Lihat sumber Teorema Midy

Dalam [[matematika]], '''Teorema Midy''', dinamai dari [[Prancis|ahli matematika Prancis]] E. Midy, adalah sebuah pernyataan tentang [[representasi desimal|ekspansi desimal]] dari [[Pecahan (matematika)|pecahan]] ''a''/''p'' di mana ''p'' adalah suatu [[bilangan prima]] dan ''a''/''p'' memiliki [[bilangan desimal berulang]] dengan [[bilangan genap|periode genap]] . Jika periode dari representasi desimal ''a''/''p'' adalah 2''n'', sehingga

<math display=block>\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}}</math>

maka digit pada paruh kedua dari periode desimal berulang merupakan [[komplemen 9]] dari digit yang bersesuaian pada paruh pertamanya. Dengan kata lain,

<math display=block>a_i+a_{i+n}=9 </math> <math display=block>a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1. </math>

Sebagai contoh,

<math display=block>\frac{1}{13}=0.\overline{076923}\text{ dan }076+923=999. </math> <math display=block>\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}\text{ dan }05882352+94117647=99999999. </math>

==Teorema Midy yang diperluas==
Jika ''k'' adalah suatu [[pembagi]] dari ''h'' (di mana ''h'' adalah banyaknya digit periode dari ekspansi desimal ''a''/''p'' (di mana ''p'' kembali merupakan bilangan prima)), maka teorema Midy dapat digeneralisasi sebagai berikut. '''Teorema Midy yang diperluas''' menyatakan bahwa jika bagian berulang dari ekspansi desimal ''a''/''p'' dibagi menjadi angka-angka yang masing-masing terdiri dari ''k'' digit, maka jumlahnya merupakan kelipatan dari 10<sup>''k''</sup> – 1.

Sebagai contoh, <math display=block>\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421} </math>
memiliki periode 18. Membagi bagian berulang menjadi angka-angka 6 digit dan menjumlahkannya menghasilkan <math display=block>052631+578947+368421=999999.</math>
Demikian pula, membaginya menjadi angka-angka 3 digit dan menjumlahkannya menghasilkan <math display=block>052+631+578+947+368+421=2997=3\times999.</math>

==Teorema Midy pada basis lain==
Teorema Midy dan perluasannya tidak bergantung pada sifat khusus ekspansi desimal, melainkan bekerja sama baiknya pada [[radiks|basis]] ''b'' apa pun, asalkan kita mengganti 10<sup>''k''</sup> – 1 dengan ''b''<sup>''k''</sup> – 1 dan melakukan penjumlahan dalam basis ''b''.

Sebagai contoh, dalam [[oktal]]

<math display=block>
\begin{align}
& \frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8 \\[8pt]
& 032_8+745_8=777_8 \\[8pt]
& 03_8+27_8+45_8=77_8.
\end{align}
</math>

Dalam [[duodesimal|dozenal]] (menggunakan dua dan tiga terbalik untuk sepuluh dan sebelas)

: <math>
\begin{align}
& \frac{1}{19}=0.\overline{076\mathcal{E}45}*{12} [8pt]
& 076*{12}+\mathcal{E}45_{12}=\mathcal{EEE}*{12} [8pt]
& 07*{12}+6\mathcal{E}*{12}+45*{12}=\mathcal{EE}_{12}
\end{align} </math>

==Pembuktian Teorema Midy==
Pembuktian singkat dari teorema Midy dapat diberikan menggunakan hasil dari [[teori grup]]. Namun, teorema Midy juga dapat dibuktikan menggunakan [[aljabar elementer]] dan [[aritmetika modular]]:

Misalkan ''p'' bilangan prima dan ''a''/''p'' pecahan antara 0 dan 1. Misalkan ekspansi ''a''/''p'' pada basis ''b'' memiliki periode ''ℓ'', sehingga

<math display=block>
\begin{align}
& \frac{a}{p} = [0.\overline{a_1a_2\dots a_\ell}]_b \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p}b^\ell = [a_1a_2\dots a_\ell.\overline{a_1a_2\dots a_\ell}]_b \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p}b^\ell = N+[0.\overline{a_1a_2\dots a_\ell}]_b=N+\frac{a}{p} \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p} = \frac{N}{b^\ell-1}
\end{align}
</math>

di mana ''N'' adalah [[bilangan bulat]] yang ekspansinya dalam basis ''b'' adalah string ''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>...''a''<sub>''ℓ''</sub>.

Perhatikan bahwa ''b''<sup>''ℓ''</sup> – 1 merupakan kelipatan ''p'' karena (''b''<sup>''ℓ''</sup> – 1)''a''/''p'' adalah bilangan bulat. Juga ''b''<sup>''n''</sup> – 1 bukan kelipatan ''p'' untuk nilai ''n'' yang lebih kecil dari ''ℓ'', karena jika tidak periode berulang dari ''a''/''p'' akan kurang dari ''ℓ''.

Sekarang misalkan ''ℓ'' = ''hk''. Maka ''b''<sup>''ℓ''</sup> – 1 merupakan kelipatan dari ''b''<sup>''k''</sup> – 1. (Untuk melihat ini, gantikan ''x'' untuk ''b''<sup>''k''</sup>; maka ''b''<sup>''ℓ''</sup> = ''x''<sup>''h''</sup> dan ''x'' – 1 adalah faktor dari ''x''<sup>''h''</sup> – 1.) Misalkan ''b''<sup>''ℓ''</sup> – 1 = ''m''(''b''<sup>''k''</sup> – 1), sehingga

<math display=block>\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.</math>

Tetapi ''b''<sup>''ℓ''</sup> – 1 merupakan kelipatan ''p''; ''b''<sup>''k''</sup> – 1 **bukan** kelipatan ''p'' (karena ''k'' kurang dari ''ℓ'' ); dan ''p'' prima; sehingga ''m'' harus merupakan kelipatan ''p'' dan

<math display=block>\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}</math>

adalah bilangan bulat. Dengan kata lain,

<math display=block>N\equiv0\pmod{b^k-1}. </math>

Sekarang bagi string ''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>...''a''<sub>ℓ</sub> menjadi ''h'' bagian sama panjang ''k'', dan biarkan ini merepresentasikan bilangan bulat ''N''<sub>0</sub>...''N''<sub>''h''–1</sub> dalam basis ''b'', sehingga

<math display=block>
\begin{align}
N_{h-1} & = [a_1\dots a_k]_b \\
N_{h-2} & = [a_{k+1}\dots a_{2k}]_b \\
& {}\  \   \vdots \\
N_0 & = [a_{l-k+1}\dots a_l]_b
\end{align}
</math>

Untuk membuktikan teorema Midy yang diperluas pada basis ''b'', kita harus menunjukkan bahwa jumlah dari ''h'' bilangan ''N''<sub>''i''</sub> merupakan kelipatan dari ''b''<sup>''k''</sup> – 1.

Karena ''b''<sup>''k''</sup> kongruen dengan 1 modulo ''b''<sup>''k''</sup> – 1, maka setiap pangkat ''b''<sup>''k''</sup> juga kongruen dengan 1 modulo ''b''<sup>''k''</sup> – 1. Maka

<math display=block>N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i</math> <math display=block>\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1}</math> <math display=block>\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}</math>

yang membuktikan teorema Midy yang diperluas di basis ''b''.

Untuk membuktikan teorema Midy yang asli, ambil kasus khusus di mana ''h'' = 2. Perhatikan bahwa ''N''<sub>0</sub> dan ''N''<sub>1</sub> keduanya direpresentasikan oleh string ''k'' digit pada basis ''b'', sehingga keduanya memenuhi

<math display=block>0 \leq N_i \leq b^k-1. </math>

''N''<sub>0</sub> dan ''N''<sub>1</sub> tidak mungkin keduanya sama dengan 0 (jika tidak ''a''/''p'' = 0) dan tidak mungkin keduanya sama dengan ''b''<sup>''k''</sup> – 1 (jika tidak ''a''/''p'' = 1), sehingga

<math display=block>0 < N_0+N_1 < 2(b^k-1) </math>

dan karena ''N''<sub>0</sub> + ''N''<sub>1</sub> adalah kelipatan dari ''b''<sup>''k''</sup> – 1, maka dapat disimpulkan bahwa

<math display=block>N_0+N_1 = b^k-1. </math>

==Korolari==
Dari hal di atas, <math display=block>\frac{am}{p}</math> adalah bilangan bulat

Maka <math>m \equiv 0 \pmod p</math>

Dan untuk <math>k = \frac{\ell}{2}</math>

<math display=block>b^{\ell/2}+ 1 \equiv 0 \pmod p </math>

Untuk <math>k = \frac{\ell}{3}</math> dan merupakan bilangan bulat

<math display=block>b^{2\ell/3} + b^{\ell/3} + 1 \equiv 0 \pmod p </math>

dan seterusnya.

==Referensi==


==Sumber==

*Rademacher, H. dan Toeplitz, O. ''The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur''. Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. 158–160, 1957.
*E. Midy, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". College of Nantes, France: 1836.
*[[Kenneth A. Ross|Ross, Kenneth A.]] "Repeating decimals: a period piece". ''Math. Mag.'' 83 (2010), no. 1, 33–45.


==Pranala luar==

*



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Midy&oldid=28347739 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28347739 (2025-11-05T00:32:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.