Lihat sumber Aljabar Bose–Mesner

Dalam [[matematika]], '''aljabar Bose–Mesner''' merupakan himpunan khusus [[Matriks (matematika)|matriks]] yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai [[skema asosiasi]], Kaidah-kaidahnya menggabungkan (lebih tepatnya, membentuk hasil kali atau darab dari) matriks tersebut, sehingga membentuk [[aljabar asosiatif]] atau lebih tepatnya, [[Aljabar uniter|aljabar komutatif uniter]]. Kaidah tersebut berbunyi:
:*Hasil dari suatu darab juga merupakan himpunan matriks,
:*ada matriks identitas dalam himpunan, dan
:*darab matriksnya adalah [[komutatif]].

Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang [[fisika]] hingga [[model spin]]. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang [[statistika]] hingga [[desain eksperimen]]. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama [[R. C. Bose]] dan Dale Marsh Mesner.<ref>Bose & Mesner (1959)</ref>

==Definisi==
Misalkan ''X'' adalah himpunan elemen ''v'' dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari ''X'' adalah himpunan bagian takkosong ''n'', ''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''n''</sub> sehingga:
* diberikan <math>x \in X</math>, jumlah dari <math>y \in X</math> sehingga <math>\{x,y\} \in R_i</math> hanya bergantung pada ''i'' (dan bukan pada ''x''). Bilangan ini akan dilambangkan dengan v<sub>i</sub>, dan
* diberikan <math>x,y \in X</math> dengan <math>\{x,y\} \in R_k</math>, jumlah dari <math>z \in X</math> sehingga <math>\{x,z\} \in R_i</math> dan <math>\{z,y\} \in R_j</math> hanya bergantung pada ''i'', ''j'' dan ''k'' (dan bukan pada ''x'' dan ''y''). Bilangan ini akan dilambangkan dengan <math>p^k_{in}</math>.
Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang ''X'' dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian ''R''<sub>0</sub>. Hal ini memungkinkan parameter ''i'', ''j'', dan ''k'' mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap ''x'',''y'' atau ''z'' adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut [[skema asosiasi]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi [[graf lengkap]] (dengan himpunan simpul ''X'') ke dalam kelas-''n'' yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan ''D''<sub>''i''</sub> adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang didefinisikan sebagai:
: <math>(D_i)_{x,y} = \begin{cases} 
1,& \text{jika } \left(x,y\right)\in R_{i},\\ 
0,& \text{jika tidak.}  \end{cases} \qquad (1)</math>

Lalu, misalkan <math>\mathcal{A}</math> adalah [[ruang vektor]] yang terdiri dari semua [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>\sideset{}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}</math> dengan kompleks <math>a_{i}</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Maka, definisi dari [[skema asosiasi]] ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa <math>D_{i}</math> adalah ''v'' × ''v'' pada [[Matriks (matematika)|matriks]]-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

# <math>D_i</math> adalah simetris,
# <math>\sum_{i=0}^n D_{i}=J </math> (semuanya adalah matriks satuan),
# <math>D_0=I,</math>
# <math>D_i D_j = \sum_{k=0}^n p^k_{ij} D_k = D_j D_i,\qquad i,j=0,\ldots,n.</math>

Entri ke-(''x'',''y'') dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan ''x'' dan ''y'' (menggunakan "warna" ''i'' dan ''j'') dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom <math>D_i</math> mengandung 1 di <math>v_i</math>:

: <math>D_i J=J D_i = v_i J. \qquad (2)</math>

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa [[Matriks (matematika)|matriks]]<nowiki/>nya adalah [[Matriks simetris|simetris]]. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa. <math>D_{0},\ldots,D_{n}</math> adalah [[bebas linear]], dan dimensi <math>\mathcal{A}</math> adalah <math>n+1</math>. Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa <math>\mathcal{A}</math> tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. [[Aljabar komutatif]] <math>\mathcal{A}</math> yang memiliki sifat [[asosiatif]] ini, disebut juga sebagai '''aljabar Bose–Mesner''' dari [[skema asosiasi]]. Karena [[Matriks (matematika)|matriks]] pada <math>\mathcal{A}</math> adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>S</math> sehingga untuk setiap <math>A\in\mathcal{A}</math>, terdapat [[matriks diagonal]] <math>\Lambda_{A}</math> dengan <math>S^{-1}A S=\Lambda_{A}</math>. Hal ini mengartkan bahwa <math>\mathcal{A}</math> adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif <math>J_{0},\ldots,J_{n}</math>. [[Matriks (matematika)|Matriks]] kompleks ''n'' × ''n'' ini memenuhi sifat-sifat berikut.

: <math>
J_i^2 =J_i, i=0,\ldots,n, \qquad (3)
</math>

: <math>
J_i J_k=0, i\neq k, \qquad (4)
</math>

: <math>
\sum_{i=0}^n J_i = I. \qquad (5)
</math>

'''Aljabar Bose–Mesner''' memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari [[matriks idempoten]] <math>D_i</math>, dan yang kedua, basisnya terdiri dari [[matriks idempoten]] taktereduksikan <math>E_k</math>. Menurut definisi, ada [[bilangan kompleks]] yang terdefinisi dengan baik, sehingga

: <math>
D_{i}=\sum_{k=0}^n p_i (k) E_k, \qquad (6)
</math>

dan

: <math>
|X|E_{k}=\sum_{i=0}^n q_k\left(i\right)D_i. \qquad (7)
</math>

Bilangan-''p'' <math>p_i (k)</math> dan bilangan-''q'' <math>q_k(i)</math> memainkan peran penting dalam teori.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-''p'' adalah [[nilai eigen]] dari [[matriks kedampingan]] <math>D_i</math>.

==Teorema==
[[Nilai eigen]] dari <math>p_i(k)</math> dan <math>q_k(i)</math>, memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

: <math>
\sum_{k=0}^n \mu_i p_i (k)p_\ell (k)=v v_i \delta_{i \ell}, \quad(8)
</math>

: <math>
\sum_{k=0}^n \mu_i q_k (i) q_\ell (i)=v \mu_k \delta_{k \ell}. \quad(9)
</math>

Dan juga,

: <math>
\mu_j p_i (j) = v_i q_ j (i),\quad i,j=0,\ldots,n. \quad(10)
</math>

Dalam notasi [[Matriks (matematika)|matriks]],

: <math>
P^T \Delta_\mu P=v\Delta_v, \quad(11)
</math>
dan
: <math>
Q^T \Delta_v Q=v\Delta_\mu, \quad(12)
</math>

dengan <math>\Delta_v = \operatorname{diag} \{v_0,v_1,\ldots,v_n\}</math> dan <math>\Delta_\mu = \operatorname{diag} \{\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_n\}.</math>

==Bukti teorema==
[[Nilai eigen]] dari <math>D_i D_\ell</math> adalah <math>p_i (k)p_\ell (k)</math> dengan perkalian <math>\mu_k</math>. Hal ini menyiratkan bahwa

: <math>
v v_i \delta_{i\ell} = \operatorname{trace}D_i D_\ell = \sum_{k=0}^n \mu_i p_i(k) p_\ell (k), \quad(13)
</math>

yang membuktikan Persamaan <math>\left(8\right)</math> dan Persamaan <math>\left(11\right)</math>,

: <math>
Q = v P^{-1} = \Delta_v^{-1} P^T \Delta_\mu, \quad(14)
</math>

yang memberikan Persamaan <math>(9)</math>, <math>(10)</math> dan <math>(12)</math>.<math>\Box</math>

Ada analogi antara perluasan [[skema asosiasi]] dan [[Teorema Kronecker|perluasan]] dari [[Medan berhingga]]. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada [[kuasa Kartesius]] ke-<math>n</math> <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dari satu himpunan <math>\mathcal{F}</math> dimana [[skema asosiasi]] <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math> dasar didefinisikan. [[skema asosiasi]] pertama yang didefinisikan pada <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> disebut [[produk Kronecker|kuasa Kronecker]] ke-<math>n</math> <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math> pada <math>\left(\mathcal{F},K\right)</math>. Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama <math>X=\mathcal{F}^{n}</math> dengan mengumpulkan kelas <math>\left(\mathcal{F},K\right)_{\otimes}^{n}</math>. [[produk Kronecker|Kuasa Kronecker]] sesuai dengan [[gelanggang polinomial]] <math>F\left[X\right]</math> yang pertama kali didefinisikan pada [[Medan berhingga|medan]] <math>\mathbb{F}</math>, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan [[medan ekstensi]] yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah [[skema Hamming]].

[[Skema asosiasi]] dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke [[skema asosiasi]] non-simetris, sedangkan semua [[kode]] biasa adalah [[subgrup]] dalam simetris [[varietas Abelian|skema Abelian]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

==Lihat pula==
* [[Skema asosiasi]]

==Catatan==

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar+Bose%E2%80%93Mesner&oldid=23664623 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 23664623 (2023-06-12T03:50:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->