Lihat sumber Integral Berezin

Dalam [[fisika matematis]], '''Integral Berezin''', dinamai dari [[Felix Berezin]], (juga dikenal sebagai '''Integral Grassmann''', dinamai dari [[Hermann Grassmann]]) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada [[variabel Grassmann]] (anggota dari [[aljabar eksterior]]). Itu bukan sebuah integral dalam maksud [[integral Lebesgue]], kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat [[analogi]] dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang [[Rumus integral lintasan|integral lintasan]] dalam fisika, yang di mana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada [[fermion]].

== Definisi ==
Misalkan <math>\Lambda^n</math> adalah aljabar eksterior dari [[polinomial]] dalam anggota antikomutatif <math>\theta_1,\dots, \theta_n</math> dari bidang [[bilangan kompleks]]. (Urutan dari generator <math>\theta_1,\dots, \theta_n</math> tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)

=== Satu variabel ===
''Integral Berezin'' melebihi variabel tunggal Grassmann <math>\theta = \theta_1</math> didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear

: <math>\int [af(\theta)+bg(\theta)] \, d\theta = a\int f(\theta) \, d\theta + b\int g(\theta) \, d\theta, \quad a,b \in \Complex</math>

...di mana kita mendefinisikan...

: <math>\int \theta \, d\theta = 1, \qquad \int \, d\theta = 0 </math>

sehinggaː

: <math>\int \frac\partial{\partial\theta}f(\theta)\,d\theta = 0.</math>

Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan

: <math>\int (a\theta+b)\, d\theta = a, \quad a,b \in \Complex. </math>

Perhatikan bahwa <math>f(\theta) = a \theta + b</math> merupakan fungsi yang paling umum dari <math>\theta</math> karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi <math>f(\theta)</math> tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.

=== Beberapa variabel ===
''Integral Berezin'' dari <math>\Lambda^n</math> didefinisikan sebagai fungsi linear unik <math>\int_{\Lambda^n} \mathrm{d}\theta</math> dengan sifat-sifat berikut.

: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{n}\cdots\theta_{1}\,\mathrm{d}\theta=1,</math>
: <math>\int_{\Lambda^n}\frac{\partial f}{\partial\theta_{i}}\,\mathrm{d}\theta=0,\ i=1,\dots,n</math>

untuk setiap <math>f \in \Lambda^n</math>, di mana <math>\frac{\partial}{\partial \theta_i}</math> berarti [[turunan parsial]] kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya

: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{1}\cdots\theta_{n}\,\mathrm{d}\theta:=1.</math>

Rumus

: <math>\int_{\Lambda^n}f(\theta) \mathrm{d}\theta=\int_{\Lambda^1}\left( \cdots \int_{\Lambda^1}\left(\int_{\Lambda^1}f(\theta) \, \mathrm{d}\theta_{1}\right) \, \mathrm{d}\theta_2 \cdots \right)\mathrm{d}\theta_n</math>

mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial <math>f = g(\theta ' )\theta_1</math> diatur menjadi <math>g(\theta ')</math>, di mana <math>\theta'=\left(\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\right)</math>, integral dari <math>f=g (\theta')</math> menghilang. Integral dengan terhadap <math>\theta_2</math> dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.

=== Perubahan dari variael Grassmann ===
Misalkan <math>\theta_{i}=\theta_{i}\left(\xi_{1},\ldots,\xi_{n}\right),\ i=1,\ldots,n</math>, adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris <math>\xi_1,\dots,\xi_n</math>. Matriks Jacobian bisa ditulis

di mana <math>\frac{\partial}{\partial \xi_j}</math> merujuk turunan sebelah kanan (<math>\frac{\partial(\theta_1\theta_2)}{\partial\theta_2} = \theta_1, \; \frac{\partial(\theta_1\theta_2)}{\partial \theta_1} = -\theta_2</math>). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

: <math>\int f(\theta)\mathrm{d}\theta=\int f(\theta( \xi))(\det D)^{-1}\mathrm{d}\xi.</math>

== Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil ==

=== Definisi ===
Sekarang pertimbangkan aljabar <math>\Lambda^{m \mid n}</math> dari fungsi dari variabel komutatif real <math>x = x_1, \dots, x_m</math> dan variabel antikomutatif <math>\theta_{1},\ldots,\theta_{n}</math> (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi <math>(m|n)</math>). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi <math>f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari variabel <math>m </math> genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel <math>n</math> ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota <math>f = f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari argumen <math>x</math> yang bervariasi di himpunan terbuka <math>X \subset \mathbb{R}^m</math> dengan nilai di aljabar <math>\Lambda^n </math>. Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak <math>K \subset \mathbb{R}^m</math>. Integral Berezin adalah

: <math>\int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta \mathrm{d}x=\int_{\R^{m}}\mathrm{d}x\int_{\Lambda^{n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta.</math>

=== Perubahan variabel genap dan ganjil ===
Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh <math>x_{i}=x_{i} (y,\xi),\ i=1,\ldots,m;\ \theta_{j}=\theta_{j} (y,\xi),j=1,\ldots, n</math>, di mana <math>x_i</math> genap dan <math>\theta_j</math> adalah polinomial ganjil dari <math>\xi</math> bergantung pada variabel genap <math>y</math>. Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

: <math>\mathrm{J}=\frac{\partial(x,\theta)}{\partial (y,\xi)}= \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix},</math>

di mana setiap turunan genap <math>\frac{\partial}{\partial y_j}</math> komuter dengan semua anggota dari aljabar <math>\Lambda^{m \mid n} </math>, turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal <math>A = \frac{\partial x}{\partial y}</math> dan <math>D = \frac{\partial \theta}{\partial \xi}</math> adalah genap dan entri dari blok off-diagonal <math>B = \frac{\partial x}{\partial \xi}</math>, <math>C = \frac{\partial \theta}{\partial y}</math>, di mana <math>\frac{\partial}{\partial \xi_j} </math> lagi berarti ''turunan kanan''.

Kita sekarang perlu [[Berezinian]] (atau superdeterminan) dari matriks <math>\mathrm{J}</math>, yang di mana fungsi genap

: <math>\mathrm{Ber~J}=\det\left( A-BD^{-1}C\right) \det D^{-1}</math>

mendefinisikan ketika fungsi <math>\det D</math> invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam <math>\Lambda^{m \mid n} </math>. Andaikan bahwa fungsi real <math>x_i = x_i(y,0)</math> mendefinisikan pemetaan invertible mulus <math>F : Y \to X</math> dari himpunan terbuka <math>X, Y</math> dalam <math>\mathbb{R}^m</math> dan bagian linear dari <math>\xi \mapsto \theta = \theta(y, \xi) </math> invertible untuk setiap <math>y \in Y </math>. Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

: <math>\int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}x=\int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \mathrm{Ber~J~d} \xi\mathrm{d}y =\int_{\Lambda^{m\mid n}}f (x(y,\xi),\theta (y,\xi))\varepsilon\frac{\det\left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}y,</math>

di mana <math>\varepsilon=\mathrm{sgn}\left(\det \left(\frac{\partial x(y,0)}{\partial y} \right) \right)</math> adalah tanda dari awalnya  pemetaan <math>F</math>. Superposisi <math>f(x(y,\xi),\theta(y,\xi))</math> mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi <math>x_{i}(y,\xi)</math> tidak bergantung pada <math>\xi</math>. Dalam kasus umum, kita tulis <math>x_{i}(y,\xi) = x_i(y,0) + \delta_i</math>, di mana <math>\delta_{i}, i=1,\ldots,m</math> adalah anggota nilpoten genap dari <math>\Lambda^{m \mid n} </math> dan himpunan

: <math>f(x(y,\xi),\theta) =f(x(y,0),\theta) +\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}\delta_{j}+ \cdots</math>,

di mana [[deret Taylor]] terbatas.

== Rumus yang berguna ==
Rumus berikut untuk integral Gaussian digunakan kerap kali dalam [[rumus integral lintasan]] dari [[teori medan kuantum]]ː

*<math>\int \exp\left[-\theta^TA\eta\right]\ \mathrm{d}\theta \ \mathrm{d}\eta = \det A </math>

dengan <math>A</math> menjadi sebuah matriks <math>n \times n</math> yang kompleks.

<math>\int \exp\left[- \tfrac{1}{2} \theta^T M \theta\right] \, \mathrm{d} \theta = \begin{cases} \mathrm{Pf}\, M & n \mbox{ genap} \\ 0 & n \mbox{ ganjil} \end{cases}</math>

dengan <math>M</math> menjadi sebuah matriks miring simetris <math>n \times n </math> yang kompleks, dan <math>\text{Pf} \ M</math> menjadi Pfaffian dari <math>M</math><math>M </math>, yang memenuhi <math>(\text{Pf}\ M)^2 = \det M</math>.

Rumus di atas, notasi <math>\mathrm{d}\theta = \mathrm{d}\theta_1 \cdots \mathrm{d}\theta_n </math> digunakan. Dari rumus-rumus ini, rumus berguna lainnya berikutː

*<math>\int \exp\left[-\left(\theta^TA\eta +\theta^T J + K^T \eta \right)\right] \,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\eta = \det A \,\,\exp[-K^T A^{-1} J ] </math>

dengan <math>A </math> menjadi sebuah matriks <math>n \times n </math> invertible. Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari [[Fungsi partisi (matematika)|fungsi partisi]].

== Sejarah ==
Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh [[Felix Berezin]]. Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh [[David John Candlin]] di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam, dan Martin.

== Literatur ==

* Theodore Voronov: ''Geometric integration theory on Supermanifolds'', Harwood Academic Publisher,
* Berezin, Felix Alexandrovich: ''Introduction to Superanalysis'', Springer Netherlands,

== Lihat Pula ==

* [[Supermanifold]]
* [[Berezinian]]

== Referensi ==



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Berezin&oldid=28660203 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28660203 (2025-12-04T07:42:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.