Lihat sumber Fungsi cembung

Dalam [[matematika]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]] bernilai [[Bilangan riil|riil]] dikatakan '''cembung''' jika [[ruas garis]] antara sebarang dua titik berbeda pada [[grafik fungsi]], berada di atas atau berada pada grafik fungsi di antara dua titik tersebut. Istilah lain dari fungsi dengan sifat tersebut adalah fungsi '''konveks''' dan fungsi '''cekung ke atas'''. Dalam kalimat yang lebih mudah, grafik fungsi cembung berbentuk seperti mangkuk <math>\cup</math> (atau garis lurus seperti fungsi linear), sedangkan [[fungsi cekung]] berbentuk seperti tutup <math>\cap</math>.

Fungsi satu variabel yang [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]] dua kali bersifat cembung [[jika dan hanya jika]] [[turunan kedua]] fungsi tersebut bernilai non-negatif di seluruh [[Domain fungsi|domainnya]].<ref>[https://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf Lecture Notes 2]. ''www.stat.cmu.edu''.</ref> Beberapa contoh fungsi cembung yang umum dikenal antara lain: [[fungsi linear]] <math>f(x) = cx</math> (dengan <math>c</math> adalah [[bilangan riil]]), [[Fungsi kuadrat|fungsi kuadratik]] <math>cx^2</math>(<math>c</math> adalah bilangan riil non-negatif), dan [[Fungsi eksponensial|fungsi ekponensial]] <math>ce^x</math> (<math>c</math> adalah bilangan riil non-negatif).

Fungsi cembung memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika. Fungsi ini banyak dipelajari dalam masalah-masalah [[optimisasi]] karena memiliki beberapa sifat yang mudah digunakan. Sebagai contoh, fungsi cembung tegas pada [[Himpunan terbuka|himpunan buka]] hanya memiliki satu [[Maksimum dan minimum|minimum]]. Bahkan di ruang dimensi tak-hingga, dengan beberapa asumsi tambahan yang sesuai, fungsi cembung tetap memenuhi sifat tersebut; dan sebagai akibatnya, mereka menjadi fungsi yang paling dipahami dalam [[kalkulus variasi]]. Dalam [[teori peluang]], fungsi cembung yang diterapkan pada [[nilai harapan]] dari suatu [[variabel acak]] akan terbatas dari atas, oleh nilai harapan dari fungsi cembung dari variabel acak. Sifat tersebut, dikenal sebagai [[pertidaksamaan Jensen]], dapat digunakan untuk menentukan bentuk-bentuk [[pertidaksamaan]] lainnya, seperti [[Pertidaksamaan AM-GM|pertidaksamaan rerata aritmetik&#x2013;geometrik]] dan [[pertidaksamaan Hölder]].

== Definisi ==
Misalkan <math>X</math> adalah [[himpunan cembung]] dari suatu [[ruang vektor]] riil, dan misalkan <math>f: X \to \R</math> adalah sebuah fungsi. Fungsi <math>f</math> dikatakan cembung jika dan hanya jika ada kondisi berikut yang terpenuhi:

# Untuk sebarang <math>0 \leq t \leq 1</math> dan sebarang <math>x_1, x_2 \in X</math> berlaku: <math display="block">f\left(t x_1 + (1-t) x_2\right) \leq t f\left(x_1\right) + (1-t) f\left(x_2\right)</math>Ruas kanan merepresentasikan ruas garis lurus yang menghubungkan <math>\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)</math> dan <math>\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)</math> sebagai fungsi dari <math>t;</math> memperbesar <math>t</math> dari <math>0</math> ke <math>1</math> atau memperkecil <math>t</math> dari <math>1</math> ke <math>0</math> akan menghasilkan titik yang melintasi ruas garis ini. Mirip dengan itu, argumen dari fungsi <math>f</math> di ruas kiri merepresentasikan garis lurus antara <math>x_1</math>dan <math>x_2</math> di <math>X</math> (sumbu-<math>x</math> dari grafik <math>f</math>). Akibatnya, kondisi ini mengharuskan ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada kurva <math>f</math> berada di atas atas atau berada menyentuh grafik dari fungsi tersebut.<ref>[https://www.mathsisfun.com/calculus/concave-up-down-convex.html Concave Upward and Downward].</ref>
# Untuk sebarang <math>0 < t < 1</math> dan sebarang <math>x_1, x_2 \in X</math> dengan <math>x_1 \neq x_2</math> berlaku: <math display="block">f\left(t x_1 + (1-t) x_2\right) \leq t f\left(x_1\right) + (1-t) f\left(x_2\right)</math>Perbedaan kondisi ini dengan kondisi sebelumnya adalah kondisi ini tidak menyertakan titik-titik perpotongan antara garis dengan kurva fungsi (yakni saat  <math>t = 0</math> atau <math>1,</math> atau <math>x_1 = x_2</math>). Malahan, titik-titik tersebut tidak perlu dipertimbangkan dalam penentuan kecembungan fungsi, karena (jika mengikuti kondisi pertama) akan menghasilkan bentuk <math>f\left(x_1\right) \leq f\left(x_1\right)</math> dan <math>f\left(x_2\right) \leq f\left(x_2\right)</math> yang selalu benar.

Kondisi kedua dari syarat kecembungan fungsi juga dapat diubah untuk menghasilkan definisi ''kecembungan tegas'' (''strict convexity''), dengan mengubah<math>\,\leq\,</math>menjadi pertidaksamaan tegas<math>\,<.</math> Secara matematis, fungsi <math>f</math> dikatakan ''cembung tegas'' jika dan hanya jika untuk sebarang <math>0 < t < 1</math> dan <math>x_1, x_2 \in X</math> dengan <math>x_1 \neq x_2</math> berlaku hubungan: <math display="block">f\left(t x_1 + (1-t) x_2\right) < t f\left(x_1\right) + (1-t) f\left(x_2\right).</math>Fungsi <math>f</math> dikatakan ''cekung'' (atau ''cekung tegas'') jika <math>-f</math> bersifat cembung (atau cembung tegas).

== Sifat ==
Banyak sifat-sifat dari fungsi cembung untuk fungsi banyak variabel memiliki formulasi yang sama dengan versi fungsi satu variabel; walau tidak semuanya.

=== Fungsi satu variabel ===
* Misalkan <math>f</math> adalah fungsi [[Bilangan riil|riil]] yang terdefinisi pada suatu [[Selang (matematika)|selang]], dan misalkan<math display="block">R(x_1, x_2) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}</math>menyatakan kemiringan dari garis yang melintasi titik <math>\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)</math> dan <math>\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)</math>. Fungsi <math>f</math> cembung jika dan hanya jika <math>R(x_1, x_2)</math> [[Fungsi monoton|monoton tak-menurun]] di <math>x_1,</math> untuk setiap <math>x_2</math> yang dijaga tetap (dan sebaliknya).
* Fungsi cembung <math>f</math> yang terdefinisi di suatu [[Selang (matematika)|selang buka]] <math>C</math> akan bersifat [[Fungsi kontinu|kontinu]] di <math>C.</math> Fungsi <math>f</math> juga memiliki [[Turunan kiri dan kanan|turunan kiri dan turunan kanan]], dan keduanya [[Fungsi monoton|monoton tak-menurun]]. Lebih lanjut, turunan kiri bersifat kontinu kiri dan turunan kanan bersifat kontinu kanan. Sebagai akibatnya, <math>f</math> terdiferensial di <math>C</math>, kecuali di (paling banyak) terhingga banyaknya titik. Jika <math>C</math> tertutup, <math>f</math> mungkin tidak kontinu di ujung-ujung selang dari <math>C</math> (lihat bagian Contoh di bawah).
* [[Fungsi terdiferensialkan]] bersifat cembung pada suatu interval jika dan hanya jika turunan dari fungsi monoton tak-menurun pada interval tersebut. Jika fungsi terdiferensialkan dan cembung, maka fungsi tersebut juga terdiferensialkan secara kontinu.
* Fungsi terdiferensialkan bersifat cembung jika dan hanya jika grafik fungsi tersebut berada di atas semua [[Garis tangen|garis singgung-]]<nowiki/>nya:<ref>Stephen P. Boyd. [https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=83 Convex Optimization]. Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-83378-3.</ref><math display="block">f(x) \geq f(y) + f'(y) (x-y)</math>untuk sebarang titik <math>x</math> dan <math>y</math> di selang.
* Fungsi terdiferensialkan dua kali bersifat cembung pada suatu selang, jika dan hanya jika [[turunan kedua]] dari fungsi berniali tak negatif pada selang tersebut. Sifat ini memberikan cara praktis menguji kecembungan: secara visual, grafik fungsi terdiferensialkan dua kali yang cembung akan "melengkung ke atas," tanpa berbelok ke arah sebaliknya ([[titik belok]]).

=== Fungsi multivariabel ===
* Fungsi terdiferensialkan <math>f</math> yang terdefinisi pada [[himpunan cembung]] bersifat cembung jika dan hanya jika <math display="block">f(x) \geq f(y) + \nabla f(y)^T \cdot (x-y)</math>berlaku untuk sebarang  titik <math>x</math> dan <math>y</math> di himpunan.
* Fungsi terdiferensilakan dua kali bersifat cembung pada suatu himpunan cembung jika dan hanya jika [[matriks Hesse]] dari [[turunan parsial]] kedua bersifat [[Matriks definit|semidefinit positif]] pada bagian dalam (''interior'') himpunan tersebut.
* Sebarang [[minimum lokal]] dari fungsi cembung juga merupakan [[Maksimum dan minimum|minimum global]] fungsi tersebut. Fungsi cembung tegas memiliki paling banyak satu maksimum global.<ref>[https://math.stackexchange.com/q/337090 If f is strictly convex in a convex set, show it has no more than 1 minimum]. Math StackExchange. 21 Mar 2013.</ref>

== Operasi yang mempertahankan sifat kecembungan ==
Beberapa operasi berikut mempertahankan sifat kecembungan dari fungsi <math>f</math>:

* <math>-f</math> bersifat cekung jika dan hanya jika <math>f</math> cembung.
* Untuk sebarang bilangan riil <math>r</math>, fungsi <math>r + f</math> cembung jika dan hanya jika <math>f</math> cembung.
* Jumlah berbobot tak negatif: jika <math>w_1, \ldots, w_n \geq 0</math> dan <math>f_1, \ldots, f_n</math> semuanya cembung, maka <math>w_1 f_1 + \cdots + w_n f_n</math> juga cembung. Secara khusus, jumlah dari dua fungsi cembung akan berupa fungsi cembung. Sifat ini dapat diperumum ke penjumlahan tak hingga, integral, maupun nilai harapan (mengasumsikan mereka ada).
* Komposisi fungsi:
** Jika fungsi <math>f</math> dan <math>g</math> cembung dan <math>g</math> tak menurun pada suatu selang, maka fungsi <math>h(x) = g(f(x))</math> bersifat cembung. Sebagai contoh, jika <math>f</math> cembung, maka begitu pula dengan <math>e^{f(x)}</math>, karena <math>e^x</math> cembung dan monoton menaik.
** Jika <math>f</math> cekung, dan <math>g</math> cembung dan tak menaik pada suatu selang, maka fungsi <math>h(x) = g(f(x))</math> bersifat cembung.
** Kecembungan bersifat invarian dibawah [[Transformasi afin|pemetaan afin]]. Artinya, jika <math>f</math> cembung pada domain <math>D_f \subseteq \mathbf{R}^m</math>, begitu pula fungsi <math>g(x) = f(Ax+b)</math>, dengan <math>A \in \mathbf{R}^{m \times n}, b \in \mathbf{R}^m</math> pada domain <math>D_g \subseteq \mathbf{R}^n.</math>

== Contoh ==
=== Fungsi satu variabel ===
* Fungsi <math>f(x)=x^2</math> memiliki <math>f''(x)=2>0</math>, sehingga <math>f</math> merupakan fungsi cembung.
* Fungsi [[nilai mutlak]] <math>f(x)=|x|</math> bersifat cembung, walau fungsi tidak memiliki turunan di <math>x = 0.</math> Fungsi ini tidak cembung tegas. Secara lebih umum, fungsi <math>g(x)=|x|^p</math> dengan <math>p \ge 1</math> bersifat cembung.
* Fungsi <math>f</math> dengan domain <math>[0,\,1]</math> yang didefinisikan sebagai <math>f(0) = f(1) = 1, f(x) = 0</math> untuk <math>0 < x < 1</math>, merupakan fungsi cembung. Fungsi ini kontinu pada selang buka <math>(0, 1),</math> tapi tidak kontinu di 0 dan&nbsp;1.
* Fungsi <math>x^3</math> memiliki turunan kedua <math>6 x</math>, mengakibatkan fungsi ini cembung pada selang <math>x \geq 0</math> dan cekung pada selang <math>x \leq 0.</math>
* Contoh fungsi yang [[Fungsi monoton|monoton menaik]] tapi tidak cembung, adalah <math>f(x)=\sqrt{x}</math> dan <math>g(x)=\log x.</math>
* Contoh fungsi cembung tapi tidak monoton menaik, adalah <math>h(x)= x^2</math> dan <math>k(x)=-x.</math>
*
* Fungsi <math>f(x)=\tfrac{1}{x^2}</math> dengan <math>f(0)=\infty</math>, bersifat cembung pada selang <math>(0, \infty)</math> dan pada selang <math>(-\infty, 0)</math>, tapi tidak cembung pada selang <math>(-\infty, \infty)</math> karena singular di <math>x = 0.</math>

=== Fungsi multivariabel ===
* Fungsi [[LogSumExp]], yang juga dikenal sebagai fungsi softmax, adalah fungsi cembung.
* Fungsi <math>-\log\det(X)</math> pada domain [[Matriks definit|matriks definit-positif]] bersifat cembung.<ref>Stephen P. Boyd. [https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=83 Convex Optimization]. Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-83378-3.</ref>

== Pustaka ==
* 
* 
* [[Jonathan M. Borwein|Borwein, Jonathan]], and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
* 
* Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and [[Claude Lemaréchal|Lemaréchal, Claude]]. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

== Pranala luar ==
* 
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+cembung&oldid=29460879 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29460879 (2026-07-15T07:37:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->