Lihat sumber Grup kuaternion

Dalam [[teori grup]], '''grup angka empat''' Q<sub>8</sub> (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah [[grup non-abelian]] dari [[Urutan grup|urutan]] delapan, isomorfik ke [[himpunan bagian]] delapan elemen
<math>\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}</math> dari [[angka empat]] di bawah perkalian. Ini diberikan oleh [[presentasi grup]]

:<math>\mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle ,</math>

di mana e adalah [[elemen identitas]] dan  [[komutatif]] dengan elemen lain dalam grup.

[[Presentasi grup#Contoh|Presentasi Q<sub> 8 </sub>]] lainnya adalah:

:<math>\mathrm{Q}_8 = \langle a,b \mid a^4 = \mathbf {1}, a^2 = b^2, ba = a^{-1}b\rangle.</math>

== Dibandingkan dengan grup dihedral ==

Grup quaternion Q<sub> 8 </sub> memiliki urutan yang sama dengan [[grup dihedral]] [[Contoh grup#Grup simetri dari sebuah persegi: grup dihedral urutan 8|D<sub>4</sub>]], tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:


Dalam diagram untuk D<sub> 4 </sub>, elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan '''R'''<sup>2</sup>. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q<sub> 8 </sub>, karena tidak memiliki representasi yang tepat di '''R'''<sup>2</sup> atau '''R'''<sup>3</sup>. D<sub>4</sub> dapat direalisasikan sebagai bagian dari [[pemmbagi angka empat]] dengan cara yang sama seperti Q<sub> 8 </sub> dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

== Tabel Cayley ==

[[Tabel Cayley]] (tabel perkalian) untuk Q<sub> 8 </sub> diberikan oleh:


== Sifat ==

Perhatikan bahwa '' i '', '' j '', dan '' k '' semuanya memiliki [[urutan (teori grup)|urutan]] empat di Q<sub> 8 </sub> dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. [[Presentasi grup|Presentasi]] lainnya dari Q<sub>8</sub> berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

:<math>\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.</math>

Seseorang mungkin mengambil, misalnya, <math>i = x, j = y</math>, dan <math>k = xy</math>.

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai [[grup Hamiltonian|Hamiltonian]]: Q<sub>8</sub> non-abelian, tetapi setiap [[subgrup]] adalah [[subgrup normal|normal]]. Every Hamiltonian group contains a copy of Q<sub>8</sub>.

Grup angka empat Q<sub> 8 </sub> dan grup dihedral D<sub> 4 </sub> adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian [[grup nilpoten|nilpoten]].

[[Pusat grup|Pusat]] dan [[subgrup komutator]] dari Q<sub> 8 </sub> adalah subgrup <math>\{e,\bar{e}\}</math>. [[Grup automorfisme dalam]] dari Q<sub> 8 </sub> diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu [[grup faktor]] Q<sub>8</sub>/{e,}, untukmu [[isomorfik]] ke [[grup empat Klein]] V. [[Grup automorfisme]] dari Q<sub> 8 </sub> adalah [[isomorfik]] sampai S<sub> 4 </sub>, [[grup simetris]] pada empat huruf (lihat '' Representasi matriks '' di bawah), dan [[grup automorfisme luar]] dari Q<sub> 8 </sub> adalah S<sub>4</sub>/V, yang isomorfik ke S<sub>3</sub>.

Grup angka empat Q<sub> 8 </sub> memiliki lima kelas konjugasi, {e }, {  }, { i,  }, { j,  }, { k,  }, dan lima [[representasi tak tersederhanakan]] di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

'''Representasi trivial'''

'''Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel''': Q<sub>8</sub> memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal '' N '', kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen [[grup hasil bagi]] ''G''/''N''. Representasi mengirimkan elemen '' N '' ke 1, dan elemen di luar '' N '' ke -1.

'''Representasi 2 dimensi''': Dijelaskan di bawah dalam '' Representasi matriks ''.

[[Tabel karakter]] dari Q<sub> 8 </sub> ternyata sama dengan D<sub>4</sub>:


Karena karakter yang tidak dapat direduksi <math>\chi_\rho</math> pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan [[aljabar setengah sederhana#Klasifikasi|dekomposisi]] dari [[gelanggang grup|aljabar grup]] nyata dari <math>G = Q_8</math> menjadi minimal dua sisi [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]]: <math>\textstyle \R[Q_8] \ = \ \bigoplus_\rho (e_\rho)</math>, di mana [[Idempoten (teori gelanggang)|idempotensi]] <math>e_\rho\in \R[Q_8]</math> sesuai dengan irreducibles: <math>\textstyle e_\rho = \frac{\dim(\rho)}\sum_{g\in G} \chi_\rho(g^{-1})g</math>, seperti<blockquote><math>e_{\text{triv}} = \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i+j+\bar j+k+\bar k)</math>

<math>e_{i\text{-ker}} = \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i-j-\bar j-k-\bar k)</math>

<math>e_{j\text{-ker}} = \tfrac 18(e + \bar e - i -\bar i+j+\bar j-k-\bar k)</math>

<math>e_{k\text{-ker}} = \tfrac 18(e + \bar e - i -\bar i-j-\bar j+k+\bar k)</math>

<math>e_{2} = \tfrac 28(2e - 2\bar e)
= \tfrac 12(e - \bar e)</math>.</blockquote>Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke [[aljabar sederhana pusat]] nyata, empat pertama ke bidang nyata <math>\R</math>. Ideal terakhir <math> (e_2) </math> isomorfik terhadap [[bidang miring]] dari [[angka empat]] <math>\mathbb H</math> dengan korespondensi:<blockquote><math>\textstyle
\frac12(e-\bar e) \longleftrightarrow 1,\ \
\frac12(i-\bar i) \longleftrightarrow i,\ \
\frac12(j-\bar j) \longleftrightarrow j,\ \
\frac12(k-\bar k) \longleftrightarrow k.</math></blockquote>Selanjutnya, proyeksi homomorfisme <math>\R[Q_8]\to (e_2)\cong \mathbb{H}</math> diberikan oleh <math>r\mapsto re_2</math> memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:<blockquote><math>e_2^\perp\ = \ \textstyle e_1+e_{i\text{-ker}}+e_{j\text{-ker}}+e_{k\text{-ker}} \ =\  \frac 12(e+\bar e),</math> </blockquote>sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai [[gelanggang hasil bagi]] <math>\mathbb R[Q_8]/(e+\bar e)\cong \mathbb H</math>.

Aljabar grup kompleks dengan demikian <math>\Complex[Q_8]\cong \Complex^{\oplus 4}\oplus M_2(\Complex)</math>, di mana <math>M_2(\Complex) \cong \mathbb{H}\otimes_{\R}\!\Complex  \cong \mathbb{H}\oplus\mathbb{H}</math> adalah aljabar dari [[bikuaternion]].

== Representasi matriks ==

Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi [[representasi grup|representasi]] yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q<sub>8</sub> sebagai subgrup dari [[grup linier umum]] <math>\operatorname{GL}_2(\Complex)</math>. Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion <math>\mathbb H=\mathbb R1+\mathbb Ri+\mathbb Rj+\mathbb Rk= \mathbb C1+\mathbb Cj</math>, yang memiliki [[representasi reguler]] <math>\rho:\mathbb H\to \mathrm{M}_2(\mathbb{C})</math> perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai [[ruang vektor]] kompleks dengan basis <math>\{1,j\}</math>, sehingga <math>z\in \mathbb H</math> sesuai dengan '''C'''-pemetaan linier <math>\rho_z:a{+}jb\mapsto z\cdot(a{+}jb)</math>. Representasi yang dihasilkan <math>\rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{GL}_{2}(\Complex),\ g\mapsto\rho_g,</math> diberikan oleh:

:<math>\begin{matrix}
e \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} &
i \mapsto \begin{pmatrix}
  i &  0 \\
  0 & -i
\end{pmatrix}&
j \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -1 \\
  1 & 0
\end{pmatrix}&
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -i \\
  -i & 0
\end{pmatrix} \\
\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}
 -1 &  0 \\
  0 & -1
\end{pmatrix} &
\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}
  -i & 0 \\
  0 & i
\end{pmatrix}&
\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 &  0
\end{pmatrix}&
\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & i \\
  i & 0
\end{pmatrix}.
\end{matrix}
</math>

Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q<sub> 8 </sub> dalam [[grup linear khusus]] SL<sub>2</sub>('''C''').

Varian memberikan representasi oleh [[matriks kesatuan]] (<nowiki/>tabel di kanan). Maka <math>g\in Q_8</math> sesuai dengan pemetaan linier <math>\rho_g:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot  jg^{-1}j^{-1}</math>, sehingga <math>\rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{SU}_{2}</math> diberikan oleh:

<math>\begin{matrix}
e \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} &
i \mapsto \begin{pmatrix}
  i &  0 \\
  0 & -i
\end{pmatrix}&
j \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 & 0
\end{pmatrix}&
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & i \\
  i & 0
\end{pmatrix} \\
\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}
 -1 &  0 \\
  0 & -1
\end{pmatrix} &
\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}
  -i & 0 \\
  0 & i
\end{pmatrix}&
\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -1 \\
  1 &  0
\end{pmatrix}&
\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -i \\
  -i & 0
\end{pmatrix}.
\end{matrix}
</math>


Ada juga tindakan penting Q<sub> 8 </sub> pada ruang vektor 2 dimensi di atas [[bidang berhingga]] '''F'''<sub>3</sub> = {0,1,−1}  (tabel di kanan). [[Teori representasi modular|Representasi modular]] <math>\rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{SL}(2,3)</math> diberikan oleh

:<math>\begin{matrix}
e \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix} &
i \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 1 \\
  1 & \!\!\!\!-1
\end{pmatrix} &
j \mapsto \begin{pmatrix}
 \!\!\!-1 & 1 \\
  1 & 1
\end{pmatrix} &
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & \!\!\!\!-1 \\
  1 & 0
\end{pmatrix} \\
\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}
  \!\!\!-1 & 0 \\
  0 & \!\!\!\!-1
\end{pmatrix} &
\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}
  \!\!\!-1 & \!\!\!\!-1 \\
  \!\!\!-1 & 1
\end{pmatrix} &
\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}
 1 & \!\!\!\!-1 \\
  \!\!\!-1 & \!\!\!\!-1
\end{pmatrix} &
\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  \!\!\!-1 & 0
\end{pmatrix}.
\end{matrix}</math>

Representasi ini dapat diperoleh dari [[Ekstensi bidang|bidang ekstensi]] '''F'''<sub>9</sub> = '''F'''<sub>3</sub>[''k''] = '''F'''<sub>3</sub>1 + '''F'''<sub>3</sub>''k'', di mana ''k''<sup>2</sup> = −1 dan grup perkalian ('''F'''<sub>9</sub>)<sup>×</sup> memiliki generator ±(''k''+1), ±(''k''-1) urutan 8. Dua dimensi '''F'''<sub>3</sub>-ruang vektor '''F'''<sub>9</sub> mengakui pemetaan linier <math>\mu_z(a+bk)=z\cdot(a+bk)</math> untuk '' z '' pada '''F'''<sub>9</sub>, serta [[Endomorfisme Frobenius|Automorfisme Frobenius]] <math>\phi(a+bk)=(a+bk)^3</math> satisfying <math>\phi^2 = \mu_1 </math> dan <math>\phi\mu_z = \mu_{\phi(z)}\phi </math>. Maka matriks representasi di atas adalah <math>\rho(\bar e)=\mu_{-1}</math>, <math>\rho(i)=\mu_{k+1}\phi</math>, <math>\rho(j)=\mu_{k-1} \phi </math>, dan <math>\rho(k)=\mu_{k} </math>.

== Grup Galois ==
Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai [[grup Galois]] Gal(T/'''Q''') di mana '''Q''' adalah bidang [[bilangan rasional]] dan T adalah [[bidang pemisah]] di atas '''Q''' dari polinomial
:<math>x^8 - 72 x^6 + 180 x^4 - 144 x^2 + 36</math>.
Pengembangan menggunakan [[teorema fundamental teori Galois]] dalam menentukan empat bidang perantara antara '''Q''' dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.

== Grup angka empat digeneralisasi ==
'''Grup kuatnion umum''' Q<sub>4''n''</sub> urutan 4''n '' ditentukan oleh presentasi
:<math>\langle x,y \mid x^{2n} = y^4 = 1, x^n = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle</math>
untuk bilangan bulat , dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh ''n'' = 2. [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] menggunakan Q<sub>4''n''</sub> [[grup siklik]] <math>\langle 2, 2, n\rangle</math>, kasus khusus dari [[grup polihedral biner]] <math>\langle \ell, m, n\rangle</math> dan terkait dengan [[grup polihedral]] <math> (p, q, r) </math> dan [[grup dihedral]] <math>(2,2,n)</math>. Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup <math>\operatorname{GL}_2(\Complex)</math> dihasilkan oleh

:<math>\left(\begin{array}{cc}
               \omega_n & 0 \\
               0 & \overline{\omega}_n
             \end{array}
          \right)
        \mbox{ and }
        \left(\begin{array}{cc}
                0 & -1 \\
                1 & 0
              \end{array}
          \right)
</math>

di mana <math>\omega_n = e^{i\pi/n}</math>. Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh <math>x=e^{i\pi/n}</math> dan <math>y=j</math>.

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup [[grup abelian|abelian]] bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa [[p-group]] dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup '' p '' terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo '' p '' adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga '' F '' dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL<sub>2</sub>(''F'') non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, .  Maka ''p<sup>r</sup>'' menjadi ukuran '' F '', di mana '' p '' adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL<sub>2</sub>(''F'') adalah 2<sup>''n''</sup>, di mana .

[[Teorema Brauer–Suzuki]] menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi
:<math>\langle x,y \mid x^{2^m} = y^4 = 1, x^{2^{m-1}} = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.</math>


== Lihat pula ==
* [[sel-16]]
* [[Grup tetrahedral biner]]
* [[Aljabar Clifford]]
* [[Grup dikiklik]]
* [[Angka empat integral Hurwitz]]
* [[Daftar grup kecil]]

== Catatan ==


== Referensi ==
*
*
*
*
* Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", [[American Mathematical Monthly]] 88:42–5.
*
*
*
* P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", [[European Journal of Physics]] 5:25–32.
*
*

== Pranala luar ==
*
* [http://groupnames.org/#?quaternion Quaternion groups on GroupNames]
* Quaternion group on [https://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group GroupProps]
* Conrad, Keith. [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/genquat.pdf "Generalized Quaternions"]



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+kuaternion&oldid=28756164 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28756164 (2025-12-30T01:50:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.