Lihat sumber Nilai mutlak

Dalam [[matematika]], '''nilai absolut''' (juga dikenal dengan '''nilai mutlak''' atau '''modulus''') dari suatu [[bilangan riil]] <math>x </math>, ditulis sebagai <math>|x|</math>, adalah nilai positif dari <math>x</math> tanpa disertai [[Tanda (matematika)|tanda]] apa pun. Dengan kata lain, <math>|x|=x</math> jika <math>x</math> adalah [[bilangan positif]] atau [[nol]], dan <math>|x|=-x</math> jika <math>x</math> adalah [[Tanda (matematika)|bilangan negatif]] (sehingga <math>-x</math> bernilai positif). Sebagai contoh, nilai mutlak dari <math>3</math> adalah <math>|3|=3</math>, dan nilai mutlak dari <math>-3</math> juga adalah <math>|-3|=-(-3)=3</math>. Nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai [[jarak]] suatu bilangan dari bilangan <math>0</math>.

Perumuman dari nilai mutlak pada bilangan riil muncul pada banyak [[objek]] matematika. Sebagai contoh, nilai mutlak juga didefinisikan pada [[bilangan kompleks]], [[Kuaternion|kuartenion]], [[gelanggang terurut]], [[Medan (matematika)|lapangan]], dan [[ruang vektor]]. Nilai mutlak juga berhubungan erat dengan definisi [[Besaran (matematika)|besaran]], [[jarak]], dan [[Norma (matematika)|norma]] dalam banyak konteks di fisika dan matematika.

== Terminologi dan penulisan ==

Pada tahun 1806, [[Jean-Robert Argand]] memperkenalkan istilah ''module'', yang berarti ''satuan pengukuran'' dalam bahasa [[Prancis]], khususnya untuk nilai mutlak [[bilangan kompleks]], dan kata itu akhirnya diserap dalam bahasa Inggris pada tahun 1866 sebagai ''modulus''. Istilah "nilai mutlak" sudah digunakan dalam konteks ini sejak 1806 di Prancis dan 1857 di [[Inggris]]. Penulisan <math>|x|</math>, dengan simbol [[garis vertikal]] di kedua [[sisi]], diperkenalkan oleh [[Karl Weierstrass]] tahun 1841.

Penulisan garis vertikal juga muncul dalam banyak konteks matematika lainnya: sebagai contoh, jika digunakan pada [[Himpunan (matematika)|himpunan]], simbol itu menandakan [[kardinalitas]]nya; sedangkan jika digunakan pada [[Matriks (matematika)|matriks]], itu menandakan [[determinan]]nya. Garis vertikal menandakan nilai mutlak hanya pada objek aljabar yang memiliki [[definisi]] nilai mutlak, seperti [[bilangan riil]], [[bilangan kompleks]], atau [[kuaternion]]. Penulisan yang mirip tetapi berbeda makna adalah penggunaan garis vertikal untuk [[Ruang Euklides|norma Euklidean]] atau ''sup norm'' di <math>\mathbb{R}^n</math>, walau penulisan garis vertikal ganda (<math>||\cdot||_2</math> dan <math>||\cdot||_\infty</math>) lebih umum dan tidak ambigu.

== Definisi dan sifat ==

=== Bilangan riil ===
Untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math>, nilai mutlak bilangan tersebut dinyatakan dengan <math>|x|</math> (<math>x</math> diapit oleh garis vertikal) dan didefinisikan sebagai: <math display="block">|x| = \begin{cases} x, & \mbox{jika }  x \ge 0,  \\ -x,  & \mbox{jika } x < 0. \end{cases} </math>

Dari definisi tersebut, nilai mutlak <math>x</math> akan selalu bernilai [[bilangan positif|positif]] atau nol, tetapi tidak pernah [[bilangan negatif|negatif]]. Jika <math>x </math> bernilai negatif (<math>x<0 </math>) maka nilai mutlaknya pasti positif (<math>|x|=-x>0 </math>).

Dari sudut pandang [[Geometri analitis|geometri analitik]], nilai mutlak dari sebuah bilangan riil adalah [[jarak]] bilangan tersebut dari bilangan 0 pada [[garis bilangan real|garis bilangan riil]]. Lebih umum lagi, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Definisi [[Metrik (matematika)|fungsi jarak]] dalam matematika dapat dianggap sebagai perumuman dari nilai mutlak (lihat bagian [[Nilai absolut#Jarak|"Jarak"]] dibawah).

Definisi lain dari nilai mutlak adalah <math display="block">|x| = \sqrt{x^2}</math> karena [[akar kuadrat]] dari sebuah bilangan positif bernilai unik (tunggal).

Dalam perkalian, Nilai mutlak memiliki sifat:

c · |a| = |c · a| untuk c ≥ 0.

Dibawah ini juga ada beberapa sifat dasar dari Nilai mutlak (dengan ''a'' dan ''b'' adalah bilangan riil), yang juga digunakan dalam memperumum definisi nilai mutlak ke objek-objek matematika lainnya:

:

Sifat nonnegatif, definit positif, dan multiplikatif terlihat jelas dari definisi. Untuk membuktikan sifat pertidaksamaan segitiga berlaku, perhatikan bahwa  <math>s \cdot (a+b) = |a+b| \geq 0</math> bernilai benar untuk <math>s=-1 </math> atau <math>s=1</math>. Namun, karena <math>-1 \cdot x \le |x|</math> dan <math>1 \cdot x \le |x|</math>, mengakibatkan apa pun nilai <math>s</math> yang dipilih, akan berlaku <math>s \cdot x\leq |x|</math> untuk setiap bilangan riil <math>x</math>. Akibatnya, <math>|a+b|=s \cdot (a+b) = s \cdot a + s \cdot b \leq |a| + |b|</math>, sesuai dengan yang diharapkan. (Untuk perumuman bukti ini di bilangan kompleks, lihat [[Nilai absolut#Bukti ketidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks|"Bukti pertidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks"]] dibawah.)

Berikut adalah beberapa sifat nilai mutlak lainnya yang berguna. Sifat-sifat berikut adalah konsekuensi langsung dari definisi atau tersirat dari empat sifat dasar diatas.
\ </math> (jika <math>b \ne 0</math>)
|Berlakunya sifat pembagian (setara dengan multiplikatif)

|<math>|a-b| \geq \big|\,|a| - |b|\,\big| </math>
|''Reverse triangle inequality'' (setara dengan ''subadditivity'')

Dua sifat lain dari nilai mutlak terkait pertidaksamaan yang berguna adalah:<math display="block">\begin{align}
|a| \le b &\iff -b \le a \le b \\
|a| \ge b &\iff a \le -b\ \text{ atau } a\ge b
\end{align}</math>Hubungan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Sebagai contoh:

<math>\begin{align} |x-3| \le 9
& \iff -9 \le x-3 \le 9\\
& \iff -6 \le x \le 12.
\end{align} </math>

===Bilangan kompleks===


Karena [[bilangan kompleks]] tidak [[Himpunan terurut total|terurut]], definisi nilai mutlak yang digunakan untuk bilangan riil tidak dapat digunakan secara langsung untuk bilangan kompleks. Namun, intepretasi geometris nilai mutlak riil sebagai jarak bilangan dari bilangan 0 dapat diperumum. Nilai mutlak dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai jarak Euklidean bilangan tersebut dengan [[Titik nol|titik asal]] di [[bidang kompleks]]. Hal ini dapat dihitung menggunakan [[teorema Pythagoras]]: untuk setiap bilangan kompleks <math display="block">z = x + iy,</math>dengan <math>x</math> dan <math>y</math> adalah bilangan riil, ''nilai mutlak'' atau ''modulus'' dari <math>z</math> yang diwakili sebagai <math>|z|</math>, didefinisikan sebagai<math display="block">|z| =  \sqrt{[\mathrm{Re}(z)]^2 + [\mathrm{Im}(z)]^2}=\sqrt{x^2 + y^2},</math>dengan <math>\mathrm{Re}(z)=x</math> dan <math>\mathrm{Im}(z)=y</math> masing-masing menyatakan bagian riil dan imajiner dari <math>z</math>. Ketika bagian imajiner bernilai nol, definisi ini sama dengan definisi nilai mutlak untuk bilangan riil <math>x</math>. Jika bilangan kompleks <math>z </math> dinyatakan dalam [[Bilangan kompleks#Bentuk polar|bentuk polar]] sebagai <math display="inline">z = r e^{i \theta},</math> nilai mutlaknya adalah <math display="inline">|z| = r.</math>

Karena sebarang bilangan kompleks <math>z</math> dan [[konjugat kompleks]]nya <math>\bar z = x - iy</math> memiliki nilai mutlak yang sama, yakni bilangan riil non-negatif <math>(x^2+y^2)</math>, nilai mutlak dari bilangan kompleks <math>z</math> juga dapat dinyatakan sebagai akar kuadrat dari <math>z \cdot \overline{z},</math> ditulis secara matematis:<math display="block">|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}.</math>Definisi tersebut memperumum definisi alternatif pada bilangan riil: <math>|x| = \sqrt{x\cdot x}.</math>

Nilai mutlak bilangan kompleks juga memenuhi empat sifat dasar dari nilai mutlak bilangan riil diatas.

==Fungsi nilai mutlak==


Fungsi nilai mutlak bilangan riil bersifat [[Fungsi kontinu|kontinu]] dimanapun. Fungsi ini juga [[Fungsi terdiferensialkan|terturunkan]] dimanapun kecuali di <math>x=0</math>. Selain itu, fungsi [[Fungsi monoton|monoton turun]] pada selang <math>(-\infty,\, 0]</math>, dan monoton naik pada selang <math>[0,\,\infty)</math>. Karena bilangan riil dan [[Invers aditif|lawannya]] memiliki nilai mutlak yang sama, fungsi ini juga merupakan [[fungsi genap]] sehingga tidak [[Fungsi invers|memiliki invers]].  Fungsi nilai mutlak adalah [[fungsi konveks]] dan [[Fungsi linear (kalkulus)|fungsi linear]] bagian-demi-bagian.

Fungsi nilai mutlak untuk bilangan riil dan kompleks bersifat [[idempoten]].

===Hubungan dengan fungsi tanda===
Nilai dari fungsi nilai mutlak tidak bergantung pada [[Tanda (matematika)|tanda]] bilangan, sedangkan [[fungsi tanda]] menghasilkan tanda dari bilangan dan tidak bergantung pada nilai bilangan tersebut. Hubungan antara kedua fungsi ini adalah: <math display="block">|x| = x \sgn(x),</math>dan untuk <math>x\neq 0, </math> <math display="block">\sgn(x) = \frac{x} = \frac{x}.</math>Turunan

Fungsi nilai mutlak memiliki turunan untuk semua <math>x \neq 0,</math> dan [[Fungsi terdiferensialkan|tidak dapat diturunkan]] pada <math>x=0.</math> Turunannya untuk <math>x \neq 0</math> adalah [[fungsi tangga]] yang didefinisikan sebagai berikut:
:<math>\frac{d|x|}{dx} = \frac{x} = \begin{cases} -1, & x<0, \\  1, & x>0. \end{cases}</math>

Fungsi nilai mutlak adalah contoh fungsi kontinu yang memiliki titik minimum global, namun tidak memiliki turunan pada titik tersebut.

Fungsi nilai mutlak bilangan kompleks kontinu dimanapun, tetapi tidak terturunkan secara kompleks dimanapun, karena tidak memenuhi [[persamaan Cauchy–Riemann]].

Turunan kedua dari <math>|x|</math> terhadap <math>x</math> bernilai 0 dimanapun kecuali di <math>x=0</math> (karena tidak memiliki turunan).

===Antiturunan===
Antiturunan ([[integral tak tentu]]) dari fungsi nilai mutlak riil adalah

:<math>\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C,</math>

dengan <math>C</math> adalah sebarang [[konstanta integrasi]]. Akan tetapi, fungsi ini bukanlah integral kompleks tak tentu dari fungsi nilai mutlak, karena integral kompleks hanya terdefinisi untuk fungsi yang terturunkan secara kompleks ([[fungsi holomorfis]]); yang tidak dipenuhi oleh fungsi nilai mutlak kompleks.

==Jarak==

Nilai mutlak berhubungan erat dengan konsep jarak. Seperti yang disampaikan di atas, nilai mutlak dari bilangan riil maupun kompleks adalah [[jarak]] dari bilangan tersebut ke titik nol; pada [[garis bilangan real|garis bilangan riil]] untuk [[bilangan riil]], dan pada [[bidang kompleks]]  untuk [[bilangan kompleks]]. Secara lebih umum, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil atau kompleks adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Misalkan <math>a = (a_1, a_2, \dots , a_n) </math> dan <math>b = (b_1, b_2, \dots , b_n) </math> adalah titik dalam [[Ruang Euklides|ruang Euklides dimensi-''n'']].  [[Jarak Euklides]] di antara keduanya didefinisikan sebagai: <math display="block">\sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. </math>Hal ini dapat dianggap sebagai perumuman, karena untuk bilangan riil <math>a_1</math> dan <math>b_1</math> (yang berada di ruang dimensi-1), menurut definisi alternatif dari nilai mutlak akan berlaku hubungan <math display="block">|a_1 - b_1| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2} = \sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^1(a_i-b_i)^2},</math>dan untuk bilangan kompleks <math> a = a_1 + i a_2 </math> dan <math> b = b_1 + i b_2 </math> (yang berada di ruang dimensi-2):<math display="block">\begin{align}
|a - b| &= |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)|\\
&= |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)|\\
&= \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}\\
&= \sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^2(a_i-b_i)^2}.
\end{align} </math>Keadaan di atas menunjukkan jarak "nilai mutlak", masing-masing pada bilangan riil dan kompleks, sesuai dengan definisi jarak Euklides standar; yang mereka "warisi" dengan memandang mereka sebagai ruang Euklides dimensi satu dan dimensi dua.

Sifat dari nilai mutlak dari selisih dua bilangan: non-negatif, ''identity of indiscernibles'', simetri, dan pertidaksamaan segitiga pada bahasan sebelumnya, digunakan untuk mendefinisikan [[fungsi jarak]] yang lebih umum berikut: fungsi bernilai riil <math>d</math> pada himpunan <math>X \times X</math> disebut sebagai [[Metrik (matematika)|metrik]] (atau ''fungsi jarak'') pada <math>X</math>, jika fungsi tersebut memenuhi empat [[aksioma]] berikut:
:

==Perumuman==

===Gelanggang terurut===
Definisi nilai mutlak untuk suatu bilangan riil dapat diperumum untuk sebarang [[gelanggang terurut]]. Dalam kasus ini, jika <math>a</math> adalah elemen dari gelanggang terurut <math>R</math>, maka ''nilai mutlak'' dari <math>a</math>, yang ditulis sebagai <math>|a|</math>, didefinisikan sebagai:

:<math>|a| = \left\{
   \begin{array}{rl}
     a, & \text{jika }  a \geq 0 \\
     -a, & \text{jika } a < 0.
   \end{array}\right.
 </math>

dengan <math>-a</math> adalah [[Invers aditif|invers penjumlahan]] dari <math>a</math>, 0 adalah [[identitas penjumlahan]], dan <math><</math> dan <math>\geq</math> masing-masing memiliki sifat yang sesuai dengan pengurutan yang ada di gelanggang tersebut.

===Lapangan===
Keempat sifat dasar dari nilai mutlak untuk bilangan riil dapat digeneralisasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sebarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Misalkan <math>F</math> lapangan. Suatu fungsi <math>v:F \rightarrow \mathbb{R}</math> dikatakan ''nilai mutlak'' (disebut juga ''modulus, nilai,'' atau ''valuasi'')  jika <math>v </math> memenuhi empat aksioma berikut:


Di sini, <math>\mathbf{0}</math> menyatakan [[elemen identitas]] penjumlahan di lapangan <math>F</math>. Aksioma positif definit dan sifat multiplikatif mengakibatkan <math>v(\mathbf{1})=1</math>, dengan <math>\mathbf{1}</math> adalah elemen identitas perkalian di lapangan <math>F</math>.  Nilai mutlak pada bilangan riil dan bilangan kompleks yang didefinisikan di atas merupakan contoh dari nilai mutlak pada lapangan.

Jika <math>v</math> adalah nilai mutlak pada lapangan <math>F</math>, fungsi <math>d:F \times F \rightarrow \mathbb{R}</math> yang didefinisikan sebagai <math>d(a, b)=v(a-b)</math> merupakan [[Ruang metrik|metrik]]. Berikut merupakan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen mengenai fungsi <math>v</math> dan <math>d</math>:

* <math>d</math> memenuhi pertidaksamaan [[Ultrametric|ultrametrik]] <math>d(x, y) \leq \max(d(x, y), d(y, z))</math> untuk setiap <math>x, y, z \in F</math>.
* <math display="inline">\left\{v\left(\sum_{k=1}^{n} \mathbf{1}\right): n\in \mathbb{N} \right\}</math> adalah subhimpunan terbatas dari <math>\mathbb{R}</math>.
* <math display="inline">v\left(\sum_{k=1}^{n} \mathbf{1} \right) \leq 1</math> untuk sembarang bilangan asli <math>n</math>.
* <math>v(a) \leq 1 \implies v(1+a) \leq 1</math> untuk sembarang <math>a \in F</math>.
* <math>v(a+b) \leq \max(v(a), v(b))</math> untuk setiap <math>a, b \in F</math>

Nilai mutlak yang memenuhi salah satu kondisi di atas, yang berarti juga memenuhi semua kondisi lainnya, disebut sebagai nilai mutlak ''non-Archimedes''. Sebaliknya, nilai mutlak yang tidak memenuhi satupun kondisi disebut sebagai nilai mutlak ''Archimedes'''''.'''

=== Ruang vektor ===
Sifat-sifat nilai mutlak untuk bilangan riil dapat dimodifikasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarang ruang vektor. Fungsi bernilai riil <math display="inline">\|\mathbf{x} \|</math> pada [[ruang vektor]] <math display="inline">V</math> atas lapangan <math display="inline">F</math> disebut nilai mutlak (tapi lebih umum disebut dengan [[Norma (matematika)|norma]]), jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Untuk setiap <math>k \in F</math>, <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in F</math>, berlaku

Norma dari sebuah vektor juga disebut sebagai ''panjang'' atau ''magnitudo'' dari vektor tersebut.

Dalam kasus [[ruang Euklides]] <math>\mathbb{R}^n</math>, fungsi yang didefinisikan sebagai<math display="block">\|(x_1, x_2, \dots x_n)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}</math>merupakan norma yang disebut norma Euklides. Jika himpunan bilangan riil <math>\mathbb{R}</math> dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu <math>\mathbb{R}^1</math>, nilai mutlak dapat dipandang sebagai [[Norma (matematika)|norma]]. Tidak hanya itu, nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma "unik" pada ruang vektor  <math>\mathbb{R}^1</math>, dalam artian sembarang norma pada <math>\|\cdot\|</math> pada <math>\mathbb{R}^1</math> dapat dilihat sebagai <math>\|x\|=\|1\| \cdot |x|</math>.

Nilai mutlak pada bilangan kompleks merupakan salah satu contoh norma pada ruang hasil kali dalam, yang identik dengan norma Euklides dengan meninjau [[bidang kompleks]] sebagai [[bidang Euklides]] <math>\mathbb{R}^2.</math>

=== Aljabar komposisi ===
Setiap aljabar komposisi <math>A</math> memiliki involusi <math>x \mapsto x^*</math>, dengan <math>x^*</math> adalah '''konjugasi''' dari <math>x</math>. Hasil kali di dalam aljabar komposisi <math>A</math> dari elemen <math>x</math> dengan konjugatnya <math>x^*</math> dituliskan sebagai <math>N(x)=xx^*</math> dan disebut '''norma''' dari <math>x</math>.

Himpunan bilangan riil <math>\mathbb{R}</math>, bilangan kompleks <math>\mathbb{C}</math>, dan kuarternion <math>\mathbb{H}</math> adalah aljabar komposisi dengan norma yang diberikan bentuk definit kuadratik. Nilai mutlak di semua aljabar pembagian ini adalah akar kuadrat dari norma di aljabar komposisi.

Secara umum, norma dari aljabar komposisi dapat berupa bentuk kuadrat yang bukan definit dan memiliki vektor null. Akan tetapi, sebagaimana umumnya pada aljabar pembagian, jika elemen <math>x</math>  memiliki norm tidak nol, maka <math>x</math> memiliki [[elemen invers]] terhadap perkalian, yaitu <math>x^*/N(x)</math>.

== Referensi ==


== Daftar pustaka ==
* Bartle; Sherbert; ''Introduction to real analysis'' (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
* Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, ''Algebra'', American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
* Mendelson, Elliott, ''Schaum's Outline of Beginning Calculus'', McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
* O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html "Jean Robert Argand"].
* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [http://books.google.com/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA259 "Absolute Values"], [[Academic Press]] (1997) ISBN 0-12-622760-8.



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Nilai+mutlak&oldid=29371819 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29371819 (2026-06-21T13:24:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.