Lihat sumber Faktor persekutuan terbesar

Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut [[Koprima (bilangan)|saling prima]] jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan [[bilangan prima]])

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, [[kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam [[aritmetika]] dan [[teori bilangan]].

== Definisi ==
Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.

Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:

* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan
* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>

bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.

=== Peristilahan ===
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,''' atau '''pembagi bersama terbesar''', dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.

== Contoh ==

* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>.

== Perhitungan FPB ==

=== Faktorisasi prima ===
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor


diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(60,24) = 2^2 \times 3 = 12</math>.

=== Algoritma Euklides ===

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;
</pre>

== Sifat ==
Untuk sebarang bilangan bulat <math>a,b,c</math>, dengan <math>|a|</math> adalah [[Nilai absolut|nilai multak]] dari <math>a</math>, berlaku:

* [[Sifat komutatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>.
* [[Sifat asosiatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b,c)=\operatorname{FPB}(a,\operatorname{FPB}(b,c))=\operatorname{FPB}(\operatorname{FPB}(a,b),c)</math>.
* [[Sifat distributif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(ac,bc) = c \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>
* Jika <math>c</math> faktor persekutuan <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>c \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>, dan <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=\frac{\operatorname{FPB}(a,b)}{c}</math>, sehingga jika <math>d=\operatorname{FPB}(a,b)</math> maka <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1</math>
* <math>\operatorname{FPB}(\pm a,\pm b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(a,b-a)=\operatorname{FPB}(a,b+a)=\operatorname{FPB}(a,b-ca)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = |a|</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,1) = 1</math>
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika '''<math>b</math>''' habis membagi <math>a</math>.

== Koprima ==

Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
== Penerapan ==
=== Menyederhanakan pecahan ===
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai

: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.

=== Kelipatan persekutuan terkecil ===

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.</blockquote>

== Lihat pula ==
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
== Rujukan ==



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktor+persekutuan+terbesar&oldid=27821384 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27821384 (2025-09-14T03:01:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.