Lihat sumber Besaran (matematika)

'''Besaran''' atau '''magnitude''' dalam [[matematika]] adalah ukuran suatu [[mathematical object|objek matematika]], suatu ukuran yang membandingkan objek itu sebagai "lebih besar" atau "lebih kecil" dengan objek sejenis yang lain. Lebih formalnya, besaran suatu objek adalah [[order theory|penataan]] (atau penempatan ranking) [[class (mathematics)|kelas]] objek pada kelompoknya.

== Sejarah ==
Orang Yunani membedakan beberapa jenis besaran,<ref>Thomas Smd. Heath. [https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl The Thirteen Books of Euclid's Elements]. Dover Publications. 1956.</ref> termasuk:
* [[Pecahan]] positif
* Segmen [[garis]] (ditata menurut [[panjang]])
* Objek datar (ditata menurut [[luas]])
* Benda padat (ditata menurut [[volume]])
* [[Sudut]] (ditata menurut besaran angular)

Mereka membuktikan bahwa dua kelompok pertama tidak dapat merupakan sistem besaran yang sama atau isomorfik.<ref>Ethan D. Bloch. [https://books.google.com/books?id=vXw_AAAAQBAJ&pg=PA52 The Real Numbers and Real Analysis]. Springer. 2011. hlm. 52. ISBN 9780387721774..</ref> Mereka tidak menganggap besaran negatif itu berguna, dan ''besaran'' masih terutama digunakan dalam konteks [[nol]] adalah ukuran terendah atau terkecil dari segala ukuran.

== Bilangan ==
Besaran suatu [[bilangan]] biasanya disebut "[[nilai mutlak]]", "nilai absolut" atau "modulus", dilambangkan dengan '''|''x''|'''.

=== Bilangan real ===
Nilai mutlak suatu [[bilangan real]] ''r'' didefinisikan sebagai:<ref>Mendelson, Elliott, ''Schaum's Outline of Beginning Calculus'', McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2, page 2</ref>

:<math> \left| r \right| = r, \text{ jika } r \text{ ≥ } 0 </math>
:<math> \left| r \right| = -r, \text{ jika } r < 0 .</math>

Dapat dipandangn sebagai jarak bilangan tersebut dari bilangan [[nol]] pada garis bilangan real. Misalnya, nilai mutlak bilangan 7 maupun bilangan −7 sama-sama adalah 7.

=== Bilangan kompleks ===
[[Bilangan kompleks]] ''z'' dapat dipandang sebagai posisi suatu titik ''P'' dalam suatu [[Euclidean space|ruang]] 2-dimensi, yang disebut [[complex plane|planar kompleks]]. Nilai absolut atau modulus dari ''z'' dapat dipandang sebagai jarak ''P'' dari titik origin ruang itu. Rumus untuk nilai absolut  mirip dengan rumus [[Euclidean norm|norma]] suatu vektor dalam [[Euclidean space|ruang]] 2-dimensi:<ref>Ahlfors, Lars V.: ''Complex Analysis'', Mc Graw Hill Kogakusha, Tokyo (1953)</ref>

:<math> \left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>

di mana masing-masing bilangan real ''a'' dan ''b'' adalah bagian [[bilangan real]] dan bagian [[bilangan imajiner]] dari ''z''. Misalnya, modulus  adalah <math>\sqrt{(-3)^2+4^2} = 5</math>. Dengan cara lain, besaran bilangan kompleks ''z'' dapat didefinisikan sebagai [[akar kuadrat]] dari produk bilangan itu dengan [[complex conjugate|konjugat kompleksnya]], ''z''<sup>∗</sup>, di mana untuk setiap bilangan kompleks , kompleks konjugatnya adalah .
:<math> \left| z \right| = \sqrt{zz^* } = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = \sqrt{a^2 -abi + abi - b^2i^2} = \sqrt{a^2 + b^2 }</math>
<big>(</big> recall <math>i^2 = -1</math> <big>)</big>

== Vektor ==
Suatu [[vektor (spasial)|vektor Euklidean]] melambangkan posisi suatu titik ''P'' dalam [[Euclidean space|ruang Euklidean]]. Secara geometri, dapat dikatakan sebagai suatu panah dari origin ruang (ekor vektor) ke titik itu (ujung vektor). Secara matematis, vektor '''x''' dalam suatu ruang Euklidean berdimensi-''n'' dapat didefinisikan sebagai suatu daftar tertata dari ''n'' [[bilangan real]] ([[sistem koordinat Kartesius|koordinat Kartesius]] dari ''P''): '''x''' = [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>]. '''Besaran''' atau '''panjang'''nya secara umum didefinisikan sebagai [[Norm (mathematics)#Euclidean norm|norma Euklidean]] (atau panjang Euklidean):<ref>Howard Anton. ''Elementary Linear Algebra (Applications Version)''. Wiley International. 2005.</ref>
:<math>\|\mathbf{x}\|:= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
Misalnya, dalam ruang 3-dimensi, besaran [4, 5, 6] adalah √(4<sup>2</sup> + 5<sup>2</sup> + 6<sup>2</sup>) = √77 atau kira-kira 8,775.

Ini ekuivalen dengan [[akar kuadrat]] [[produk skalar]] dari vektor itu sendiri:
:<math>\|\mathbf{x}\|:=  \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}.</math>

Norma Euklidean suatu vektor hanyalah suatu kasus khusus [[Euclidean distance|jarak Euklidean]]: jarak antara ekor dan ujungnya. Dua notasi yang mirip telah digunakan untuk norma Euklidean suatu vektor '''x''':
# <math>\left \| \mathbf{x} \right \|,</math>
# <math>\left | \mathbf{x} \right |.</math>
Kekurangan dari notasi kedua adalah notasi itu juga digunakan untuk menyatakan [[nilai absolut]] skalar dan [[determinan]] suatu [[matriks]] sehingga maknanya dapat rancu.

== Besaran logaritma ==
Sering kali lebih mudah membandingkan besaran dengan menggunakan skala [[logaritma]]. Contoh nyata antara lain: tingkat kenyaringan [[suara]] ([[desibel]]), [[kecerahan]] suatu [[bintang]], atau [[Skala Richter]] pada pengukuran intensitas [[gempa bumi]]. Besaran logaritma dapat bernilai negatif. Biasanya tidak bermakna banyak jika hanya [[penjumlahan|menambah]] atau [[pengurangan|mengurangi]].

== Tingkat besaran ==
Dalam matematika lanjutan, juga dalam percakapan pada [[budaya populer]], frasa "tingkat besaran" ("''order of magnitude''") digunakan untuk menyatakan suatu perubahan dalam kuantitas terbilang, biasanya suatu pengukuran, dengan "faktor 10" (atau "10 kali lipat") baik lebih tinggi atau lebih rendah; yaitu dengan memindahkan tanda koma desimal ke depan atau ke belakang, bisa saja dengan penambahan angka nol signifikan.<ref>Paus Brians. [http://public.wsu.edu/~brians/errors/orders.html Orders of Magnitude].</ref>

Kadang-kadang frasa "setengah tingkat besaran" ("''half an order of magnitude''") juga dipakai, umumnya lebih dalam konteks informal, untuk menunjukkan perubahan dalam skala 5 banding 1, atau juga 10<sup>1/2</sup> banding 1 (kira-kira 3,162 banding 1).

== Lihat pula ==
* [[Bilangan]]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Besaran+%28matematika%29&oldid=29441642 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29441642 (2026-07-10T23:35:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->