Lihat sumber Persamaan parametrik

Dalam [[matematika]], '''Persamaan Parametrik''' mendefinisikan sekelompok kuantitas sebagai fungsi dari satu atau lebih variabel independen yang disebut parameter. Persamaan Parametrik biasanya digunakan untuk menyatakan [[koordinat]] dari titik-titik yang membentuk objek geometris seperti [[kurva]] atau [[Permukaan (matematika)|permukaan]], dalam hal ini persamaan '''representasi parametrik''' atau '''parameterization''' (sebagai alternatif dieja sebagai '''parametrisation''') of the object.

Contohnya persamaan
:<math>\begin{align}
  x &= \cos t \\
  y &= \sin t
\end{align}</math>
membentuk representasi parametrik dari [[lingkaran satuan]], di mana ''t'' adalah parameternya: Sebuah titik (''x'', ''y'') ada di lingkaran satuan, jika nilai ''t'' sehingga keduanya sama. Kadang-kadang persamaan parametrik untuk variabel keluaran individu [[skalar (matematika)|skalar]] digabungkan menjadi satu persamaan parametrik di [[vektor Euklides|vektor]]:

:<math>(x, y)=(\cos t, \sin t).</math>

Representasi parametrik umumnya tidak unik (lihat bagian "Contoh dalam dua dimensi" di bawah), jadi jumlah yang sama dapat diekspresikan dengan sejumlah parameterisasi yang berbeda.

Selain kurva dan permukaan, persamaan parametrik dapat menggambarkan [[manifold]] dan [[variasi aljabar|varisi aljabar]] yang lebih tinggi [[dimensi berjenis|dimensi]], dengan jumlah parameter yang sama dengan dimensi manifold atau variasi, dan jumlah persamaan yang sama dengan dimensi ruang di mana manifold atau variasi dipertimbangkan (untuk kurva dimensi adalah ''satu'' dan parameter ''satu'' digunakan, untuk parameter dimensi permukaan ''dua'' dan ''dua'', dll.).

Persamaan parametrik umumnya digunakan dalam [[kinematika]], di mana [[lintasan]] suatu benda diwakili oleh persamaan bergantung pada waktu sebagai parameternya. Karena aplikasi ini, parameter tunggal sering kali diberi label ''t''; tetapi, parameter dapat mewakili besaran fisik lainnya (seperti variabel geometris) atau dapat dipilih secara sewenang-wenang demi kenyamanan. Parameterisasi tidak unik; lebih dari satu set persamaan parametrik dapat menentukan kurva yang sama.

== Aplikasi ==
=== Kinematics ===
Dalam [[kinematika]], jalur objek melalui ruang biasanya digambarkan sebagai kurva parametrik, dengan setiap koordinat spasial bergantung secara eksplisit pada parameter independen (biasanya waktu). Digunakan dengan cara ini, himpunan persamaan parametrik untuk koordinat objek secara kolektif membentuk [[fungsi bernilai vektor]] untuk posisi. Kurva parametrik tersebut kemudian dapat menjadi [[Integral|terintegrasi]] dan [[turunan|terdiferensiasi]] termwise. Jadi, jika posisi partikel dijelaskan secara parametrik sebagai
:<math>\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))</math>

maka [[kecepatan]] dapat ditemukan sebagai
:<math>\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))</math>

dan [[percepatan]] sebagai
:<math>\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t))</math>.

=== Desain dengan bantuan komputer ===
Penggunaan penting lain dari persamaan parametrik adalah dalam bidang [[desain dengan bantuan komputer]] (CAD). Contohnya, pertimbangkan tiga representasi berikut, yang semuanya biasanya digunakan untuk mendeskripsikan [[kurva bidang|kurva planar]].


Setiap representasi memiliki kelebihan dan kekurangan untuk aplikasi CAD. Representasi eksplisit mungkin sangat rumit, atau bahkan mungkin tidak ada. Selain itu, ia tidak berperilaku baik di bawah [[Transformasi (geometri)|transformasi geometris]], dan khususnya di bawah [[rotasi (matematika)|rotasi]]. Di sisi lain, karena persamaan parametrik dan persamaan implisit dapat dengan mudah disimpulkan dari representasi eksplisit, ketika representasi eksplisit sederhana ada, itu memiliki keuntungan dari keduanya. Representasi implisit mungkin menyulitkan untuk menghasilkan titik kurva, dan bahkan untuk memutuskan apakah ada titik nyata. Di sisi lain, mereka sangat cocok untuk memutuskan apakah suatu titik tertentu berada pada kurva, atau apakah itu di dalam atau di luar kurva tertutup. Keputusan semacam itu mungkin sulit dengan representasi parametrik, tetapi representasi parametrik paling cocok untuk menghasilkan titik pada kurva, dan untuk memplotnya.

=== Geometri bilangan bulat ===
Banyak masalah dalam [[Segitiga bilangan bulat|geometri bilangan bulat]] dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan parametrik. Solusi klasik seperti itu adalah parametrikisasi [[Euklides]] dari [[segitiga siku-siku]] sedemikian rupa sehingga panjang sisinya  dan sisi miringnya  adalah [[bilangan bulat coprime]]. Karena ''a'' dan ''b'' tidak genap (sebaliknya   dan  tidak akan menjadi coprime), seseorang dapat menukarnya dengan memiliki  bahkan, dan parameterisasi kemudian

:<math>a = 2mn, \ \ b = m^2 - n^2, \ \ c = m^2 + n^2,</math>

di mana parameternya  dan  adalah [[bilangan bulat]] coprime positif yang tidak keduanya ganjil.

Dengan mengalikan   dan  dengan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang berubah-ubah, seseorang mendapatkan parametrization dari semua segitiga siku-siku yang ketiga sisinya memiliki panjang bilangan bulat.

== Implisitisasi ==


== Contoh dalam dua dimensi ==


== Contoh dalam tiga dimensi ==


=== Helix ===


Persamaan parametrik cocok untuk menggambarkan [[kurva]] dalam ruang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh:

:<math>\begin{align}
  x &= a \cos(t) \\
  y &= a \sin(t) \\
  z &= bt\,
\end{align}</math>

mendeskripsikan kurva tiga dimensi, [[heliks]], dengan jari-jari ''a'' dan naik 2π''b'' unit per putaran. Persamaan di [[bidang (matematika)|bidang]] identik dengan persamaan lingkaran.
Ekspresi seperti di atas biasanya ditulis sebagai

:<math>\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t),</math>

di mana '''r''' adalah vektor tiga dimensi.

=== Permukaan parametrik ===

Sebuah [[torus]] dengan radius mayor ''R'' dan minor radius ''r'' dapat didefinisikan secara parametrik sebagai

:<math>\begin{align}
  x &= \cos[t]\left[R + r \cos(u)\right], \\
  y &= \sin[t]\left[R + r \cos(u)\right], \\
  z &= r \sin[u].
\end{align}</math>

di mana dua parameter t dan u keduanya bervariasi antara 0 dan 2π.


Karena u bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak mengelilingi lingkaran pendek melewati lubang di torus. Karena t bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak membentuk lingkaran panjang mengelilingi lubang di torus.

== Contoh dengan vektor ==

Persamaan parametrik garis yang melewati titik <math>\left( x_0, y_0, z_0 \right)</math> dan sejajar dengan vektor <math> a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k}</math> is

<math display="block">\begin{align}
x & = x_{0}+a \cdot t \\
y & = y_{0}+b \cdot t \\
z & = z_{0}+c \cdot t
\end{align}</math>

== Lihat pula ==
*[[Melengkung]]
* [[Estimasi parametrik]]
* [[Vektor posisi]]
* [[Fungsi bernilai vektor]]
* [[Parametriisasi menurut panjang busur]]
* [[Turunan parametrik]]

== Catatan ==

== Pranala luar ==
*
*[http://danher6.100webspace.net/curvas/ Web application to draw parametric curves on the plane]



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+parametrik&oldid=29445041 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29445041 (2026-07-11T17:25:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.