Lihat sumber Aljabar Boolean (struktur)

Dalam [[aljabar abstrak]], sebuah '''aljabar Boolean''' atau '''kekisi Boolean''' adalah [[kekisi kelengkapan|kelengkapan]] [[kekisi distributif]]. Jenis [[struktur aljabar]] ini menangkap sifat penting dari operasi [[himpunan (matematika)|himpunan]] dan operasi [[logika]]. Aljabar Boolean dapat dilihat sebagai generalisasi dari aljabar [[himpunan daya]] atau [[himpunan medan]], atau elemennya dapat dilihat sebagai [[nilai kebenaran]] yang digeneralisasi. Ini juga merupakan kasus khusus dari [[aljabar De Morgan]] dan [[aljabar Kleene (dengan involusi)]].

Setiap aljabar Boolean [[#gelanggang Boolean|tingkatan]] ke [[gelanggang Boolean]], dan sebaliknya, dengan perkalian gelanggang yang sesuai dengan [[konjungsi logika|konjungsi]] atau [[pertemuan (matematika)|pertemuan]] ∧, dan penambahan gelanggang ke [[eksklusif atau|disjungsi eksklusif]] atau [[perbedaan simetris]] (bukan [[disjungsi logika|disjungsi]] ∨). Namun, teori gelanggang Boolean memiliki asimetri yang melekat antara dua operator, sedangkan aksioma dan teorema aljabar Boolean menyatakan simetri teori yang dijelaskan oleh [[prinsip dualitas (aljabar Boolean)|prinsip dualitas]].


== Sejarah ==

Istilah "aljabar Boolean" sebagai tanda jasa oleh [[George Boole]] (1815–1864), seorang matematikawan Inggris yang belajar sendiri. Ia memperkenalkan [[sistem aljabar]] awalnya dalam pamflet kecil dengan buku ''The Mathematical Analysis of Logic'', diterbitkan pada tahun 1847 sebagai tanggapan atas kontroversi publik yang sedang berlangsung di antara [[Augustus De Morgan]] dan [[Sir William Hamilton, ke-9 Baronet|William Hamilton]], dan kemudian sebagai buku yang lebih substansial, buku ''[[The Laws of Thought]]'', diterbitkan pada tahun 1854. Rumus Boole berbeda dari yang dijelaskan di atas dalam beberapa hal penting. Misalnya, konjungsi dan disjungsi dalam Boole bukanlah operasi sepasang ganda. Aljabar Boolean muncul pada tahun 1860-an, dalam makalah yang ditulis oleh [[William Jevons]] dan [[Charles Sanders Peirce]]. Presentasi sistematis pertama dari aljabar Boolean dan [[kekisi distributif]] adalah berkat "Vorlesungen" 1890 dari [[Ernst Schröder]]. Perlakuan ekstensif pertama kali dari aljabar Boolean dalam [[bahasa Inggris]] adalah [[A. N. Whitehead]] 1898 ''Aljabar Universal''. Aljabar Boolean sebagai struktur aljabar aksiomatik dalam pengertian aksiomatik modern dimulai dengan makalah tahun 1904 oleh [[Edward V. Huntington]]. Aljabar Boolean muncul sebagai matematika dengan karya [[Marshall Stone]] pada 1930-an, dan dengan [[Garrett Birkhoff]] 1940 yang memperkenalkan ''Teori Kekisi''. Pada tahun 1960-an, [[Paul Cohen (matematikawan)|Paul Cohen]], [[Dana Scott]], dan lainnya menemukan hasil baru yang mendalam dalam [[logika matematika]] dan [[teori himpunan aksiomatik]] menggunakan cabang aljabar Boolean, yaitu [[paksaan (matematika)|paksaan]] dan [[model kenilaian Boolean]].

== Definisi ==

Sebuah '''aljabar Boolean''' adalah enam-[[tupel]] yang terdiri dari [[himpunan (matematika)|himpunan]] ''A'', dilengkapi dengan dua [[operasi biner]] ∧ (disebut "pertemuan" atau "dan"), ∨ (disebut "sambungan" atau "atau"), sebuah [[operasi uner]] ¬ (disebut "kelengkapan" atau "bukan") dan dua elemen 0 dan 1 di ''A'' (disebut elemen "bawah" dan "atas", atau "terkecil" dan "terbesar", yang dilambangkan dengan simbol ⊥ dan ⊤), sehingga untuk semua elemen ''a'', ''b'' dan ''c'' dari ''A'', [[aksioma]] berikut ini berlaku:

::
Perhatikan, pada hukum serapan dan bahkan hukum asosiatif dapat dikeluarkan dari himpunan aksioma karena mereka dapat diturunkan dari aksioma lainnya (lihat [[#Aksiomatis|Sifat pembuktian]]).

Aljabar Boolean dengan hanya satu elemen disebut '''aljabar Boolean trivial''' atau '''aljabar Boolean degenerasi''' (catatan: dalam karya-karya yang lebih tua, beberapa penulis mengharuskan 0 dan 1 menjadi elemen "berbeda" untuk mengecualikan kasus ini).

Ini mengikuti dari tiga pasang aksioma terakhir di atas (identitas, distributif dan komplemen), atau dari aksioma penyerapan, bahwa
::''a'' = ''b'' ∧ ''a'' &nbsp;&nbsp;&nbsp; jika dan hanya jika &nbsp;&nbsp;&nbsp; ''a'' ∨ ''b'' = ''b''.
Relasi ≤ yang didefinisikan oleh ''a'' ≤ ''b'' jika kondisi ekuivalen ini berlaku, adalah [[urutan parsial]] dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1. Pertemuan ''a'' ∧ ''b'' dan sambungan ''a'' ∨ ''b'' dari dua elemen bertepatan dengan [[infimum]] dan [[supremum]] yang sehubungan dengan ≤.

Empat pasang aksioma pertama merupakan definisi dari [[kekisi terbatas]].

Dari lima pasang aksioma pertama, setiap komplemen adalah unik.

Himpunan aksioma adalah [[dualitas (teori order)|hasil ganda]] dalam arti bahwa jika seseorang bertukar ∨ dengan ∧ dan 0 dengan 1 dalam aksioma yang hasilnya adalah aksioma. Oleh karena itu, dengan menerapkan operasi ini ke aljabar Boolean (atau kekisi Boolean), satu memperoleh aljabar Boolean lain dengan elemen yang sama; yang disebut juga sebagai '''dual'''.

== Contoh ==

* Aljabar Boolean non-trivial sederhana, dan [[aljabar Boolean dua elemen]] hanya memiliki dua elemen 0 dan 1, dan didefinisikan oleh aturan:

|
| width="30" |
|

|
| width="40" |
|


:* Ini memiliki aplikasi dalam [[logika]], menafsirkan 0 sebagai ''salah'', 1 sebagai ''benar'', ∧ sebagai ''dan'', ∨ sebagai ''atau'', dan ¬ sebagai ''bukan''. Ekspresi yang melibatkan variabel dan operasi Boolean mewakili bentuk pernyataan, dan dua ekspresi tersebut dapat ditunjukkan sama dengan menggunakan aksioma di atas [[jika dan hanya jika]] bentuk pernyataan yang sesuai adalah [[ekuivalen logika|ekuivalen secara logi5]].

:* Aljabar Boolean dua elemen juga digunakan untuk desain sirkuit di [[teknik elektro]]; di sini 0 dan 1 mewakili dua status berbeda dari satu [[bit]] dalam [[sirkuit digital]], biasanya [[tegangan]] tinggi dan rendah. Sirkuit dijelaskan oleh ekspresi yang mengandung variabel, dan dua ekspresi tersebut sama untuk semua nilai variabel jika dan hanya jika sirkuit yang sesuai memiliki perilaku input-output yang sama. Selanjutnya, setiap perilaku input-output yang mungkin dimodelkan dengan ekspresi Boolean.

:* Aljabar Boolean dua elemen juga penting dalam teori umum aljabar Boolean, karena persamaan yang melibatkan beberapa variabel umumnya benar dalam semua aljabar Boolean jika dan hanya jika benar dalam aljabar Boolean dua elemen (apabila memeriksa dengan algoritma [[pencarian paksa brute|paksa brute]] trivial untuk sejumlah kecil variabel). Ini misalnya dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa hukum berikut (''[[Teorema konsensus]]'') umumnya berlaku di semua aljabar Boolean:
:** (''a'' ∨ ''b'') ∧ (¬''a'' ∨ ''c'') ∧ (''b'' ∨ ''c'') ≡ (''a'' ∨ ''b'') ∧ (¬''a'' ∨ ''c'')
:** (''a'' ∧ ''b'') ∨ (¬''a'' ∧ ''c'') ∨ (''b'' ∧ ''c'') ≡ (''a'' ∧ ''b'') ∨ (¬''a'' ∧ ''c'')

* [[Himpunan daya]] (himpunan dari semua [[himpunan bagian]]) dari himpunan tak kosong ''S'' dalam bentuk aljabar Boolean, sebuah [[aljabar himpunan]], dengan dua operasi ∨ := ∪ (gabungan) and ∧ := ∩ (persimpangan/irisan). Elemen terkecil 0 adalah [[himpunan kosong]] dan elemen terbesar 1 adalah himpunan ''S'' sendiri.

:* Setelah aljabar Boolean dua elemen, aljabar Boolean sederhana adalah yang didefinisikan oleh [[himpunan daya]] dari dua atom:

|
| width="30" |
|

|
| width="40" |
|


* Himpunan (dari semua himpunan bagian) dari ''S'' hingga atau [[kofinit]] adalah aljabar Boolean, sebuah [[aljabar himpunan]].
* Dimulai dengan [[kalkulus proposisional]] dengan simbol kalimat κ, bentuk [[aljabar Lindenbaum–Tarski|aljabar Lindenbaum]] (yaitu, himpunan kalimat dalam modulo kalkulus proposisional [[ekuivalen logika]]). Konstruksi ini menghasilkan sebagai aljabar Boolean. Sebenarnya [[aljabar Boolean bebas]] adalah generator. Penugasan kebenaran dalam kalkulus proposisi adalah homomorfisme aljabar Boolean dari aljabar ini ke aljabar Boolean dua elemen.
* Diberikan setiap [[urutan linearitas]] pada himpunan ''L'' dengan elemen terkecil, aljabar interval adalah aljabar terkecil dari himpunan bagian ''L'' yang berisi semua interval setengah terbuka [''a'', ''b'') sehingga ''a'' apabila ''L'' dan ''b'' adalah ''L'' atau sama dengan ∞.  Aljabar interval berguna dalam mempelajari [[aljabar Lindenbaum–Tarski]]; setiap aljabar Boolean yang dapat dihitung adalah isomorfik terhadap aljabar interval.


* Untuk sembarang [[bilangan asli]] ''n'', himpunan semua [[pembagian]] positif dari ''n'', mendefinisikan ''a''≤''b'' jika ''a'' [[membagi]] ''b'', dalam bentuk [[kekisi distributif]]. Kekisi ini adalah aljabar Boolean jika dan hanya jika ''n'' adalah [[bilangan bulat persegi bebas|persegi bebas]]. Elemen bawah dan elemen atas aljabar Boolean ini masing-masing adalah bilangan asli 1 dan ''n''. Kekomplemen dari ''a'' diberikan oleh ''n''/''a''. Pertemuan dan sambungan dari ''a'' dan ''b'' diberikan oleh [[faktor persekutuan terbesar]] (fpb) dan [[kelipatan persekutuan terkecil]] (kpt) dari ''a'' dan ''b''. Penambahan gelanggang ''a''+''b'' diberikan oleh fpb(''a'',''b'')/kpt(''a'',''b''). Citra menunjukkan contoh untuk ''n'' = 30. Sebagai contoh tandingan, dengan mempertimbangkan non-persegi-bebas ''n''=60, faktor persekutuan terbesar dari 30 dan komplemennya 2 adalah 2, sementara itu harus menjadi elemen terbawah 1.
* Contoh lain dari aljabar Boolean muncul dari [[topologi|ruang topologi]]: jika ''X'' adalah ruang topologi, maka kumpulan semua himpunan bagian ''X'' [[himpunan tertutup|maupun terbuka dan tertutup]] dalam bentuk aljabar Boolean dengan operasi ∨ := ∪ (gabungan) dan ∧ := ∩ (persimpangan/irisan).
* Jika ''R'' adalah [[gelanggang matematika|gelanggang]] sebarang dan kami mendefinisikan himpunan ''idempoten sentral'' dengan <br> ''A'' = { ''e'' ∈ ''R'' : ''e''<sup>2</sup> = ''e'', ''ex'' = ''xe'', ∀''x'' ∈ ''R'' } <br> maka himpunan ''A'' sebagai aljabar Boolean dengan operasi ''e'' ∨ ''f'' := ''e'' + ''f'' - ''ef'' dan ''e'' ∧ ''f'' := ''ef''.

== Homomorfisme dan isomorfisme ==


Sebuah ''[[homomorfisme]]'' antara dua aljabar Boolean ''A'' dan ''B'' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] ''f'' : ''A'' → ''B'' sedemikian rupa sehingga untuk semua ''a'', ''b'' di ''A'':

: ''f''(''a'' ∨ ''b'') = ''f''(''a'') ∨ ''f''(''b''),
: ''f''(''a'' ∧ ''b'') = ''f''(''a'') ∧ ''f''(''b''),
: ''f''(0) = 0,
: ''f''(1) = 1.

Maka mengikuti bahwa '' f ''(¬''a'') = ¬''f''(''a'') untuk semua ''a'' di ''A''. [[kelas (teori himpunan)|kelas]] dari semua aljabar Boolean, bersama dengan gagasan morfisme ini, dalam bentuk [[subkategori penuh]] dari kekisi [[teori kategori|kategori]].


Sebuah ''isomorfisme'' antara dua aljabar Boolean ''A'' dan ''B'' adalah homomorfisme ''f'' : ''A'' → ''B'' dengan homomorfisme invers, yaitu homomorfisme ''g'' : ''B'' → ''A'' sedemikian rupa sehingga [[fungsi komposisi|komposisi]] ''g'' ∘ ''f'': ''A'' → ''A'' adalah [[fungsi identitas]] pada ''A'', dan komposisi ''f'' ∘ ''g'': ''B'' → ''B'' adalah fungsi identitas pada ''B''. Homomorfisme aljabar Boolean adalah isomorfisme jika dan hanya jika [[bijeksi|bijektif]].

== Gelanggang Boolean ==

Setiap aljabar Boolean (''A'', ∧, ∨) diberikan [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]] (''A'', +, ·) dengan mendefinisikan ''a'' + ''b'' := (''a'' ∧ ¬''b'') ∨ (''b'' ∧ ¬''a'') = (''a'' ∨ ''b'') ∧ ¬(''a'' ∧ ''b'') (operasi ini disebut [[perbedaan simetris]] dalam kasus himpunan dan [[Tabel kebenaran#Disjungsi eksklusif|XOR]] dalam kasus logika) dan ''a'' · ''b'' := ''a'' ∧ ''b''). Elemen nol dari gelanggang ini bertepatan dengan 0 dari aljabar Boolean; elemen identitas perkalian dari gelanggang adalah 1 dari aljabar Boolean. Gelanggang ini memiliki sifat bahwa ''a'' · ''a'' = ''a'' untuk semua ''a'' di ''A''; gelanggang dengan sifat ini disebut [[gelanggang Boolean]].

Sebaliknya, jika diberikan gelanggang Boolean ''A'', kita dapat mengubahnya menjadi aljabar Boolean dengan mendefinisikan ''x'' ∨ ''y'' := ''x'' + ''y'' + (''x'' · ''y'') dan ''x'' ∧ ''y'' := ''x'' · ''y''.
Karena kedua konstruksi ini adalah invers, apabila setiap gelanggang Boolean sebagai dari aljabar Boolean, dan sebaliknya. Selanjutnya, peta ''f'' : ''A'' → ''B'' adalah homomorfisme aljabar Boolean jika dan hanya jika itu adalah homomorfisme gelanggang Boolean. [[teori kategori|Kategori]] gelanggang Boolean dan aljabar Boolean adalah ekuivalen.

Hsiang (1985) memberikan [[Sistem penulisan ulang abstrak|algoritma berbasis aturan]] ke [[Soal kata (matematika)|pemeriksaan]] apakah dua ekspresi sebarang menunjukkan nilai yang sama di setiap gelanggang Boolean.

Secara umum, Boudet, [[Jean-Pierre Jouannaud|Jouannaud]], dan Schmidt-Schauß (1989) diberikan algoritma untuk [[Unifikasi (ilmu komputer)#Pengetahuan latar belakang tertentu E|menyelesaikan persamaan]] antara ekspresi gelanggang Boolean berubah.
Menggunakan kesamaan gelanggang Boolean dan aljabar Boolean, kedua algoritma memiliki aplikasi dalam [[pembuktian teorema otomatis]].

== Ideal dan filter ==

Sebuah ''ideal'' dari aljabar Boolean ''A'' adalah himpunan bagian ''I'' sehingga untuk semua ''x'', ''y'' di ''I'' maka memiliki ''x'' ∨ ''y'' di ''I'' dan untuk semua ''a'' di ''A'' maka memiliki ''a'' ∧ ''x'' di ''I''. Gagasan ideal ini bertepatan dengan gagasan [[ranah gelanggang]] dalam gelanggang Boolean ''A''. Sebuah ideal ''I'' dari ''A'' disebut juga ''prima'' jika ''I'' ≠ ''A'' dan jika ''a'' ∧ ''b'' in ''I'' selalu menyiratkan ''a'' di ''A'' atau ''b'' di ''A''. Selanjutnya, untuk setiap ''a'' ∈ ''A'' memiliki ''a'' itu ∧ ''-a'' = 0 ∈ ''I'' dan maka ''a'' ∈ ''I'' atau ''-a'' ∈ ''I'' untuk setiap ''a'' ∈ ''A'', jika ''A'' adalah bilangan prima. Sebuah ''I'' ideal dari ''A'' disebut juga ''maksimal'' jika ''I'''' ≠ ''A'' dan jika satu-satunya ideal ''I'' adalah ''A''. Untuk "I" yang ideal, jika ''a'' ∉ ''I'' dan ''-a'' ∉ ''I'', maka ''I'' ∪ {''a''} or ''I'' ∪ {''-a''} yang terkandung dalam ideal lain ''J''. Oleh karena itu, bahwa "I" tak maksimal dan oleh karena itu gagasan tentang ideal prima dan ideal maksimal setara dalam aljabar Boolean. Selain itu, gagasan ini bertepatan dengan teori gelanggang [[ranah prima]] dan [[ranah maksimal]] dalam gelanggang Boolean ''A''.

Kesamaan dari ''ideal'' adalah ''filter''. Sebuah ''filter'' dari aljabar Boolean ''A'' adalah himpunan bagian ''p'' sehingga untuk semua ''x'', ''y'' di ''p'' memiliki ''x'' ∧ ''y'' di ''p'' dan untuk semua ''a'' di ''A'' kami memiliki ''a'' ∨ ''x'' di ''p''. Ganda dari ''maksimal'' (atau ''prima'') ''ideal'' dalam aljabar Boolean adalah ''[[ultrafilter]]''. Ultrafilter sebagai alternatif dapat digambarkan sebagai [[morfisme nilai-2]] dari ''A'' ke aljabar Boolean dua elemen. Pernyataan ''setiap filter dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ultrafilter'' disebut ''[[Teorema ranah prima Boolean#Lema ultrafilter|teorema ultrafilter]]'' dan tidak dapat dibuktikan dalam [[Teori himpunan Zermelo–Fraenkel|ZF]], jika [[Teori himpunan Zermelo–Fraenkel|ZF]] adalah [[konsisten]].
Teorema ultrafilter memiliki banyak rumus ekuivalen: ''setiap aljabar Boolean memiliki ultrafilter'', ''setiap ranah dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ranah prima'', dll.

== Wakilan ==

Dapat ditunjukkan bahwa setiap aljabar Boolean ''hingga'' adalah isomorfik terhadap aljabar Boolean dari semua himpunan bagian dari himpunan hingga. Oleh karena itu, jumlah elemen dari setiap aljabar Boolean hingga adalah [[pangkat dua]].

[[Marshall H. Stone|Stone's]] merayakan ''[[Teorema wakilan Stone untuk aljabar Boolean|teorema wakilan untuk aljabar Boolean]]'' menyatakan bahwa ''setiap'' aljabar Boolean ''A'' isomorfik dengan aljabar Boolean dari semua himpunan [[himpunan tertutup|tertutup]] di beberapa ([[ruang kompak|kompak]] [[urutan terputus]] [[Ruang Hausdorff|Hausdorff]].

== Aksiomatik ==


| '''UId<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; Jika ''x'' ∧ ''i'' = ''x'' untuk semua ''x'', maka ''i'' = 1

|

| '''Idm<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; ''x'' ∧ ''x'' = ''x''

|

| '''Bnd<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; ''x'' ∧ 0 = 0

|

| '''Abs<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; ''x'' ∧ (''x'' ∨ ''y'') = ''x''

| colspan="2" |


| colspan="2" |


|

| '''A<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; ''x'' ∧ (¬''x'' ∧ ''y'') = 0

|

| '''B<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; (''x'' ∧ ''y'') ∧ (¬''x'' ∨ ¬''y'') = 0

|

| '''C<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; (''x'' ∧ ''y'') ∨ (¬''x'' ∨ ¬''y'') = 1

|

| '''DMg<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; ¬(''x'' ∧ ''y'') = ¬''x'' ∨ ¬''y''

|

| '''D<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; (''x''∧(''y''∧''z'')) ∧ ¬''x'' = 0

|

| '''E<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; ''y'' ∨ (''x''∧(''y''∧''z'')) = ''y''

|

| '''F<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual] &nbsp; (''x''∧(''y''∧''z'')) ∧ ¬''y'' = 0

|

| '''G<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual]  &nbsp;  (''x''∧(''y''∧''z'')) ∧ ¬''z'' = 0

|

| '''H<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual]  &nbsp;  ¬((''x''∧''y'')∧''z'') ∨ ''x'' = 1

|

| '''I<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual]  &nbsp;  ¬((''x''∧''y'')∧''z'') ∨ ''y'' = 1

|

| '''J<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual]  &nbsp;  ¬((''x''∧''y'')∧''z'') ∨ ''z'' = 1

|

| '''K<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual]  &nbsp;  (''x'' ∧ (''y'' ∧ ''z'')) ∧ ¬((''x'' ∧ ''y'') ∧ ''z'') = 0

|

| '''L<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual]  &nbsp; (''x'' ∧ (''y'' ∧ ''z'')) ∨ ¬((''x'' ∧ ''y'') ∧ ''z'') = 1

|

| '''Ass<sub>2</sub>''' &nbsp; [dual]  &nbsp;  ''x'' ∧ (''y'' ∧ ''z'') = (''x'' ∧ ''y'') ∧ ''z''

| colspan="2" |


Aksiomatisasi pertama kekisi/aljabar Boolean secara umum diberikan oleh filsuf dan matematikawan Inggris [[Alfred North Whitehead]] pada tahun 1898.
Itu termasuk [[#Definition|di atas aksioma]] dan tambahan ''x''∨1=1 dan ''x''∧0=0.
Pada tahun 1904, matematikawan Amerika [[Edward V. Huntington]] (1874–1952) memberikan aksiomatisasi yang pelit berdasarkan ∧, ∨, ¬, bahkan membuktikan hukum asosiatif (lihat kotak).
Ia juga membuktikan bahwa aksioma-aksioma ini [[independensi (logika matematika)|independen]] satu sama lain.
Pada tahun 1933, Huntington menetapkan aksiomatisasi elegan berikut untuk aljabar Boolean. Ini hanya membutuhkan satu operasi biner + dan [[simbol fungsional uner]] ''n'', untuk dibaca sebagai 'kelengkapan', yang memenuhi hukum berikut:

# ''Komutatif'': ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x''.
# ''Asosiatif'': (''x'' + ''y'') + ''z'' = ''x'' + (''y'' + ''z'').
# ''PERSAMAAN Huntington'': ''n''(''n''(''x'') + ''y'') + ''n''(''n''(''x'') + ''n''(''y'')) = ''x''.

[[Herbert Robbins]] segera bertanya: Jika persamaan Huntington diganti dengan dualnya, yaitu:

:4. ''Persamaan Robbins'': ''n''(''n''(''x'' + ''y'') + ''n''(''x'' + ''n''(''y''))) = ''x'',

apakah (1), (2), dan (4) dalam bentuk basis untuk aljabar Boolean? Menyebut (1), (2), dan (4) sebuah ''Aljabar Robbins'', pertanyaannya kemudian menjadi: Apakah setiap aljabar Robbins merupakan aljabar Boolean? Pertanyaan ini (yang kemudian dikenal sebagai [[konjektur Robbins]]) tetap terbuka selama beberapa dekade, dan menjadi pertanyaan favorit [[Alfred Tarski]] dan murid-muridnya. Pada tahun 1996, [[William McCune]] di [[Laboratorium Nasional Argonne]], berdasarkan pekerjaan sebelumnya oleh Larry Wos, Steve Winker, dan Bob Veroff, menjawab pertanyaan Robbins dengan tegas: Setiap aljabar Robbins adalah aljabar Boolean. Penting bagi bukti McCune adalah [[program penalaran otomatis]] [[EQP]] yang dia rancang. Untuk penyederhanaan bukti McCune, lihat Dahn (1998).

Pekerjaan lebih lanjut telah dilakukan untuk mengurangi jumlah aksioma; lihat [[Aksioma minimal untuk aljabar Boolean]].


== Generalisasi ==

Menghapus persyaratan keberadaan unit dari aksioma aljabar Boolean menghasilkan "aljabar Boolean umum". Secara formal, [[kekisi distributif]] ''B'' adalah kekisi Boolean umum, jika memiliki elemen terkecil 0 dan untuk setiap elemen ''a'' dan ''b'' di ''B'' sehingga ''a'' ≤ ''b'', apabila terdapat elemen ''x'' sehingga a ∧ x = 0 dan a ∨ x = b. Mendefinisikan a ∖ b sebagai unik ''x'' sehingga (a ∧ b) ∨ x = a dan (a ∧ b) ∧ x = 0, maka katakan bahwa struktur (B,∧,∨,∖,0) adalah "aljabar Boolean umum", sedangkan (B,∨,0) adalah ''Boolean umum [[semikekisi]]''. Kekisi Boolean umum adalah [[Ideal (teori order)|ranah]] dari kekisi Boolean.

Struktur yang memenuhi semua aksioma aljabar Boolean kecuali dua aksioma distributif disebut [[kekisi ortokomplemenkan]]. Ortokomplemenkan muncul secara asli dalam [[logika kuantum]] sebagai kekisi subruang tertutup untuk [[ruang Hilbert]] yang dipisahkan.

== Lihat pula ==


== Catatan ==


== Referensi ==


=== Kutipan ===
*
*
*.
*
*
*.
*
*

=== Referensi umum ===

*. See Section 2.5.
*
*. See Chapter 2.
*.

*.
*.
*.
*
*
*
*. In 3 volumes. (Vol.1:, Vol.2:, Vol.3:)
*.
*. Reprinted by [[Dover Publications]], 1979.

== Pranala luar ==

*
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: "[http://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/ The Mathematics of Boolean Algebra]," by J. Donald Monk.
* McCune W., 1997. ''[http://www.cs.unm.edu/~mccune/papers/robbins/ Robbins Algebras Are Boolean]'' JAR 19(3), 263—276
* [http://demonstrations.wolfram.com/BooleanAlgebra/ "Boolean Algebra"] by [[Eric W. Weisstein]], [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]''  Springer-Verlag. .
*



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Boolean+%28struktur%29&oldid=28531817 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28531817 (2025-11-18T09:46:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.