903 (2025-10-16T20:06:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.