Lihat sumber Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus

Dalam [[matematika]], '''Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus''', adalah masalah terkenal [[Maxima dan minima|optimasi]] yang dilakukan oleh matematikawan asal [[Jerman]] abad ke-15, Johannes Müller (juga dikenal sebagai [[Regiomontanus]]). Masalahnya adalah sebagai berikut:


: Sebuah lukisan tergantung di dinding. Mengingat ketinggian bagian atas dan bawah lukisan di atas tanggul mata pemirsa, seberapa jauh penonton harus berdiri dari dinding untuk memaksimalkan sudut [[sudut subtended|subtended]] dengan lukisan dan simpul siapa yang ada di mata pemirsa?

Jika penonton berdiri terlalu dekat dengan dinding atau terlalu jauh dari dinding, sudutnya kecil; di suatu tempat di antara itu adalah sebesar mungkin.

Pendekatan yang sama berlaku untuk menemukan tempat optimal untuk menendang bola di rugby. Oleh karena itu, kesejajaran gambar tidak perlu berada pada sudut siku-siku: kita mungkin sedang melihat jendela Menara Miring Pisa atau makelar yang memamerkan keunggulan lampu langit di atap loteng miring.

== Solusi dengan geometri dasar ==


Ada [[lingkaran]] unik yang melewati bagian atas dan bawah lukisan dan bersinggungan dengan garis setinggi mata. Dengan geometri dasar, jika posisi pemirsa bergerak di sepanjang lingkaran, [[sudut tertulis|sudut yang ditubuhkan oleh lukisan akan tetap konstan]]. Semua posisi pada garis sejajar mata kecuali titik singgung berada di luar lingkaran, dan oleh karena itu sudut yang dirubah oleh lukisan dari titik-titik tersebut lebih kecil..

Oleh [[Euklides|Euclid]]'s ''[[Elemen Euklides|Element]]''&nbsp;III.36 (alternatifnya [[kekuatan titik|teorema kekuatan-titik]]), jarak dari dinding ke titik singgung adalah [[rata-rata geometris]] dari ketinggian bagian atas dan bawah lukisan. Ini berarti, pada gilirannya, jika kita merefleksikan bagian bawah gambar pada garis setinggi mata dan menggambar lingkaran dengan ruas antara bagian atas gambar dan titik pantulan ini sebagai diameter, lingkaran memotong garis setinggi mata di posisi yang diperlukan (oleh Elemen II.14).

== Solusi dengan kalkulus ==
Saat ini, masalah ini dikenal luas karena muncul sebagai latihan di banyak buku teks [[kalkulus]] tahun pertama (contohnya Stewart&nbsp;).

Jika

: ''a'' = ketinggian bagian bawah lukisan di atas ketinggian mata;
: ''b'' = ketinggian bagian atas lukisan di atas ketinggian mata;
: ''x'' = jarak pemirsa dari dinding;
: ''&alpha;'' = sudut peninggian bagian bawah lukisan, dilihat dari posisi penonton;
: ''&beta;'' = sudut ketinggian bagian atas lukisan, dilihat dari posisi pemirsa.

Sudut yang ingin kami maksimalkan adalah ''&beta;&nbsp;&minus;&nbsp;&alpha;''. [[Fungsi trigonometrik#Sinus, kosinus, dan garis singgung|tangen]] sudut bertambah seiring dengan bertambahnya sudut; oleh karena itu cukup dimaksimalkan

: <math> \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan\alpha} = \frac{\frac{b}{x} - \frac{a}{x}}{1 + \frac{b}{x}\cdot\frac{a}{x}} = (b-a)\frac{x}{x^2 + ab}. </math>

setelah ''b''&nbsp;&minus;&nbsp;''a'' adalah konstanta positif, kita hanya perlu memaksimalkan pecahan yang mengikutinya. Membedakan, kita mengerti

: <math> {d \over dx}\left(\frac{x}{x^2 + ab}\right) = \frac{ab - x^2}{(x^2 + ab)^2} \qquad \begin{cases} {} > 0 & \text{if } 0 \le x < \sqrt{ab\,{}}, \\ {} = 0 & \text{if } x = \sqrt{ab\,{}}, \\ {} < 0 & \text{if } x > \sqrt{ab\,{}}. \end{cases} </math>

Oleh karena itu sudutnya meningkat sebagai
''x'' pergi dari 0 sampai  dan menurun sebagai ''x'' meningkat dari .  Oleh karena itu, sudutnya sebesar mungkin kapan tepatnya ''x''&nbsp;=&nbsp;, [[rata-rata geometris]] dari ''a''&nbsp;and&nbsp;''b''.

== Solusi dengan aljabar ==

Kami telah melihat bahwa itu sudah cukup untuk memaksimalkan

: <math> \frac{x}{x^2 + ab}. </math>

Ini setara dengan ''meminimalkan'' [[timbal]] balik:

:<math> \frac{x^2 + ab}{x} = x + \frac{ab}{x}. </math>

Perhatikan bahwa kuantitas terakhir ini sama dengan

: <math> \left( \sqrt{x} - \sqrt\frac{ab}{x}\, \right)^2 + 2\sqrt{ab\,{}}.
</math>

 = 2\sqrt{ab\,{}}. </math>
Jadi kita punya
: <math>
\begin{align}
x + \frac{ab}{x} & = u^2 + v^2 = \underbrace{\left(u^2 - 2uv + v^2\right)}_\text{pesergi yang sempurna} + 2uv \\
& = (u - v)^2 + 2uv = \left( \sqrt{x} - \sqrt\frac{ab}{x}\, \right)^2 + 2\sqrt{ab\,{}}.
\end{align}
</math>}}

Ini sekecil mungkin tepatnya jika kuadratnya 0, dan itu terjadi jika ''x''&nbsp;=&nbsp;.  Atau, kita dapat mengutip ini sebagai contoh dari pertidaksamaan antara [[aritmetika]] dan sarana geometri.

== Catatan ==



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah+maksimisasi+sudut+Regiomontanus&oldid=27772063 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27772063 (2025-09-03T00:52:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.