Lihat sumber Kuantifer (logika)

Dalam [[bahasa alami]], kuantifer mengubah kalimat tentang sesuatu yang memiliki beberapa properti menjadi kalimat tentang jumlah (kuantitas) benda sifat. Contoh bilangan dalam [[bahasa Inggris]] adalah "all", "some", "many", "few", "most", dan "no"; Contoh kalimat terkuantifikasi adalah "semua orang fana", "beberapa orang fana", dan "tidak ada orang yang fana", adalah benar, dan salah.

Dalam [[logika matematika]], khususnya dalam [[Logika predikat tingkat pertama|logika orde pertama]], '''kuantifer''' mencapai tugas serupa, beroperasi pada [[Rumus well-formet|rumus matematika]] dari kalimat bahasa Inggris.

Lebih tepatnya, pembilang menentukan jumlah spesimen dalam [[domain wacana]] yang menggunakan [[rumus terbuka]]. Dua bilangan formal yang umum adalah "[[kuantifikasi universal]]" ([[Kuantifikasi universal|pembilang universal]], secara tradisional dilambangkan dengan [[Turned A|"∀"]] ), dan "  [[Kuantifikasi eksistensial|eksistensial]] [[Kuantifikasi eksistensial|kuantifikasi]]" ([[Kuantifikasi eksistensial|pembilang eksistensial]], [[Ternyata E|"∃"]]). Misalnya, dalam [[aritmetika]], bilangan memungkinkan bahwa [[bilangan asli]] berlangsung, dengan menulis bahwa "untuk bilangan asli ''n'', bilangan asli ''m'' yang terbesar dari ''n'' "; ditulis sebagai formal sebagai "∀ ''n'' ∈ℕ. ∃ ''m'' ∈ℕ. ''m'' > ''n'' ". Contoh di atas dapat diformalkan sebagai "∀ ''p'' ∈ ''P.'' ''M'' ( ''p'' )", "∃ ''p'' ∈ ''P.'' ''M'' ( ''p'' )", dan " [[Negasi|¬]] ∃ ''p'' ∈ ''P.'' ''M'' ( ''p'' )", ketika ''P'' menunjukkan [[Himpunan (matematika)|himpunan]], dan ''m'' ( ''p'' ) menunjukkan "''p'' adalah fana".

Rumus dimulai dengan kuantifer disebut rumus '''kuantifikasi'''. Kuantifer formal membutuhkan variabel, yang dikatakan ''[[Variabel bebas dan variabel terkait|terkait]]'', dan [[Rumus well-formet|subrumus]] menentukan sifat variabel.

Pengukur formal digeneralisasikan dengan karya [[Andrzej Mostowski|Mostowski]] dan [[Per Lindström|Lindström]].

== Relasi dengan konjungsi dan disjungsi logis ==
Untuk domain hingga wacana D = {a <sub>1</sub>, ... a <sub>n</sub> }, pembilang universal ekuivalen dengan [[Logika konjungsi|konjungsi logis]] dari proposisi dengan istilah tunggal a <sub>i</sub> (dengan bentuk Pa <sub>i</sub> untuk [[Kalkulus predikat monadik|predikat monadik]]).

[[Kuantifikasi eksistensial|Pengukur eksistensial]] ekuivalen dengan [[Logika disjungsi|disjungsi logis]] dari proposisi digunakan struktur yang sama seperti sebelumnya. Untuk wacana yang tak hingga, persamaannya serupa.

=== Domain wacana tak hingga ===
Perhatikan pernyataan berikut:

: 1 · 2 = 1 + 1, dan 2 · 2 = 2 + 2, dan 3 · 2 = 3 + 3, ..., dan 100 · 2 = 100 + 100, dan ..., dll.

''[[Logika konjungsi|Konjungsi]]'' proposisi yang ''tak hingga d''ari sudut [[bahasa formal]] secara langsung menjadi masalah, karena aturan [[Sintaks (logika)|sintaks]] dengan menghasilkan kata [[Himpunan hingga|terbatas]].

Contoh di atas, karena [[Algoritme|prosedur]] untuk konjungsi. Namun, jika pernyataan dibuat tentang [[bilangan irasional]], tidak ada cara untuk menghitung semua konjungsi, karena irasional tidak disebutkan. Rumus ekuivalen ringkas masalah menggunakan ''penghitungan universal'':

: Untuk [[bilangan asli]] ''n'', ''n'' · 2 = ''n'' + ''n'' .

Analisis serupa berlaku untuk [[Logika disjungsi|disjungsi]],

: 1 sama dengan 5 + 5, atau 2 sama dengan 5 + 5, atau 3 sama dengan 5 + 5, ..., atau 100 sama dengan 5 + 5, atau ..., dll.

dirumuskan ulang menggunakan ''kuantifikasi eksistensial'':

: Untuk beberapa [[bilangan asli]] ''n'', ''n'' sama dengan 5 + 5.

== Pendekatan aljabar untuk kuantifikasi ==
Dimungkinkan untuk merancang [[aljabar abstrak]] yang [[Teori model|modelnya]] mencakup [[bahasa formal]] dengan kuantifikasi, tetapi kemajuannya lambat dan minat pada aljabar terbatas. Tiga pendekatan dirancang saat ini:

* [[Relasi aljabar|Aljabar relasi]], ditemukan oleh [[Augustus De Morgan]], dan diterbitkan oleh [[Charles Sanders Peirce]], [[Ernst Schröder]], [[Alfred Tarski]], dan siswa Tarski. Aljabar relasi tidak dapat merepresentasikan rumus dengan bilangan yang bersarang lebih dari tiga kedalaman. Anehnya, model aljabar relasi mencakup [[Teori himpunan|teori himpunan aksiomatik]] [[Teori himpunan Zermelo–Fraenkel|ZFC]] dan [[Aksioma Peano|aritmetika Peano]] ;
* [[Tabung aljabar]], dibuat ditemukan [[Alfred Tarski]], [[Leon Henkin]], dan lainnya;
* [[Aljabar poliadik|Aljabar poliadic]] dari [[Paul Halmos]].

== Notasi ==
Dua bilangan yang umum adalah bilangan universal dan bilangan eksistensial. Simbol tradisional untuk pembilang universal adalah " [[Daftar simbol matematika|∀]] ", huruf yang diputar " [[A]] ", yang berarti "semua". Simbol yang sesuai untuk pembilang eksistensial adalah " [[∃]] ", huruf " [[E]] " yang diputar, yang berarti "ada".

Contoh translasi pernyataan terkuantifikasi dalam bahasa alami seperti [[bahasa Indonesia]] adalah sebagai berikut. Dengan pernyataan, "Setiap teman Udin suka menari atau suka pergi ke pantai (atau keduanya)", aspek kunci dapat diidentifikasi dan ditulis ulang menggunakan simbol termasuk bilangan. Jadi, misalkan ''X'' adalah himpunan dari semua teman Udin, U( ''x'' ) [[Predikat (logika matematika)|predikat]] "''x'' suka menari", dan ''Q''( ''x'' ) predikat "''x'' suka pergi ke pantai". Maka kalimat diatas dapat ditulis dalam notasi formal sebagai <math> \forall{x}{\in}X, U(x) \lor Q(x) </math>, yang dibaca, "untuk ''x'' yang merupakan anggota ''X'', U berlaku untuk ''x'' [[Logika disjungsi|atau]] ''Q'' berlaku untuk ''x'' ".

Beberapa ekspresi terkuantifikasi lainnya dibangun sebagai berikut,

: <math> \exists{x}\, U</math>&nbsp;&nbsp;<math>\forall{x}\, U </math>

untuk rumus U ''k''edua ungkapan ini (menggunakan definisi di atas) dibaca sebagai "ada teman Udin yang suka menari" dan "semua teman Udin suka menari". Notasi varian termasuk, untuk himpunan ''X'' dan himpunan anggota ''x'' :

: <math> \bigvee_{x} U</math>&nbsp;&nbsp;<math>(\exists{x}) U</math>&nbsp;&nbsp;<math>(\exists x \ . \ U)</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists x \ \cdot \ U</math>&nbsp;&nbsp;<math>(\exists x : U)</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists{x}(U)</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists_{x}\, U</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists{x}{,}\, U</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists{x}{\in}X \, U </math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists\, x{:}X \, U</math>

Semua variasi berlaku untuk penghitungan universal. Variasi lain untuk pembilang universal adalah

: <math>\bigwedge_{x} U</math>&nbsp;&nbsp;<math>\bigvee x U</math>&nbsp;&nbsp;<math>(x) \, U</math>

Beberapa versi notasi secara eksplisit menyebutkan kisaran kuantifikasi. Kisaran penghitungan harus selalu ditentukan; untuk teori matematika tertentu dapat dilakukan dengan beberapa cara:

* Asumsikan domain diskursus tetap untuk setiap kuantifikasi, seperti yang dilakukan dalam [[Teori himpunan Zermelo – Fraenkel|teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] ,
* Perbaiki beberapa domain wacana terlebih dahulu dan mengharuskan setiap variabel memiliki domain yang dideklarasikan, yang merupakan ''jenis'' variabel itu. Ini sejalan dengan situasi dalam bahasa [[Pemrograman|pemrograman komputer]] yang [[Ketik sistem|diketik secara statis]], di mana variabel telah menyatakan tipe.
* Sebutkan secara eksplisit kisaran kuantifikasi, mungkin menggunakan simbol untuk himpunan semua objek dalam domain itu (atau [[Jenis (teori tipe)|tipe]] objek dalam domain itu).

Menggunakan variabel apa pun sebagai variabel terkuantifikasi sebagai pengganti variabel lain, di bawah batasan tertentu di mana ''pengambilan variabel''. Meskipun notasi menggunakan variabel yang diketik, variabel jenis itu dapat digunakan.

Secara informal atau dalam bahasa alami, "∀ ''x'' " atau "∃ ''x'' "setelah atau di tengah ''P'' ( ''x'' ). Secara formal, frasa yang memperkenalkan variabel dummy ditempatkan di depan.

Rumus matematika menggabungkan ekspresi simbolis untuk bilangan dengan bilangan bahasa alami seperti,

: Untuk setiap bilangan asli ''x'' ,. . .
: Ada ''x'' . . .
: Untuk setidaknya satu ''x,.'' ''.'' ''.'' ''.''

Kata kunci untuk [[Ketunggalan (matematika)|penghitungan ketunggalan]] meliputi:

: Untuk tepat satu bilangan asli ''x'' ,. . .
: Ada satu dan hanya satu ''x'' seperti itu. . . .

Selanjutnya, ''x'' dapat diganti dengan [[Pronomina|kata ganti]]. Sebagai contoh,

: Untuk setiap bilangan asli, hasil perkaliannya dengan 2 sama dengan penjumlahannya dengan dirinya sendiri.
: Beberapa bilangan asli adalah bilangan prima.

== Urutan kuantifer (bersarang) ==
Urutan bilangan untuk makna, seperti yang diilustrasikan oleh dua proposisi berikut:

: Untuk setiap bilangan asli ''n'', terdapat bilangan asli ''s'' sehingga ''s'' = ''n'' <sup>2</sup>.

Hal ini jelas benar, setiap bilangan asli memiliki persegi. Arti pernyataan di mana urutan bilangan dibalik berbeda:

: Terdapat bilangan asli ''s'' sehingga untuk setiap bilangan asli ''n'', ''s'' = ''n'' <sup>2</sup>.

Hal ini jelas salah; ia menegaskan bahwa ada satu bilangan asli ''s'' yang merupakan kuadrat dari ''setiap'' bilangan asli. Ini karena [[sintaksis]] mengarahkan bahwa variabel apa pun tidak dapat menjadi fungsi dari variabel yang diperkenalkan selanjutnya.

Sebuah contoh non-trivial dari [[analisis matematis]] adalah konsep [[Kontinuitas seragam|keseragaman]] dan kontinuitas [[Fungsi kontinu|pointwise]], yang definisinya hanya berbeda dengan pertukaran dalam posisi dua bilangan. Fungsi ''f'' dari [[Bilangan riil|'''R''']] ke '''R'''.
* Kontinu Pointwise jika <math display="inline">\forall \varepsilon > 0 \; \forall x \in \R \; \exists \delta > 0 \; \forall h \in \R \; (|h| < \delta \, \Rightarrow \, |f(x) - f(x + h)| < \varepsilon ) </math>
* Kontinu unuform jika <math display="inline">\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in \R \; \forall h \in \R \; (|h| < \delta \, \Rightarrow \, |f(x) - f(x + h)| < \varepsilon ) </math>
Dalam kasus sebelumnya, nilai tertentu yang dipilih untuk ''δ'' dapat berupa fungsi dari ''ε'' dan ''x'', variabel yang mendahuluinya.
Dalam kasus terakhir, ''δ'' dapat menjadi fungsi hanya dari ''ε'' (yaitu, dipilih terlepas dari ''x''). Sebagai contoh, ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>, tetapi tidak keseragaman kontinuitas.
Sebaliknya, menukar dua bilangan universal awal dalam definisi kontinuitas pointwise tidak mengubah artinya.

Kedalaman maksimum penyarangan bilangan dalam sebuah rumus disebut "[[pangkat kuantifer]]".

== Ekspresi ekuivalen ==
Jika ''D'' adalah domain dari ''x'' dan ''P''(''x'') adalah predikat yang bergantung pada variabel objek ''x'', maka proposisi universal dapat dinyatakan sebagai

:<math>\forall x\!\in\!D\; P(x).</math>

Notasi ini dikenal sebagai dibatasi atau direlatifkan atau [[Kuantifer banded|kuantifikasi terbatas]]. Sama halnya menulis,

:<math>\forall x\;(x\!\in\!D \to P(x)).</math>

Proposisi eksistensial dapat diekspresikan dengan kuantifikasi terbatas sebagai

:<math>\exists x\!\in\!D\; P(x),</math>

atau ekuivalen

:<math>\exists x\;(x\!\in\!\!D \land P(x)).</math>

Dengan negasi, hanya satu dari bilangan universal atau eksistensial yang diperlukan untuk melakukan kedua tugas tersebut:

:<math>\neg (\forall x\!\in\!D\; P(x)) \equiv \exists x\!\in\!D\; \neg P(x),</math>

yang menunjukkan bahwa untuk menyangkal proposisi "untuk semua ''x''", seseorang tidak perlu lebih dari menemukan ''x'' yang predikatnya salah. Demikian pula,

:<math>\neg (\exists x\!\in\!D\; P(x)) \equiv \forall x\!\in\!D\; \neg P(x),</math>

untuk menyangkal sebuah proposisi "ada ''x''", kita perlu menunjukkan bahwa predikatnya salah untuk semua ''x''.

== Semantik formal ==
Semantik matematika adalah aplikasi [[matematika]] untuk mempelajari makna ekspresi dalam bahasa formal. memiliki tiga elemen: spesifikasi matematis dari kelas objek melalui [[sintaks (logika)|sintaks]], spesifikasi matematis dari berbagai [[domain semantik]] dan hubungan antara keduanya, yang biasanya dinyatakan sebagai fungsi dari objek sintaksis ke objek semantik. Artikel ini hanya membahas masalah bagaimana elemen pembilang diinterpretasikan.
Sintaks rumus dapat digunakan oleh pohon sintaks. Kuantifer memiliki [[ruang lingkup (logika)|ruang lingkup]], dan variabel ''x'' adalah [[variabel bebas|bebas]] jika tidak berada dalam lingkup perhitungan untuk variabel. Maka
:<math> \forall x (\exists y  B(x,y)) \vee C(y,x) </math>
kemunculan ''x'' dan ''y'' dalam ''C''(''y'', ''x'') bebas, sedangkan kemunculan ''x'' dan ''y'' dalam ''B''(''y'', ''x'') bond (yaitu tidak bebas).


[[interpretasi (logika)|Interpretasi]] untuk [[kalkulus predikat orde pertama]] mengasumsikan sebagai domain individu ''X''. Rumus ''A'' dari variabel bebas ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>n</sub> diinterpretasikan sebagai [[fungsi Boolean]] ''F''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>) dari argumen ''n'', di mana setiap argumen berkisar pada domain ''X''. Nilai Boolean berarti bahwa fungsi tersebut mengasumsikan salah satu nilai '''T''' (ditafsirkan sebagai kebenaran) atau '''F''' (ditafsirkan sebagai kepalsuan). Penafsiran rumus
:<math> \forall x_n A(x_1, \ldots , x_n) </math>
adalah fungsi ''G'' dari ''n''-1 argumen ''G''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''-1</sub>) = '''T''' jika dan hanya jika ''F''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''-1</sub>, ''w'') = '''T''' untuk ''w'' in ''X''. Jika  ''F''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''-1</sub>, ''w'') = '''F''' untuk setidaknya satu nilai ''w'', maka ''G''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''-1</sub>) = '''F'''. Demikian pula interpretasi rumusnya
:<math> \exists x_n A(x_1, \ldots , x_n) </math>
adalah fungsi ''H'' dari ''n''-1 argumen sedemikian rupa ''H''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''-1</sub>) = '''T''' jika dan hanya jika ''F''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''-1</sub>, ''w'') = '''T''' untuk setidaknya satu ''w'' dan jika tidak ''H''(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''-1</sub>) = '''F'''.

Semantik untuk [[kuantifikasi keunikan]] membutuhkan kalkulus predikat orde pertama dengan persamaan. Artinya predikat dua tempat yang dibedakan "="; semantik juga dimodifikasi sedemikian rupa sehingga "=" selalu diartikan sebagai relasi persamaan dua tempat pada ''X''. Interpretasinya adalah
:<math> \exists !   x_n A(x_1, \ldots , x_n) </math>
kemudian adalah fungsi dari ''n''-1 argumen, yang merupakan logika dari interpretasi
:<math> \exists  x_n A(x_1, \ldots , x_n) </math>
:<math> \forall y,z \left\{  A(x_1, \ldots ,x_{n-1}, y) \wedge  A(x_1, \ldots ,x_{n-1}, z) \implies y = z \right\}.</math>

Jenis kuantifikasi mendefinisikan [[operator penutupan]] yang sesuai pada himpunan rumus, dengan menambahkan, untuk setiap variabel bebas ''x'', pembilang untuk ''x''. Misalnya, ''penutupan eksistensial'' dari [[rumus terbuka]] ''n''>2 ∧ ''x''<sup>''n''</sup>+''y''<sup>''n''</sup>=''z''<sup>''n''</sup> adalah rumus tertutup ∃''n'' ∃''x'' ∃''y'' ∃''z'' (''n''>2 ∧ ''x''<sup>''n''</sup>+''y''<sup>''n''</sup>=''z''<sup>''n''</sup>); rumus terakhir, ketika ditafsirkan di atas bilangan asli, diketahui salah oleh [[teorema terakhir Fermat]]. Sebagai contoh lain, aksioma persamaan, ''x''+''y''=''y''+''x'', biasanya dimaksudkan untuk menunjukkan ''penutupan universal'' ∀''x'' ∀''y'' (''x''+''y''=''y''+''x'') untuk mengekspresikan [[komutatif]].

== Paucal, multal dan kuantifer derajat lainnya ==


Dari bilangan yang dibahas sebelumnya berlaku untuk bilangan seperti

:Ada banyak bilangan bulat ''n'' < 100, sehingga ''n'' habis dibagi 2 atau 3 atau 5.

Salah satu mekanisme interpretasi yang mungkin dapat diperoleh sebagai berikut: Misalkan sebagai tambahan untuk domain semantik ''X'', [[ukuran probabilitas]] P yang ditentukan pada ''X'' dan bilangan Cutoff 0 < ''a'' ≤ ''b'' ≤  1.  If ''A'' adalah rumus dengan variabel bebas ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub> yang interpretasi
fungsi ''F'' variabel ''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub>
kemudian interpretasi
:<math> \exists^{\mathrm{many}} x_n A(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n) </math>
adalah fungsi dari ''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''-1</sub> yaitu '''T''' jika dan hanya jika
:<math> \operatorname{P} \{w: F(v_1, \ldots, v_{n-1}, w) = \mathbf{T} \} \geq b </math>
dan '''F''' sebaliknya. Begitu pula dengan interpretasi
:<math> \exists^{\mathrm{few}}  x_n  A(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n) </math>
adalah fungsi dari ''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''-1</sub> yaitu '''F''' jika dan hanya jika
:<math> 0< \operatorname{P} \{w: F(v_1, \ldots, v_{n-1}, w) = \mathbf{T}\} \leq a </math>
dan '''T''' sebaliknya.


=== Kuantifer lainnya ===
Beberapa kuantifer lain telah diusulkan dari waktu ke waktu. Secara khusus, pengukur solusi, mencatat § ([[tanda bagian]]) dan membaca "itu". Sebagai contoh,
:<math> \left[ \S n \in \mathbb{N} \quad n^2 \leq 4 \right] = \{0, 1, 2\}</math>
dibaca "itu ''n'' dalam '''N''' seperti itu ''n''<sup>2</sup> ≤ 4 berada dalam {0,1,2}." Konstruksi yang sama dapat diekspresikan dalam [[notasi himpunan-builder]] sebagai
:<math>\{n \in \mathbb N: n^2 \le 4\} = \{0, 1, 2\}.</math>
Berlawanan dengan bilangan lain, § menghasilkan satu himpunan dari rumus.

Beberapa bilangan lain yang terkadang digunakan dalam matematika meliputi:
* Ada banyak elemen yang tak terbatas sehingga...
* Untuk semua kecuali banyak elemen yang terbatas... (kadang-kadang dinyatakan sebagai "untuk semua elemen...").
* Ada banyak elemen yang tak terhitung banyaknya sehingga ...
* Untuk semua kecuali banyak elemen...
* Untuk semua elemen dalam satu himpunan ukuran positif...
* Untuk semua elemen kecuali yang ada dalam satu himpunan ukuran nol...

== Lihat pula ==

* [[General mutlak]]
* [[Hampir semua (matematika)]]
* [[Kantifer bercabang]]
* [[Kuantifer bersyarat]]
* [[Hitung kuantifikasi]]
* [[Iventuali (matematika)]]
* [[Kuantifer generalisasi]] - properti tingkat tinggi yang digunakan sebagai semantik standar dari [[frasa kata benda]]
* [[Kuantifer Lindström]] - pembilang poladik umum
* [[Kuantifer eliminasi]]
* [[Kuantifer shift]]

== Referensi ==


== Bibliografi ==
* [[Jon Barwise|Barwise, Jon]]; and [[John Etchemendy|Etchemendy, John]], 2000. ''Language Proof and Logic''. CSLI (University of Chicago Press) and New York: Seven Bridges Press. A gentle introduction to [[first-order logic]] by two first-rate logicians.
* [[Gottlob Frege|Frege, Gottlob]], 1879. ''[[Begriffsschrift]]''. Translated in [[Jean van Heijenoort]], 1967. ''From Frege to Gödel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931''. Harvard University Press. The first appearance of quantification.
* [[David Hilbert|Hilbert, David]]; and [[Wilhelm Ackermann|Ackermann, Wilhelm]], 1950 (1928). ''[[Principles of Mathematical Logic]]''. Chelsea. Translation of ''Grundzüge der theoretischen Logik''. Springer-Verlag. The 1928 first edition is the first time quantification was consciously employed in the now-standard  manner, namely as binding variables ranging over some fixed domain of discourse. This is the defining aspect of [[first-order logic]].
* [[Charles Sanders Peirce|Peirce, C. S.]], 1885, "On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation, ''American Journal of Mathematics'', Vol. 7, pp. 180–202. Reprinted in Kloesel, N. ''et al.'', eds., 1993. ''Writings of C. S. Peirce, Vol. 5''. Indiana University Press. The first appearance of quantification in anything like its present form.
* [[Hans Reichenbach|Reichenbach, Hans]], 1975 (1947). ''Elements of Symbolic Logic'', Dover Publications. The quantifiers are discussed in chapters §18 "Binding of variables" through §30 "Derivations from Synthetic Premises".
* Westerståhl, Dag, 2001, "Quantifiers," in Goble, Lou, ed., ''The Blackwell Guide to Philosophical Logic''. Blackwell.
* Wiese, Heike, 2003. ''Numbers, language, and the human mind''. Cambridge University Press. .

== Pranala luar ==

*
* . From College of Natural Sciences, [[University of Hawaii at Manoa]].
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]:
** Shapiro, Stewart (2000). [http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/ "Classical Logic"] (Covers syntax, model theory, and metatheory for first order logic in the natural deduction style.)
** Westerståhl, Dag (2005). [http://plato.stanford.edu/entries/generalized-quantifiers/ "Generalized quantifiers"]
* Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). [http://www.stanford.edu/group/nasslli/courses/peters-wes/PWbookdraft2-3.pdf "Quantifiers"]



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuantifer+%28logika%29&oldid=27715104 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27715104 (2025-08-23T08:46:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.