Lihat sumber Deret (matematika)

[[File:Geometric_Segment.svg|thumb|right|280px|Geometric Segment]]

'''Deret''' () adalah [[Penambahan|jumlah]] suku-suku dari suatu [[barisan]]. Barisan dan deret hingga mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan barisan dan deret tak terhingga berlangsung terus menerus tak terbatas.<ref>Gullberg, Jan, ''Mathematics: from the birth of numbers,'' W.W. Norton, 1997, hlm. 264, ISBN 0-393-04002-X</ref>

Dalam [[matematika]], jika ada suatu barisan bilangan [[Himpunan takhingga|tak hingga]] <math>\{a_n\}</math>, maka suatu deret secara mudahnya adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: <math>a_1 + a_2 + a_3 + \cdots</math>. Ini dapat ditulis lebih ringkas menggunakan [[notasi Sigma]] ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari [[Paradoks Zeno]] dan [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|representasi matematikanya]]:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots.</math>

Suku-suku dalam suatu deret sering ditentukan menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu [[rumus]], atau melalui suatu [[algoritma]]. Mengingat tidak terbatasnya jumlah suku, hasilnya sering disebut '''deret tak terhingga''' atau '''deret takhingga''' (). Berbeda dengan penjumlahan hingga, deret tak terhingga memerlukan bantuan dari [[analisis matematika]], dan secara khusus [[limit]], untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti [[fisika]], sains komputer, dan finansial.

== Notasi ==
Simbol pada deret yaitu <math>\sum</math> menunjukkan penjumlahan dan dapat diinterpretasikan dengan mengulang hasil keliling (biasanya ditentukan di bawah penjumlahan), karena kita membutuhkan (biasanya [[bilangan bulat]]) nilai dalam rentang yang ditentukan (dari nilai awal ke batas atas), kemudian menambahkan ekspresi yang dihasilkan. Misalkan:
:<math>\sum_{k = 1}^{200} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(200).</math>

Keliling pada nilai  kita memiliki nilai awal . Hal tersebut diiterasi untuk semua nilai integer hingga dengan nilai  dari batas tersebut. Setelah itu iterasi tersebut akan dijumlahkan.

== Konvergensi ==
Sebuah deret dikatakan konvergen ke suatu nilai jika batas jumlah parsial mendekati nilai tersebut;  yaitu, diberikannya barisan tak terbatas <math>\{a_k\}</math> adalah deret:
:<math>\sum_{k = 1}^\infty a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n a_k.</math>

Jika hasilnya limit tidak ada, deret tersebut dikatakan divergen.

Suatu deret dikatakan konvergen secara absolut jika deret yang terbentuk dari [[nilai absolut]] syarat pada konvergen;  yaitu, diberi urutan tak terbatas <math>\{a_k\}</math>:

:<math>\sum_{k = 1}^\infty |a_k|</math>
konvergensi.

== Sifat dasar ==
=== Definisi ===
Untuk setiap [[barisan]] <math>\{a_n\}</math> [[bilangan rasional]], [[bilangan real]], [[bilangan kompleks]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]], dan lain-lain, '''deret''' yang bersangkutan didefinisikan sebagai [[jumlah formal]] tertata
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots </math>.
'''Barisan jumlah parsial''' <math>\{S_k\}</math> bersangkutan dengan suatu deret <math display="inline">\sum_{n=0}^\infty a_n</math> didefinisikan bagi setiap <math>k</math> sebagai jumlah Barisan <math>\{a_n\}</math> dari <math>a_0</math> hingga <math>a_k</math>
:<math>S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.</math>
Berdasarkan definisi, deret <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> '''konvergen''' menjadi suatu limit <math>L</math> jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial <math>\{S_k\}</math> [[Limit barisan#Definisi formal|konvegen]] ke <math>L</math>. Definisi ini biasanya ditulis sebagai
:<math>L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k.</math>

== Deret fungsi ==
Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

:<math>\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math>

[[konvergen sesetitik]] pada suatu himpunan <math>E</math>, jika deret ''konvergen'' untuk setiap <math>x</math> di <math>E</math> sebagai suatu deret biasa dari bilangan real atau bilangan kompleks. Jumlah parsialnya ekuivalen dengan di atas.
:<math>s_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)</math>
Deret tersebut konvergen ke <math>f(x)</math> ketika <math>N \to \infty</math> untuk setiap <math>x \in E</math>.
=== Deret pangkat ===
:

'''Deret pangkat''' (satu variabel) dalam [[matematika]] adalah [[deret tak terhingga]] dalam bentuk
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>

dengan <math> a_n </math> melambangkan koefisien suku ke-<math> n </math>, <math> c </math> adalah konstanta dan <math> x </math> berubah-ubah di sekitar <math> c </math> (karena alasan ini, kadang-kadang deret seperti ini dikatakan ''berpusat'' di <math> c </math>). Deret ini biasanya berupa [[deret Taylor]] dari suatu [[fungsi]].

Pada banyak keadaan <math> c </math> sama dengan nol, contohnya pada [[Maclaurin series|deret Maclaurin]]. Dalam hal tersebut [[deret pangkat]] mengambil bentuk yang lebih sederhana
: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots</math>.

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam [[analisis matematika]], tetapi juga dapat ditemukan pada [[kombinatorika]] (dengan nama [[fungsi pembangkit]]), dan pada [[teknik elektro]] (dengan nama [[transformasi Z]]).

[[Deret Taylor]] pada suatu titik ''c'' pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan ''<math> c </math>''. Misalnya, deret
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>
adalah deret Taylor dari <math>e^x</math> pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap <math>x</math>.

== Lihat pula ==
* [[Pecahan berlanjut]]
* [[Tes konvergensi]]
* [[Deret konvergen]]
* [[Deret divergen]]
* [[Komposisi tak terbatas dari fungsi analisis]]
* [[Ekspresi tak terbatas (matematika)|Ekspresi tak terbatas]]
* [[Produk tak terbatas]]
* [[Operasi biner berulang]]
* [[Daftar deret matematika]]
* [[Penjumlahan prefiks]]
* [[Transformasi berurutan]]
* [[Ekspansi deret]]

== Pustaka ==
* [[Thomas John I'Anson Bromwich|Bromwich, T.J.]] ''An Introduction to the Theory of Infinite Series'' MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
*  

== Pranala luar ==
* 
* [http://www.math.odu.edu/~bogacki/citat/series/index.html Infinite Series Tutorial]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+%28matematika%29&oldid=27083684 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27083684 (2025-03-27T18:26:48Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->