Lihat sumber Keserupaan matriks

Dalam [[aljabar linear]], dua [[matriks persegi]] <math>\mathbf{A}</math> and <math>\mathbf{B}</math> berukuran <math>n\times n</math> disebut '''serupa''' jika ada [[matriks terbalikkan]] <math>\mathbf{P}</math> yang memenuhi hubungan<math display="block">\mathbf{B}= \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}.</math>Matriks-matriks yang serupa merepresentasikan [[Peta linear|pemetaan linear]] yang sama dibawah dua basis yang (mungkin) berbeda, dengan <math>\mathbf{P}</math> menjadi matriks [[perubahan basis]]. Transformasi <math>\mathbf{A} \mapsto \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}</math> disebut ''transformasi keserupaan'' atau ''konjugasi'' dari matriks <math>\mathbf{A}</math>. Dalam [[grup linear umum]], konsep keserupaan sama dengan [[Kelas konjugasi|konjugasi]], dan matriks-matriks serupa juga disebut dengan konjugat. Akan tetapi, untuk suatu subgrup '''' dari grup linear umum, konsep konjugasi dapat lebih ketat daripada keserupaan, karena mengharuskan <math>\mathbf{P}</math> berada di ''''.

== Gambaran umum ==
Saat mendefinisikan suatu [[Peta linear|transformasi linear]], terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di <math>\R^3</math> dengan [[Representasi sumbu-sudut|sumbu rotasi]] yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-'''' positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagai<math display="block">\mathbf{S}= \begin{bmatrix}
  \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
  \sin\theta &  \cos\theta & 0 \\
           0 &           0 & 1
\end{bmatrix},</math>dengan <math>\theta</math> menyatakan sudut dari rotasi. Di [[sistem koordinat]] yang baru ini, transformasi dapat dituliskan sebagai<math display="block">\mathbf{y}'= \mathbf{S} \mathbf{x}',</math>dengan <math>\mathbf{x}'</math> dan <math>\mathbf{y}'</math> masing-masing menyatakan vektor awal dan vektor hasil transformasi. Sedangkan di sistem koordinat lama, transformasi ini ditulis sebagai <math display="block">\mathbf{y} = \mathbf{T} \mathbf{x},</math>dengan vektor <math>\mathbf{x}</math> dan <math>\mathbf{y}</math>, dan matriks tranformasi <math>\mathbf T</math> yang tidak diketahui, berada di basis lama. Untuk menyatakan <math>\mathbf T</math> menggunakan matriks transformasi yang lebih sederhana, kita menggunakan matriks perubahan basis <math>\mathbf{P}</math> yang memetakan <math>\mathbf{x}</math> dan <math>\mathbf{y}</math> menjadi <math>\mathbf{x}' = \mathbf{P}\mathbf{x}</math> dan <math>\mathbf{y}' = \mathbf{P}\mathbf{y}</math>, sehingga:<math display="block">\begin{align}
  &            &  \mathbf{y}' &= \mathbf{S}\mathbf{x}'  \\[1.6ex]
  &\Rightarrow & \mathbf{P} \mathbf{y} &= \mathbf{S} \mathbf{P} \mathbf{x} \\[1.6ex]
  &\Rightarrow &   \mathbf{y} &= \left(\mathbf{P}^{-1} \mathbf{S} \mathbf{P}\right) \mathbf{x} = \mathbf{T} \mathbf{x}.
\end{align}</math>Alhasil, matriks transformasi di basis awal, <math>\mathbf T</math>, dapat dihitung dengan mudah sebagai <math>\mathbf{T} = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{P}</math>. Dengan kata lain, transformasi keserupaan bekerja dalam tiga langkah: ubah masalah ke basis yang baru (<math>\mathbf{P}</math>), lakukan transformasi yang lebih sederhana (<math>\mathbf{S}</math>), lalu kembali ke basis yang lama (<math>\mathbf{P}^{-1}</math>).

== Sifat-sifat ==
Keserupaan adalah salah satu [[relasi ekuivalensi]] pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa [[jika dan hanya jika]] mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:

* [[Rank (aljabar linear)|Rank]]
* [[Polinomial karakteristik]], dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
** [[Determinan]]
** [[Teras (aljabar linear)|Teras]]
** [[Nilai dan vektor eigen|Nilai-nilai eigen]], dan [[Nilai dan vektor eigen#Kegandaan aljabar|kegandaan aljabar]] mereka.
* [[Nilai dan vektor eigen#Ruang eigen, kegandaan geometrik, dan basis eigen bagi matriks|Kegandaan geometrik]] dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh <math>\mathbf{P}</math>)
* [[Polinomial minimal]]
* [[Bentuk normal Frobenius]]
* [[Bentuk normal Jordan]], hingga permutasi dari blok-blok Jordan
* [[Matriks nilpoten|Indeks nilpoten]]

Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks <math>\mathbf{A}</math>, pencarian matriks "bentuk normal" <math>\mathbf{B}</math> yang serupa dengan <math>\mathbf{A}</math> dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks <math>\mathbf{A}</math> dapat dimudahkan dengan menelitik matriks <math>\mathbf{B}</math> yang lebih sederhana.

Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada [[Lapangan (matematika)|lapangan]] yang digunakan: jika <math>K</math> adalah sublapangan dari lapangan <math>L</math>, dan <math>\mathbf{A}</math> dan <math>\mathbf{B}</math> adalah matriks atas <math>K</math>, maka <math>\mathbf{A}</math> dan <math>\mathbf{B}</math> saling serupa atas <math>K</math> jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas <math>L</math>. Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas <math>K</math> juga merupakan bentuk kanonik rasional atas <math>L</math>. Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.

== Lihat pula ==

* [[Bentuk kanonik#Aljabar linear|Bentuk kanonik]]
* [[Kekongruenan matriks]]
* [[Kesetaraan matriks]]

== Referensi ==

=== Kutipan ===


=== Pustaka ===

*  (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keserupaan+matriks&oldid=29524963 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524963 (2026-08-04T14:56:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.