Lihat sumber Aksioma peluang

'''Aksioma peluang''' standar adalah fondasi dari [[teori peluang]] yang diperkenalkan oleh [[matematikawan]] [[Andrey Kolmogorov]] pada tahun 1933.<ref>Andrey Kolmogorov. [https://archive.org/details/foundationsofthe00kolm Foundations of the theory of probability]. Chelsea Publishing Company. 1950.</ref> [[Aksioma|Aksioma-aksioma]] ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.<ref>David Aldous. [https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real_World/kolmogorov.html What is the significance of the Kolmogorov axioms?]. ''David Aldous''.</ref>

Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. [[Peluang Bayes|Para ahli Bayesian]] sering kali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan [[teorema Cox]] sebagai gantinya.<ref>R. T. Cox. ''Probability, Frequency and Reasonable Expectation''. ''American Journal of Physics''. 1946. Vol. 14 (1). hlm. 1–10. doi:10.1119/1.1990764.</ref><ref>R. T. Cox. ''The Algebra of Probable Inference''. Johns Hopkins University Press. 1961.</ref>

== Aksioma Kolmogorov ==
Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu [[ruang ukuran]] <math>\left( X, \, \mathcal{F}, \, P \right)</math>, dengan <math>P \! \left( A \right)</math> menyatakan peluang terjadinya kejadian <math>A</math> dan <math>P \! \left( X \right) = 1</math>, maka tripel <math>\left( X, \, \mathcal{F}, \, P \right)</math> adalah [[ruang peluang]], dengan <math>X</math> sebagai [[ruang sampel]], <math>\mathcal{F}</math> sebagai ruang kejadian, dan <math>P</math> sebagai [[ukuran peluang]].<ref>Andrey Kolmogorov. [https://archive.org/details/foundationsofthe00kolm Foundations of the theory of probability]. Chelsea Publishing Company. 1950.</ref>

=== Tak negatif ===
Peluang dari suatu kejadian adalah suatu [[bilangan riil]] tak negatif.
<math display="block">P \! \left( A \right) \geq 0 \qquad \forall A \in \mathcal{F}</math>

Teori yang mengunakan nilai [[peluang negatif]] melonggarkan aksioma pertama.

=== Unitaritas ===
Peluang terjadinya suatu [[kejadian sederhana]] pada ruang sampel ialah 1.
<math display="block">P \! \left( X \right) = 1</math>

Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang <math>P \! \left( A \right)</math> pasti berhingga, berbeda dengan [[Ukuran (matematika)|teori ukur]] secara umum.

=== [[fungsi himpunan aditif-sigma|Aditif-sigma]] ===
Setiap barisan [[himpunan terhitung]] <math>\langle A_n \rangle</math> yang bersifat [[Himpunan saling lepas|saling lepas]] (atau dengan kata lain, himpunan [[kejadian saling lepas|kejadian-kejadian yang saling lepas]]) akan memenuhi persamaan berikut.
<math display="block">P \! \left( A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \ldots \right) = P \! \left( A_1 \right) + P \! \left( A_2 \right) + P \! \left( A_3 \right) + \ldots</math>
Dengan menggunakan [[notasi Sigma]] dan notasi [[Gabungan_(teori_himpunan)#Notasi|gabungan besar]], maka
<math display="block">P \! \left( \bigcup_{n \, = \, 1}^{\infty} A_n \right) = \sum_{n \, = \, 1}^{\infty} P \! \left( A_n \right)</math>

Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang [[fungsi himpunan aditif-sigma|aditif berhingga]], yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan [[Lapangan himpunan|himpunan aljabar]], daripada [[aljabar sigma]].<ref>Alan Hájek. [https://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/#KolProCal Interpretations of Probability]. ''Stanford Encyclopedia of Philosophy''. August 28, 2019.</ref>

== Sifat-sifat peluang ==
Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti<ref>Ross, Sheldon M. [https://archive.org/details/firstcourseinpro0000ross_m9f4 A first course in probability]. 2014. hlm. [https://archive.org/details/firstcourseinpro0000ross_m9f4/page/27 27], 28. ISBN 978-0-321-79477-2.</ref><ref>David Gerard. [https://dcgerard.github.io/stat234/11_proofs_from_axioms.pdf Proofs from axioms]. December 9, 2017.</ref><ref>Bill Jackson. [http://www.maths.qmul.ac.uk/~bill/MTH4107/notesweek3_10.pdf Probability (Lecture Notes - Week 3)]. ''School of Mathematics, Queen Mary University of London''. 2010.</ref> dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.

Diberikan suatu [[ruang peluang]] <math>\left( X, \, \mathcal{F}, \, P \right)</math> dan diambil sembarang <math>A, \, B \in \mathcal{F}</math>. Beberapa sifat peluang antara lain:

=== Monoton ===
Jika <math>A \subseteq B</math>, maka
<math display="block">P \! \left( A \right) \leq P \! \left( B \right)</math>

''Bukti:''

Perhatikan himpunan <math>A</math> dan himpunan <math>B \setminus A</math>. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
<math display="block">\begin{array}{ccccl}
A & \cap & \left( B \setminus A \right) & = & \varnothing \\
A & \cup & \left( B \setminus A \right) & = & B \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( B \setminus A \right) & = & P \! \left( B \right)
\end{array}</math>
Pada baris kedua, gabungan dari himpunan <math>A</math> dan himpunan <math>B \setminus A</math> adalah himpunan <math>B</math>, sebab diketahui bahwa <math>A \subseteq B</math>. Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh
<math display="block">\begin{align}
P \! \left( B \setminus A \right) &\geq 0 \\
P \! \left( B \right) - P \! \left( A \right) &\geq 0 \\
P \! \left( B \right) &\geq P \! \left( A \right)
\end{align}</math>
sehingga terbukti bahwa <math>P \! \left( A \right) \leq P \! \left( B \right)</math> apabila <math>A \subseteq B</math>.

=== Peluang dari himpunan kosong ===
<math display="block">P \! \left( \varnothing \right) = 0</math>
Dalam banyak kasus, <math>\varnothing</math> bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.

''Bukti:''

Salah satu sifat dari [[himpunan kosong]] adalah
<math display="block">\varnothing \subseteq A</math>
Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
<math display="block">\begin{array}{ccccl}
A & \cap & \varnothing & = & \varnothing \\
A & \cup & \varnothing & = & A \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( \varnothing \right) & = & P \! \left( A \right)
\end{array}</math>
Dengan mengurangi [[Ruas dari suatu persamaan|kedua ruas]] pada persamaan di atas dengan <math>P \! \left( A \right)</math>, maka terbukti bahwa
<math display="block">P \! \left( \varnothing \right) = 0</math>

=== Peluang komplemen ===
<math display="block">P \! \left( A' \right) = 1 - P \! \left( A \right)</math>
dengan <math>A'</math> menyatakan [[Komplemen (teori himpunan)|komplemen]] dari himpunan <math>A</math>

''Bukti:''

Perhatikan himpunan <math>A</math> dan <math>A'</math>. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
<math display="block">\begin{array}{ccccl}
A & \cap & A' & = & \varnothing \\
A & \cup & A' & = & X \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( A' \right) & = & P \! \left( X \right)
\end{array}</math>
Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka <math>P \! \left( X \right) = 1</math>, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
<math display="block">\begin{align}
P \! \left( A \right) + P \! \left( A' \right) &= 1 \\
P \! \left( A' \right) &= 1 - P \! \left( A \right)
\end{align}</math>

=== Nilai numerik ===
<math display="block">0 \leq P \! \left( A \right) \leq 1</math>

''Bukti:''

Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
\varnothing &\subseteq A \subseteq X \\
P \! \left( \varnothing \right) &\leq P \! \left( A \right) \leq P \! \left( X \right) \\
0 &\leq P \! \left( A \right) \leq 1
\end{align}</math>

=== Aturan penjumlahan ===
<math display="block">P \! \left( A \cup B \right) = P \! \left( A \right) + P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right)</math>

''Bukti:''

Perhatikan himpunan <math>A \cap B</math> dan <math>B \setminus A</math>. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan
<math display="block">\begin{array}{ccccl}
\left( A \cap B \right) & \cap & \left( B \setminus A \right) & = & \varnothing \\
\left( A \cap B \right) & \cup & \left( B \setminus A \right) & = & B \\
\hline
P \! \left( A \cap B \right) & + & P \! \left( B \setminus A \right) & = & P \! \left( B \right)
\end{array}</math>

Sekarang perhatikan himpunan <math>A</math> dan himpunan <math>B \setminus A</math>. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan
<math display="block">\begin{array}{ccccl}
A & \cap & \left( B \setminus A \right) & = & \varnothing \\
A & \cup & \left( B \setminus A \right) & = & A \cup B \\
\hline
P \! \left( A \right) & + & P \! \left( B \setminus A \right) & = & P \! \left( A \cup B \right)
\end{array}</math>

Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh
<math display="block">\begin{align}
P \! \left( B \setminus A \right) + P \! \left( A \cap B \right) &= P \! \left( B \right) \\
P \! \left( B \setminus A \right) &= P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right) \\
P \! \left( A \right) + P \! \left( B \setminus A \right) &= P \! \left( A \right) + P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right) \\
P \! \left( A \cup B \right) &= P \! \left( A \right) + P \! \left( B \right) - P \! \left( A \cap B \right)
\end{align}</math>

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan [[prinsip inklusi-eksklusi]].

== Lihat juga ==
* [[Himpunan Borel|Aljabar Borel]]
* [[Peluang bersyarat]]
* [[Statistika Intuitif]]
* [[Teori himpunan]]
* [[Aljabar sigma]]

== Bacaan lanjutan ==
*  
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aksioma+peluang&oldid=29517127 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29517127 (2026-08-03T00:16:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->