Lihat sumber Bilangan alef

'''Bilangan alef''' () dalam [[teori himpunan]] (suatu bidang [[matematika]]) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan [[bilangan kardinal|kardinalitas]] (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (''infinite set''). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu [[abjad Ibrani|huruf Ibrani]] "[[alef]]" (<math>\aleph</math>).

Kardinalitas [[bilangan asli]] adalah <math>\aleph_0</math> (dibaca "alef-nol" (''aleph-null''), atau kadang kala dalam [[bahasa Inggris]] juga disebut ''aleph-naught'' atau ''aleph-zero''). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (''aleph-one'') <math>\aleph_1</math>, kemudian <math>\aleph_2</math> dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu [[bilangan kardinal]] <math>\aleph_\alpha</math> untuk setiap [[bilangan ordinal]] α, sebagaimana dinyatakan dibawah.

Konsep ini berasal dari [[Georg Cantor]],<ref>Jeff Miller. [http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest uses of symbols of set theory and logic]. ''jeff560.tripod.com''. who quotes Dauben, Joseph Warren. ''Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite''. 1990. ISBN 9780691024479.</ref> yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Bilangan alef berbeda dari [[Tak hingga|tak-hingga]] (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan [[kalkulus]]. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai [[limit (matematika)|limit]] ekstrem dari [[garis bilangan real]] (diterapkan ke [[fungsi (matematika)|fungsi]] atau [[urutan (matematika)|urutan]] yang "[[deret divergen|divergen]] ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrem dari [[garis bilangan real diperluas]].

== Alef-nol ==
<math>\aleph_0</math> adalah kardinalitas dari semua [[bilangan asli]], dan merupakan suatu [[bilangan transfinit|"bilangan transfinit" atau "kardinal tak hingga"]]. Himpunan semua [[bilangan ordinal]] finit, dinamakan '''ω''' atau '''ω<sub>0</sub>''', mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math>. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math> [[jika dan hanya jika]] bilangan itu [[terhitung sebagai tak hingga]], yaitu, ada [[bijeksi]] (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan tersebut adalah:

* himpunan semua bilangan [[pangkat dua|kuadrat]], himpunan semua bilangan [[Pangkat tiga|kubik]], himpunan semua bilangan [[eksponen|pangkat empat]], ...
* himpunan semua [[eksponen|pangkat sempurna]], himpunan semua [[eksponen|pangkat prima]],
* himpunan semua [[bilangan genap]], himpunan semua [[bilangan ganjil]],
* himpunan semua [[bilangan prima]], himpunan semua [[bilangan komposit]],
* himpunan semua [[bilangan bulat]],
* himpunan semua [[bilangan rasional]],
* himpunan semua [[bilangan aljabar]],
* himpunan semua [[bilangan komputabel]],
* himpunan semua [[bilangan definabel]],
* himpunan semua [[string (ilmu komputer)|string]] [[biner]] dengan panjang hingga, dan
* himpunan semua [[himpunan bagian]] hingga dari semua himpunan yang dapat terhitung sebagai tak hingga.

Ordinal tak hingga ini: <math>\,\omega\;,</math> <math>\,\omega+1\;,</math> <math>\,\omega\,\cdot2\,,\,</math> <math>\,\omega^{2}\,,</math> <math>\,\omega^{\omega}\,</math> dan [[Bilangan Epsilon|ε<math>\,\varepsilon_{0}\,</math>]] adalah salah satu [[Himpunan takhingga|himpunan tak hingga]] yang terhitung.<ref>Thomas Jech. ''Set Theory''. Springer-Verlag. 2003.</ref> Misalnya, barisan (dengan [[ordinalitas]] ω·2) dari semua bilangan bulat ganjil positif diikuti oleh semua bilangan bulat genap positif

:{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

adalah urutan himpunan (dengan kardinalitas <math>\aleph_0</math>) dari bilangan bulat positif.

Jika [[aksioma pilihan terhitung]] (versi yang lebih lemah dari [[aksioma pilihan]]) berlaku, maka <math>\aleph_0</math> lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.

== Alef-satu ==
<math>\aleph_1</math> adalah kardinalitas dari himpunan semua [[bilangan ordinal]] yang terhitung, disebut '''ω<sub>1</sub>''' atau (kadang-kadang) '''Ω'''. '''ω<sub>1</sub>''' sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu [[uncountable set|himpunan tak terhitung]]. Jadi, <math>\aleph_1</math> berbeda dari <math>\aleph_0</math>. Definisi <math>\aleph_1</math> menyiratkan (dalam ZF, [[Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] ''tanpa'' aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara <math>\aleph_0</math> dan <math>\aleph_1</math>.
== Hipotesis kontinum ==
[[Kardinalitas]] suatu himpunan [[bilangan real]] ([[cardinality of the continuum|kardinalitas continuum]]) adalah <math>2^{\aleph_0}</math>. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ([[Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo-Fraenkel]] dengan [[axiom of choice|aksioma pilihan]]) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa [[hipotesis]] kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas

:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1.</math>

== Alef-ω ==
Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal <math>\aleph_\omega</math> merupakan batas atas terkecil dari
:<math>\left\{\,\aleph_n: n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}</math>
di antara bilangan-bilangan alef.

== Alef-α untuk α umum ==
Untuk mendefinisikan <math>\aleph_\alpha</math> bagi bilangan ordinal sembarang <math>\alpha</math>, perlu didefinisikan [[successor cardinal|operasi kardinal penerus]], yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ berikutnya yang lebih besar dalam [[well-order|urutan teratur]] (jika [[axiom of choice|aksioma pilihan]] masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Maka bilangan-bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut:

:<math>\aleph_{0} = \omega</math>
:<math>\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+</math>

dan untuk λ, suatu ordinal limit tak terhingga,

:<math>\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.</math>

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis <math>\omega_\alpha</math>. Kardinalitasnya ditulis <math>\aleph_\alpha</math>. Lihat [[initial ordinal|ordinal awal]].

== Peranan aksioma pilihan ==
Kardinalitas suatu [[bilangan ordinal]] tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah [[initial ordinal|ordinal awal]]nya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah [[equinumerous|ekuinumeral]] dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (''well-orderable'').

== Lihat pula ==
* [[Alef]]
* Ananta
* [[Bilangan kardinal]]

== Catatan ==
== Pranala luar ==
* 
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+alef&oldid=29299569 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299569 (2026-05-31T22:44:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->