Lihat sumber Subgelanggang

Dalam [[matematika]], '''subgelanggang''' dari '' R '' adalah [[himpunan bagian]] dari [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang merupakan cincin ketika [[operasi biner]] penjumlahan dan perkalian pada '' R '' dibatasi ke himpunan bagian, dan yang berbagi [[identitas perkalian]] yang sama dengan '' R ''. Bagi mereka yang mendefinisikan gelanggang tanpa memerlukan keberadaan identitas perkalian, subgelanggang dari '' R '' hanyalah subset dari '' R '' yang merupakan gelanggang untuk pengoperasian '' R '' (bahwa ini menyiratkan itu berisi identitas aditif '' R ''). Yang terakhir memberikan kondisi yang sangat lemah, bahkan untuk gelanggang yang memiliki identitas multiplikatif, sehingga misalnya semua [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] menjadi subgelanggang (dan mereka mungkin memiliki identitas perkalian yang berbeda dari salah satu '' R ''). Dengan definisi yang membutuhkan identitas multiplikatif (yang digunakan dalam artikel ini), satu-satunya ideal dari '' R '' yang merupakan subgelanggang dari '' R '' adalah '' R '' itu sendiri.

== Definisi ==
Sebuah subgelanggang dari gelanggang  adalah himpunan bagian '' S '' dari '' R '' yang mempertahankan struktur gelanggang, yaitu cincin  dengan .  Secara ekuivalen, adalah [[subgrup]] dari  dan [[submonoid]] dari .

== Contoh ==
Gelanggang '''Z''' dan tanda pisahnya '''Z'''/''n'''''Z''' tidak memiliki subring (dengan identitas perkalian) selain gelanggang lengkap.

Setiap gelanggang memiliki subring terkecil yang unik, isomorfik untuk beberapa cincin '''Z'''/''n'''''Z''' dengan ''n'' bilangan bulat nonnegatif (lihat [[karakteristik (aljabar))|ciri]]). Bilangan bulat '''Z''' sesuai dengan  dalam pernyataan ini, karena '''Z''' isomorfik '''Z'''/0'''Z'''.

== Uji subgelanggang ==
'''uji subgelanggang''' adalah [[teorema]] yang menyatakan bahwa untuk setiap gelanggang '' R '', sebuah [[himpunan bagian]] '' S '' dari '' R '' adalah subring jika dan hanya jika [[Penutupan (matematika )|ditutup]] di bawah perkalian dan pengurangan, dan berisi identitas perkalian '' R ''.

Sebagai contoh, gelanggang '' 'Z' '' dari [[bilangan bulat]] adalah subring dari [[bidang (matematika)|bidang]] dari [[bilangan riil]] dan juga merupakan subring dari cincin dari [[polinomial]] '''Z'''[''X''].

== Ekstensi gelanggang ==


Jika '' S '' adalah subring dari cincin '' R '', maka secara ekuivalen '' R '' dikatakan sebagai '''ekstensi gelanggang''' dari '' S '', ditulis sebagai ''R''/''S'' dalam notasi yang mirip dengan [[ekstensi bidang]].

== Subgelanggang dihasilkan oleh satu Himpunan ==

Biarkan '' R '' menjadi sebuah cincin. Setiap persimpangan subring dari '' R '' juga merupakan subgelanggang dari '' R ''. Oleh karena itu, jika '' X '' adalah subset dari '' R '', perpotongan semua subgelanggang dari '' R '' yang berisi '' X '' adalah subring '' S '' dari '' R ''. ''S'' adalah subring terkecil dari '' R '' yang mengandung '' X ''. ("Terkecil" berarti bahwa jika '' T '' adalah subring lain dari '' R '' yang mengandung '' X '', maka '' S '' ada di dalam '' T ''.) ''S'' dikatakan sebagai subring dari '' R '' '''[[generator (matematika)|dihasilkan]]''' oleh '' X ''. Jika '' S '' = '' R, '' kita dapat mengatakan bahwa cincin '' R '' adalah '' generated '' oleh '' X ''.

== Lihat pula ==
* [[Ekstensi integral]]
* [[Ekstensi grup]]
* [[Ekstensi aljabar]]
* [[Ekstensi bijih]]

== Referensi ==
*
* Page 84 of
*



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Subgelanggang&oldid=22554215 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22554215 (2023-01-05T07:38:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.