Lihat sumber Himpunan lonjong

Dalam [[matematika]], '''himpunan lonjong'''  (disebut pula '''himpunan basis''' atau '''himpunan berakar''' ) adalah [[pasangan terurut]] <math>(X, x_0)</math> di mana <math>X</math> adalah satu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dan <math>x_0</math> adalah elemen dari <math>X</math> disebut '''titik dasar''', dieja sebagai '''titikdasar'''.

Peta antara himpunan lonjong <math>(X, x_0)</math> dan <math>(Y, y_0)</math> (disebut sebagai '''peta basis''', '''peta lonjong''', atau '''peta preserving titik''') adalah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari <math>X</math> untuk <math>Y</math> dengan memetakan satu titik dasar ke titik lainnya, yaitu peta <math>f \colon X \to Y</math> dengan <math>f(x_0) = y_0</math>. Dilambangkan dengan

: <math>f \colon (X, x_0) \to (Y, y_0)</math> .

Himpunan lonjong adalah [[struktur aljabar]] sederhana. Dalam pengertian [[aljabar universal]], himpunan lonjong adalah himpunan <math>X</math> dengan satu [[Ariti|operasi nullari]] <math>*: X^0 \to X,</math> memiliki titik dasar. Peta lonjong adalah [[Homomorfisma|homomorfisme]] dari struktur aljabar.

[[Kelas (teori himpunan)|Kelas]] dari semua himpunan lonjong dengan kelas dari semua peta berbasis membentuk sebuah [[Teori kategori|kategori]]. Dalam kategori ini [[Himpunan singleton|hmpunan singleton lonjong]] <math>(\{a\}, a)</math> adalah [[Objek initial|objek awal]] dan [[objek terminal]], yaitu [[objek nol]]. Terdapat [[Funktor feithful|funktor setia]] dari himpunan menunjuk ke himpunan biasa, tetapi tidak lengkap dan kategori ini tidak [[Ekuivalen kategori|ekuivalen]]. Secara khusus, [[himpunan kosong]] bukanlah himpunan lonjong karena tidak memiliki elemen yang dapat dipilih sebagai titik dasar.

Kategori himpunan lonjong dan peta rbasis ekuivalen dengan kategori himpunan dan [[fungsi parsial]]. Satu buku teks mencatat bahwa "Penyelesaian formal himpunan dan peta parsial dengan menambahkan 'tidak tepat', elemen 'tak hingga' diciptakan kembali berkali-kali, khususnya, dalam [[topologi]] ([[Pemadatan satu titik|kompalikasi satu titik]]) dan dalam [[ilmu komputer teoretis]]."

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong isomorfik dengan [[Kategori Coslice|kategori coslice]] <math>\mathbf{1} \downarrow \mathbf{Himpunan}</math>, di mana <math>\mathbf{1}</math> adalah satu set tunggal. Bertepatan dengan karakterisasi aljabar, karena peta unik <math>\mathbf{1} \to \mathbf{1}</math> memperluas [[Diagram komutatif|segitiga komutatif]]  yang mendefinisikan panah dari kategori coslice untuk membentuk [[Diagram komutatif|kotak komutatif]]  dengan mendefinisikan homomorfisme aljabar.

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong memiliki kedua [[Produk (teori kategori)|produk]] dan [[koproduk]], tapi itu bukan [[kategori distributif]]. Merupakan contoh kategori di mana <math>0 \times A</math> tidak isomorfik untuk <math>0</math>.

Banyak struktur aljabar merupakan himpunan lonjong dengan cara trivial. Misalnya, [[Grup (matematika)|grup]] adalah himpunan lonjong dengan [[elemen identitas]] sebagai titik dasar, sehingga grup [[Grup homomorfisme|homomorfisme]] merupakan peta yang mempertahankan titik. Pengamatan ini dapat dinyatakan kembali dalam istilah teoretis kategori sebagai keberadaan fungsi [[Funktor fogetful|fogertful]] dari grup ke himpunan lonjong.

Himpunan lonjong dapat dilihat sebagai [[ruang lonjong]] bawah [[topologi diskrit]] atau sebagai [[ruang vektor]] atas [[bidang dengan satu elemen]].

Sebagai "himpunan akar", gagasan tersebut secara alami muncul dalam studi [[antimatroid]] dan politopes transportasi.

== Lihat pula ==

*
*
*
*

== Referensi ==


== Pranala luar ==

* Kemunduran dalam Kategori Himpunan dan Fungsi Parsial
*
* Objek lonjong



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Himpunan+lonjong&oldid=29301986 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29301986 (2026-06-01T07:09:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.