Lihat sumber Grup abelian yang dihasilkan hingga

Dalam [[aljabar abstrak]], [[grup abelian]]  disebut '''dihasilkan hingga''' jika terdapat banyak elemen hingga ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub> para '' G '' sedemikian rupa sehingga setiap '' x '' dan '' G '' bisa ditulis dalam bentuk
:''x'' = ''n''<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''n''<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + ''n''<sub>''s''</sub>''x''<sub>''s''</sub>
dengan [[bilangan bulat]]
''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>''s''</sub>. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa himpunan  adalah '' [[himpunan pembangkit grup|himpunan pembangkit]] '' dari '' G '' atau itu ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub> ''menghasilkan'' ''G''.

Setiap grup abelian hingga dihasilkan secara tak terbatas. Grup abelian yang dihasilkan secara terbatas dapat diklasifikasikan sepenuhnya.

== Contoh ==
* [[Bilangan bulat]], <math>\left(\mathbb{Z},+\right)</math>, adalah grup abelian yang dihasilkan tanpa batas.
* [[Aritmetika modular|Bilangan bulat modulo <math>n</math>]], <math>\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)</math>, adalah gruo abelian yang terbatas (maka dihasilkan secara terbatas).
* Setiap [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] dari banyak grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi grup abelian yang dihasilkan tak terbatas.
* Setiap [[Kisi (grup)|kisi]] membentuk [[grup abelian bebas]] yang dihasilkan tanpa batas.

Tidak ada contoh lain (hingga isomorfisme). Secara khusus, grup <math>\left(\mathbb{Q},+\right)</math> dari [[bilangan rasional]] tidak dihasilkan secara terbatas: jika <math>x_1,\ldots,x_n</math> adalah bilangan rasional, pilih [[bilangan asli]] <math> k </math> [[coprime]] untuk semua penyebut; maka <math> 1/k </math> tidak dapat disebu <math>x_1,\ldots,x_n</math>. The group <math>\left(\mathbb{Q}^*,\cdot\right)</math> bilangan rasional bukan nol juga tidak dihasilkan secara terbatas. Kelompok bilangan real di bawah penambahan <math> \left(\mathbb{R},+\right)</math> dan bilangan riil bukan nol dalam perkalian <math>\left(\mathbb{R}^*,\cdot\right)</math> juga tidak dihasilkan secara terbatas.

== Klasifikasi ==
'''Teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga''' dapat dinyatakan dengan dua cara, menggeneralisasi dua bentuk [[teorema fundamental grup abelian hingga|teorema fundamental grup abelian '' hingga '']]. Teorema, dalam kedua bentuk, pada gilirannya menggeneralisasi ke [[teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga melalui domain ideal utama]], yang pada gilirannya mengakui generalisasi lebih lanjut.

=== Dekomposisi primer ===
Formulasi dekomposisi primer menyatakan bahwa setiap grup abelian '' G '' yang dihasilkan tak terbatas isomorfik ke [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] dari [[grup siklik prima]] dan [[grup siklik]] tak terbatas. Grup siklik primer adalah grup yang [[urutan grup|urutan]] adalah pangkat dari [[bilangan prima|prima]]. Artinya, setiap grup abelian yang dihasilkan tak terbatas bersifat isomorfik ke grup bentuk
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t},</math>
di mana '' n '' ≥ 0 adalah '' [[Peringkat grup abelian|peringkat]] '', dan angka ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> adalah kekuatan dari bilangan prima (tidak harus berbeda). Secara khusus, '' G '' terbatas jika dan hanya jika '' n '' = 0. Nilai '' n '', ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> adalah ([[hingga]] menyusun ulang indeks) secara unik ditentukan oleh '' G '', yaitu, hanya ada satu dan satu cara untuk merepresentasikan '' G '' sebagai dekomposisi semacam itu.

=== Dekomposisi faktor invarian ===
Kita juga dapat menulis grup abelian '' G '' yang dihasilkan secara terbatas sebagai [[jumlah langsung]] dari formulir
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},</math>
di mana '' k '' <sub> 1 </sub> [[pembagian|membagi]] ''k''<sub>2</sub>, yang membagi ''k''<sub>3</sub> dan seterusnya sampai ''k''<sub>''u''</sub>.  Sekali lagi, peringkat '' n '' dan '' [[faktor invarian]] '' ''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''u''</sub> ditentukan secara unik oleh '' G '' (di sini dengan urutan unik). Pangkat dan urutan faktor invarian menentukan kelompok hingga isomorfisme.

=== Kesetaraan ===
Pernyataan ini setara sebagai hasil dari [[Teorema sisa bahasa Cina]], yang menyiratkan bahwa <math>\mathbb{Z}_{jk}\simeq \mathbb{Z}_{j} \oplus \mathbb{Z}_{k}</math> if and only if ''j'' and ''k'' are [[coprime]].

=== Sejarah ===
Sejarah dan penghargaan untuk teorema fundamental diperumit oleh fakta bahwa itu terbukti ketika [[teori grup]] tidak mapan, dan dengan demikian bentuk awal, sementara pada dasarnya hasil dan bukti modern, sering dinyatakan untuk kasus tertentu. Singkatnya, bentuk awal dari kasus hingga terbukti di , kasus yang terbatas telah dibuktikan , dan dinyatakan dalam istilah teori-grup oleh . Kasus [[Grup yang disajikan secara terbatas|'' disajikan '']] diselesaikan dengan [[bentuk normal Smith]], dan karenanya sering dikreditkan ke , meskipun kasus '' dihasilkan '' yang tidak terbatas terkadang malah dikreditkan oleh ; detail ikuti.

Teori grup [[László Fuchs]] menyatakan:


Teorema fundamental untuk kelompok abelian '' terbatas '' dibuktikan oleh [[Leopold Kronecker]] oleh , menggunakan bukti teori-grup, though without stating it in group-theoretic terms; presentasi modern dari bukti Kronecker diberikan , 5.2.2 Teorema Kronecker, [https://books.google.com/books?id=WtcRBwAAQBAJ&pg=PA176 176–177]. Ini menggeneralisasikan hasil sebelumnya dari [[Carl Friedrich Gauss]] dari '' [[Disquisitiones Arithmeticae]] '' (1801), yang mengklasifikasikan bentuk kuadrat; Kronecker mengutip hasil dari Gauss. Teorema tersebut dinyatakan dan dibuktikan dalam bahasa kelompok oleh [[Ferdinand Georg Frobenius]] dan [[Ludwig Stickelberger]] pada tahun 1878. Formulasi teori-kelompok lain diberikan oleh murid Kronecker [[Eugen Netto]] pada tahun 1882.

Teorema fundamental untuk [[Grup yang disajikan secara hingga|'' disajikan secara terbatas '']] grup abelian dibuktikan oleh [[Henry John Stephen Smith]] oleh , sebagai matriks integer sesuai dengan presentasi terbatas dari kelompok abelian (ini menggeneralisasi untuk modul yang disajikan secara halus di atas domain ideal utama), dan [[Bentuk normal Smith]] sesuai dengan klasifikasi grup abelian yang disajikan secara terbatas.

Teorema fundamental untuk kelompok abelian '' yang dihasilkan secara terbatas '' dibuktikan oleh [[Henri Poincaré]] oleh , menggunakan bukti matriks (yang menggeneralisasi domain ideal utama). Ini dilakukan dalam konteks komputasi
[[Homologi (matematika)|homologi]] dari sebuah kompleks, khususnya [[Bilangan Betti]] dan [[Koefisien torsi (topologi)|koefisien torsi]] dari dimensi kompleks, di mana bilangan Betti sesuai dengan peringkat bagian bebas.

Bukti Kronecker digeneralisasikan menjadi grup abelian yang '' dihasilkan secara halus '' oleh [[Emmy Noether]] pada .

== Korelasi ==
Dinyatakan secara berbeda, teorema fundamental mengatakan bahwa grup abelian yang dihasilkan secara terbatas adalah jumlah langsung dari [[grup abelian gratis]] dari [[peringkat grup abelian|peringkat]] dan grup abelian hingga, masing-masing unik hingga isomorfisme. Grup abelian terbatas hanyalah [[subgrup torsi]] dari '' G ''. Pangkat '' G '' didefinisikan sebagai pangkat bagian bebas torsi dari '' G ''; ini hanyalah angka '' n '' pada rumus di atas.

Sebuah [[korelasi]] pada teorema fundamental adalah bahwa setiap [[grup abelian bebas torsi]] adalah abelian bebas. Kondisi yang dihasilkan tak terbatas sangat penting di sini: <math>\mathbb{Q}</math> bebas torsi tetapi bukan abelian gratis.

Setiap [[subgrup]] dan [[grup faktor]] dari grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi dihasilkan abelian tak terhingga. Grup abelian yang dihasilkan tak terbatas, bersama dengan [[homomorfisme grup]], membentuk [[kategori abelian]] yang merupakan [[Subkategori#Jenis subkategori|Serre subkategori]] dari [[kategori grup abelian]].

== Grup abelian yang dibuat tidak terbatas ==
Perhatikan bahwa tidak setiap grup abelian dengan peringkat terbatas dihasilkan secara terbatas; kelompok peringkat 1 <math>\mathbb{Q}</math> adalah salah satu contoh berlawanan, dan grup peringkat-0 diberikan oleh jumlah langsung [[himpunan tak hingga|terhitung tak terhingga banyak]] salinan dari <math>\mathbb{Z}_{2}</math> adalah satu sama lain.

== Lihat pula ==
* [[Teorema Jordan–Hölder]] adalah generalisasi non-abelian

== Catatan ==


== Referensi ==

*  Reprinted (pp. [https://archive.org/stream/collectedmathema01smituoft#page/366/mode/2up 367–409]) in [https://archive.org/details/collectedmathema01smituoft ''The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith'', Vol. I], edited by [[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]]. Oxford: Clarendon Press (1894), ''xcv''+603 pp.
*
*



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+abelian+yang+dihasilkan+hingga&oldid=29215829 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29215829 (2026-05-11T14:46:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.