Lihat sumber Geometri diskrit

'''Geometri diskret''' dan '''geometri kombinatorial''' sama-sama merupakan cabang [[geometri]] yang mempelajari sifat-sifat [[Kombinatorik|kombinatorial]] dan metode konstruktif dari objek geometris [[matematika diskrit|diskrit]]. Banyak masalah-masalah dalam cabang ini melibatkan himpunan [[himpunan hingga|terhingga]] atau himpunan [[ruang diskrit|diskrit]] dari objek-objek geometri dasar, seperti [[titik (geometri)|titik]], [[garis (geometri)|garis]], [[bidang (geometri)|bidang]], [[lingkaran]], [[Bola (geometri)|bola]], [[poligon]], dan lain sebagainya. Cabang ini mempelajari sifat-sifat kombinatorial dari objek-objek geometri tersebut, seperti menanyakan bagaimana objek-objek dasar tersebut [[Irisan (teori himpunan)|teriris]] satu sama lain, atau bagaimana objek-objek tersebut dapat disusun menutupi objek yang lebih besar.

Geometri diskrit memiliki banyak kesamaan dengan [[geometri cembung]] dan [[geometri komputasi]]. Selain itu, geometri diskrit memiliki kaitan erat dengan cabang-cabang lain seperti [[geometri hingga]], [[optimasi kombinatorial]], [[geometri digital]], [[geometri diferensial diskrit]], [[teori graf geometri]], [[geometri torus]], dan [[topologi kombinatorial]].

== Sejarah ==
Meskipun [[polihedron]] dan [[Teselasi|pengubinan]] (''tesellation'') telah dipelajari selama bertahun-tahun oleh tokoh-tokoh seperti [[Johannes Kepler|Kepler]] dan [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]], geometri diskrit modern berawal pada akhir abad ke-19. Topik-topik yang sudah dipelajari sebelumnya adalah kepadatan [[pengepakan lingkaran]] oleh [[Axel Thue|Thue]], [[konfigurasi proyektif]] oleh Reye dan [[Ernst Steinitz|Steinitz]], [[geometri bilangan]] oleh Minkowski, dan [[Teorema Empat warna|pewarnaan peta]] oleh Tait, Heawood, dan [[Hadwiger]].

Geometri diskrit dikembangkan oleh [[László Fejes Tóth]], [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]] dan [[Paul Erdős]].

== Topik ==

=== Polihedronn dan politop ===

Secara umum, [[politop]] adalah benda geometris dengan sisi datar, yang terdapat di dalam sebarang dimensi umum. Karena itu, [[poligon]] adalah politop dalam ruang berdimensi dua, sementara [[polihedron]] adalah politop dalam ruang berdimensi tiga, dan seterusnya dalam dimensi yang lebih tinggi (seperti [[politop berdimensi empat]]). Beberapa teori lebih lanjut memperumum gagasan tersebut, yang bertujuan untuk menyertakan objek-objek seperti politop yang tidak memiliki batas ([[apeirotop]] dan [[Teselasi|pengubinan]]), dan [[politop abstrak]].

Berikut di bawah adalah beberapa aspek politop yang dipelajari dalam geometri diskrit:
*[[Kombinatorik polihedral]]
*[[Politop kekisi cembung|Politop kekisi]]
*[[Polinomial Ehrhart]]
*[[Teorema Pick]]
*[[Konjektur Hirsch]]

=== Pengepakan, peliputan dan pengubinan ===


Pengepakan (''packings''), peliputan (''coverings''), dan pengubinan (''tesellations'') adalah cara-cara untuk menyusun objek yang berseragam (biasanya lingkaran, bola, atau ubin) secara teratur pada suatu permukaan atau [[manifold]].

[[Pengepakan bola]] (''sphere packings'') adalah susunan [[Bola (geometri)|bola]] yang tidak tumpang tindih dalam ruang yang ditampung. Semua bola-bola tersebut biasanya dianggap memiliki ukuran yang identik, dan memiliki ruang yang merupakan [[ruang Euklides]] berdimensi tiga. Meskipun demikian, [[masalah pengepakan]] dapat diperumum ke bola-bola yang dianggap tidak memiliki ukuran yang sama, ruang Euklides berdimensi-<math>n</math>(dengan masalah ini menjadi [[pengepakan lingkaran]] dalam dua dimensi, atau pengepakan [[hiperbola]] dalam dimensi yang lebih tinggi), atau ruang [[Geometri non-Euklides|non-Euklides]] seperti [[ruang hiperbolik]].

[[Pengubinan]] atau [[teselasi]] (''tesellations'') dari suatu permukaan datar merupakan pengubinan dari suatu [[bidang (matematika)|bidang]] yang menggunakan satu buah bentuk geometris atau lebih; bentuk- tersebut dinamakan ubin (''tiles''). Pengubinan dari suatu bidang tersebut tidak ada tumpang tindih dan tidak memiliki celah. Pengubinan dalam matematika dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi.

Topik khusus di bidang ini meliputi:
*[[Pengepakan lingkaran]]
*[[Pengepakan bola]]
*[[Konjektur Kepler]]
*[[Kuasikristal]]
*[[Pengubinan aperiodik]]
*[[Graf periodik (geometri)|Graf periodik]]
*[[Aturan subdivisi terhingga]]

=== Kekakuan dan fleksibilitas struktural ===


[[Kekakuan struktural]] (''structural rigidity'') adalah [[combinatorics|teori kombinatorial]] untuk memprediksi fleksibilitas dari kumpulan yang dibentuk oleh [[benda tegar]] dihubungkan oleh [[Linkage (mekanis)|''linkage'']] atau [[engsel]] yang fleksibel.

Topik pada cabang ini meliputi:
* [[Teorema Cauchy (geometri)|Teorema Cauchy]]
* [[Polihedron fleksibel]]

=== Struktur insidensi ===


[[Struktur insidensi]] (''incidence structure'') memperumum bidang-bidang (seperti [[Bidang afin (geometri insidensi)|bidang afin]], [[bidang proyektif]], dan [[bidang Möbius]]) seperti yang dapat dilihat dari definisi aksiomatiknya. Struktur insiden juga memperumum ke struktur yang berdimensi lebih tinggi, dan struktur terhingga terkadang disebut [[geometri hingga|geometri terhingga]].

Secara formal, '''struktur insidensi''' adalah tripel<math display="block">C=(P,L,I),\,</math>dengan <math>P</math> adalah himpunan "titik" (''points''), <math>L</math> adalah himpunan "garis" (''lines''), dan <math>I \subseteq P \times L</math> adalah relasi [[Insidensi (geometri)|insidensi]]. Anggota dari <math>I</math> disebut '''flag'''. Jika <math>(p,l) \in I,</math> maka dapat dikatakan bahwa titik <math>p</math> "terletak di" garis <math>l</math>.

Topik pada cabang ini meliputi:
* [[Konfigurasi (geometri)|Konfigurasi]]
* [[Susunan garis]]
*[[Susunan hiperbidang]]
* [[Bangunan (matematika)|Bangunan]]

=== Matroid terorientasi ===

[[Matroid terorientasi]] (''oriented matroid'') adalah [[struktur matematika]] yang mengabstraksi sifat-sifat dari [[graf berarah]] dan susunan vektor dalam [[ruang vektor]] atas [[lapangan terurut]] (terutama untuk [[ruang vektor terurut |ruang vektor terurut parsial]]). Sebagai perbandingan, [[matroid]] biasa (yaitu, matroid tak terorientasi) mengabstraksi sifat-sifat [[kebebasan linear|ketergantungan]] yang umum untuk [[Graf (matematika)|graf]], yang tidak harus ''terarah''. Selain itu, matroid biasa juga mengabstrasikan sifat-sifat tersebut untuk susunan vektor atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]], yang tidak semestinya ''terurut''.
=== Kombinatorik topologis ===


Cabang kombinatorial topologis adalah cabang yang menggunakan konsep kombinatorial dalam [[topologi]]. Pada awal abad ke-20, cabang ini berubah menjadi [[topologi aljabar]]. Topik pada cabang ini meliputi:
*[[Lema Sperner]]
* [[Pemetaan beraturan (teori graf)|Pemetaan beraturan]]

== Referensi ==



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+diskrit&oldid=28009833 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28009833 (2025-10-16T08:48:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.