Lihat sumber Sifat distributif

Dalam [[matematika]], '''sifat''' '''distributif''' () adalah sifat yang mendistribusikan perkalian terhadap operasi penambahan. Sifat ini merupakan sifat dari [[operasi biner]] merupakan perumuman dari '''hukum distributif'''. Dalam [[Aljabar elementer|aljabar dasar]], hukum tersebut mengatakan bahwa persamaan<math display="block">x * (y + z) = (x * y) + (x * z)</math>selalu benar. Sebagai contoh, dalam [[aritmetika dasar]], persamaan <math display="inline">2 \cdot (1 + 3) = (2 \cdot 1) + (2 \cdot 3)</math> adalah benar.

Sifat distributif dari bilangan merupakan bagian dari definisi dari hampir semua [[struktur aljabar]] yang mempunyai dua operasi dasar, yaitu penambahan dan perkalian. Struktur tersebut di antaranya [[bilangan kompleks]], [[polinomial]], [[Matriks (matematika)|matriks]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Sifat ini juga dipakai dalam [[aljabar Boole]] dan [[logika matematika]], yang mengatakan bahwa masing-masing dari [[logika konjungsi]] (yang dinyatakan sebagai <math>\,\land\,</math>) dan [[logika disjungsi]] (yang dinyatakan sebagai <math>\,\lor\,</math>) mendistribusi terhadap operasi lain.

== Definisi ==

Diberikan sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> dan dua [[operator biner]] <math>*</math> dan <math>+</math> pada <math>S</math>. Jika diberikan setiap anggota <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> dari <math>S</math>, maka operasi <math>*</math> disebut ''distributif di kiri'' terhadap operasi <math>+</math>, yang ditulis sebagai

<math display="block">x * (y + z) = (x * y) + (x * z).</math>

Operasi <math>*</math> disebut ''distributif di kanan'' terhadap operasi <math>+</math>, jika diberikan setiap anggota <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> dari <math>S</math>, yang ditulis sebagai

<math display="block">(y + z) * x = (y * x) + (z * x).</math>

Operasi <math>*</math> disebut ''distributif'' terhadap operasi <math>+</math>, jika <math>*</math> distributif di kiri maupun di kanan. Perhatikan bahwa ketika <math>*</math> bersifat [[komutatif]], maka secara logika, ketiga syarat di atas [[kesetaraan logika|ekuivalen]].

== Pengertian ==
Operator yang digunakan untuk contoh di bagian ini adalah operator [[penambahan]] (<math>+</math>) dan [[perkalian]] (<math>\cdot</math>). Jika operasi yang dilambangkan dengan <math>\cdot</math> tidak komutatif, maka terdapat perbedaan pada sifat distribusi di kiri dan distribusi di kanan:

<math display="block">\begin{align}
a \cdot \left( b \pm c \right) &= a \cdot b \pm a \cdot c \\
(a \pm b) \cdot c &= a \cdot c \pm b \cdot c
\end{align}</math>

Sifat pertama merupakan sifat distribusi di kiri, sedangkan yang kedua merupakan sifat distribusi di kanan. Pada kedua kasus tersebut, sifat distributif dapat dijelaskan sebagai berikut:

* Untuk mengalikan [[penjumlahan]] (atau [[Pengurangan|selisih]]) dengan sebuah faktor bilangan, setiap jumlah (atau [[kinurang]]) dikalikan dengan sebuah faktor bilangan, dan hasil dari perkalian tersebut kemudian ditambahkan (atau dikurangi).
* Jika sifat yang terdapat operasi di luar tanda kurung bersifat komutatif (yaitu perkalian), maka definisi dari sifat distribusi di kiri menyiratkan sifat distribusi di kanan. Hal itu berlaku pula untuk sebaliknya.

Ada sebuah contoh operasi yang "hanya" distribusi di kanan. Sebagai contoh, operasi pembagian yang sifatnya tidak komutatif:

<math display="block">(a \pm b) \div c = a \div c \pm b \div c</math>

Dalam kasus ini, distributif di kiri tidak berlaku untuk:

<math display="block">a \div(b \pm c) \neq a \div b \pm a \div c</math>

Hukum distributif ditemukan di antara aksioma untuk [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] (seperti gelanggang dari [[bilangan bulat]]) dan [[Lapangan (matematika)|lapangan]] (seperti lapangan dari [[bilangan rasional]]). Operasi perkalian pada hukum ini bersifat distributif terhadap penambahan, sedangkan penambahan tidak distributif terhadap perkalian. Contoh struktur yang melibatkan dua operasi yang masing-masing distributif terhadap dengan yang lain adalah [[Aljabar Boolean|aljabar Boole]].

Perkalian antara operasi penjumlahan dapat dijelaskan sebagai berikut: Ketika sebuah operasi penjumlahan dikalikan dengan operasi penjumlahan, kalikan setiap jumlah dari penjumlahan dengan setiap penjumlahan dari jumlah lainnya, lalu jumlahkan semuanya setelah mengalikannya.

== Logika proposisional ==
=== Aturan penggantian ===
Dalam logika proposisional kebenaran-fungsional standar, ''distribusi'' dalam pembuktian logika menggunakan dua [[aturan penggantian]] yang valid untuk memperluas kejadian individu dari [[perangkai logika]] dalam suatu [[rumus logika |rumus]] ke penerapan yang terpisah dari perangkai tersebut di antara subrumus dari rumus. Aturan tersebut dinyatakan sebagai

<math display="block">(P \land (Q \lor R)) \Leftrightarrow ((P \land Q) \lor (P \land R))</math>
dan

<math display="block">(P \lor (Q \land R)) \Leftrightarrow ((P \lor Q) \land (P \lor R))</math>

dengan "<math>\Leftrightarrow</math>", atau ditulis <math>\equiv</math>, merupakan simbol [[metalogik]].

=== Perangkai fungsional kebenaran ===
''Distributivitas ''merupakan sifat dari suatu perangkai logika dari [[logika proposisional]] fungsi kebenaran. Di bawah berikut merupakan persamaan logika yang memperlihatkan bahwa distributivitas adalah sifat dari perangkai yang bersifat khusus, serta merupakan [[tautologi (logika) |tautologi]] fungsi kebenaran<math display="block">\begin{alignat}{13}
&(P &&\;\land &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\lor (P \land R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ konjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ disjungsi } \\
&(P &&\;\lor &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\land (P \lor R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ disjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ konjungsi } \\
&(P &&\;\land &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\land (P \land R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ konjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ konjungsi } \\
&(P &&\;\lor &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\lor (P \lor R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ disjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ disjungsi } \\
&(P &&\to &&(Q \to R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\to (P \to R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ implikasi } && \text{  } && \text{  } \\
&(P &&\to &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\leftrightarrow (P \to R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ implikasi } && \text{ terhadap } && \text{ ekuivalensi } \\
&(P &&\to &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\;\land (P \to R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ implikasi } && \text{ terhadap } && \text{ konjungsi } \\
&(P &&\;\lor &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\leftrightarrow (P \lor R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ disjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ ekuivalensi } \\
\end{alignat}</math>
;Distribusi ganda:<math>\begin{align}
  ((P \land Q) \lor (R \land S)) &\Leftrightarrow (((P \lor R) \land (P \lor S)) \land ((Q \lor R) \land (Q \lor S))) \\
   ((P \lor Q) \land (R \lor S)) &\Leftrightarrow (((P \land R) \lor (P \land S)) \lor ((Q \land R) \lor (Q \land S)))
\end{align}</math>

== Catatan ==

== Rujukan ==


== Pranala luar ==

*[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/DistributiveLaw.shtml A demonstration of the Distributive Law] for integer arithmetic (from [[cut-the-knot]])



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sifat+distributif&oldid=21626994 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 21626994 (2022-09-07T04:23:23Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.