Lihat sumber Pemetaan harmonik

Pemetaan (halus) φ:''M''→''N'' antara [[manifold Riemannian]] ''M'' dan ''N'' disebut '''harmonik''' jika ia adalah [[Kalkulus variasi|titik kritis]] dari [[fungsional energi]] ''E''(φ).

Fungsional ''E'' ini akan didefinisikan secara [[presisidi]] bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa ''M'' dibuat dari [[karet]] dan ''N'' dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka [[Tensor metrik|metrik]]), dan bahwasannya pemetaan φ:''M''→''N'' menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: ''E''(φ) kemudian mewakili jumlah total [[energi potensial elastik]] yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam konteks ini, φ dianggap sebagai pemetaan harmonik jika karet, saat "dilepaskan" tetapi tetap terikat pada setiap titik kontak dengan pualam, secara alami menemukan posisi keseimbangannya tanpa bergeser atau berubah ke bentuk lain.

Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun 1964 oleh J. Eells dan J.H. Sampson.

== Definisi matematika ==

Diberikan ''M'', ''N'' dan φ seperti di atas, nyatakan dengan ''g'' dan ''h'' [[Tensor metrik|metrik]] pada ''M'' dan ''N''. Maka '''energi''' [[Fi|φ]] pada titik ''x'' dalam ''M'' didefinisikan sebagai ''e''(φ)(''x'')=<math>\textstyle\frac12</math>trace<sub>''g''</sub>φ<sup>*</sup>h.

Dalam [[koordinat lokal]], sisi sebelah kanan dari persamaan ini terbaca <math>\textstyle\frac12g^{ij}h_{\alpha\beta}\frac{\partial\varphi^\alpha}{\partial x^i}\frac{\partial\varphi^\beta}{\partial x^j}</math>.

Jika ''M'' adalah [[kompak]], definisikan '''energi total''' pemetaan φ sebagai ''E''(φ)=<math>\textstyle\int</math><sub>''M''</sub>''e''(φ)dv<sub>''g''</sub> (di mana dv<sub>''g''</sub> menyatakan [[Ukuran (matematika)|ukuran]] pada ''M'' yang diinduksi oleh metriknya).

Maka φ disebut '''pemetaan harmonik''' jika ia adalah titik kritis fungsional energi ''E''. Definisi ini diperluas terhadap kasus di mana ''M'' tidak kompak dengan menanyakan pembatasan φ terhadap setiap domain kompak menjadi harmonik [http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_map].

== Referensi ==



== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemetaan+harmonik&oldid=29524727 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524727 (2026-08-04T13:40:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.