Lihat sumber Fungsi ganjil dan genap

[[File:Sintay_SVG.svg|thumb|right|280px|Sintay SVG]]

'''Fungsi ganjil''' dan '''fungsi genap''' dalam [[matematika]] adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap [[invers aditif]]nya. Penting dalam banyak bidang [[analisis matematika]], terutama teori [[deret pangkat]] dan [[deret Fourier]]. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut [[parity (mathematics)|''parity'']] pangkat dari [[fungsi pangkat]] yang memenuhi setiap kondisi tertentu:
* fungsi  adalah suatu '''fungsi genap''' jika ''n'' adalah sebuah [[bilangan bulat]] genap.
* fungsi  adalah suatu '''fungsi ganjil''' jika ''n'' adalah sebuah bilangan bulat ganjil.

== Definisi dan contoh ==
Konsep ganjil atau genap hanya didefinisikan untuk fungsi-fungsi yang ranah (''domain'') dan rentang (''range'')nya keduanya memiliki suatu [[invers aditif]]. Ini meliputi [[abelian group|grup-grup aditif]], semua [[gelanggang (aljabar)|cincin (''ring'')]], semua [[bidang (matematika)|''field'']], dan semua [[ruang vektor]]. Jadi, misalnya, fungsi dengan nilai real dari variabel real dapat merupakan fungsi ganjil atau genap, sebagaimana juga fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel vektor, dan seterusnya.

Contohnya adalah fungsi nilai riil dari variabel nyata, untuk menggambarkan [[simetri]] grafiknya.

=== Fungsi genap ===
Misalkan '' f ''('' x '') menjadi fungsi bernilai [[bilangan riil|nyata]] dari variabel real. Maka '' f '' adalah '' 'even' '' jika persamaan berikut berlaku untuk semua '' x '' dan '' -x '' dalam domain '' f '':<ref>Gelfand 2002, p. 11</ref>

:<math>
f(x) = f(-x), \,
</math>

atau

:<math>
f(x) - f(-x) = 0. \,
</math>

Secara geometris, permukaan grafik dari fungsi genap adalah [[simetri]]s sehubungan dengan sumbu '' y '', artinya [[grafik suatu fungsi|grafik]] tetap tidak berubah setelah [[refleksi (matematika)|refleksi]] terhadap sumbu '' y ''.

Contoh fungsi genap adalah [[nilai absolut|''x'']], ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, [[fungsi trigonometri|cos]]('' x ''), dan [[fungsi hiperbolik|cosh]](''x'').

=== Fungsi ganjil ===
Sekali lagi, misalkan '' f '' ('' x '') menjadi fungsi bernilai [[bilangan real|nyata]] dari variabel riil. Maka '' f '' adalah '' 'ganjil' '' jika persamaan berikut berlaku untuk semua '' x '' dan '' -x '' dalam domain '' f '':<ref>Gelfand 2002, p. 72</ref>

:<math>
-f(x) = f(-x), \,
</math>

atau

:<math>
f(x) + f(-x) = 0. \,
</math>

Secara geometris, [[grafik fungsi]] ganjil memiliki simetri rotasi terhadap [[Asal (matematika)|asal]], artinya [[grafik suatu fungsi|grafik]] tidak berubah setelah [[rotasi koordinat|rotasi]] sebesar 180 [[derajat (sudut)|derajat]] s tentang asalnya.

Contoh fungsi ganjil adalah ''x'', ''x''<sup>3</sup>, [[sinus|sin]](''x''), [[fungsi hiperbolik|sinh]](''x''), dan [[Fungsi galat|erf]](''x'').

== Sejumlah fakta ==
=== Kontinuitas dan diferensiabilitas ===
Suatu fungsi menjadi ganjil atau genap tidak berarti [[fungsi terdiferensiasi|diferensiabilitas]], atau bahkan [[fungsi berkelanjutan|kontinuitas]]. Misalnya, [[Fungsi Dirichlet]] adalah genap, tetapi tidak ada yang kontinu. Properti yang melibatkan deret Fourier, deret Taylor, turunan, dan sebagainya hanya dapat digunakan jika dapat diasumsikan ada.

=== Properti aljabar ===
==== Sifat keunikan ====
* Jika suatu fungsi genap dan ganjil, itu sama dengan 0 di mana pun ia didefinisikan.

==== Properti yang melibatkan penjumlahan dan pengurangan ====
* Jumlah dari dua fungsi genap adalah genap, dan kelipatan konstan dari fungsi genap adalah genap.
* Jumlah dari dua fungsi ganjil adalah ganjil, dan kelipatan konstan dari fungsi ganjil adalah ganjil.
* Perbedaan antara dua fungsi ganjil adalah ganjil.
* Perbedaan antara dua fungsi genap adalah genap.
* [[Penjumlahan|jumlah]] dari fungsi genap dan ganjil tidak genap atau ganjil, kecuali salah satu fungsi sama dengan nol di atas [[Domain dari suatu fungsi|domain]].

==== Sifat yang melibatkan perkalian dan pembagian ====
* [[perkalian]] dari dua fungsi genap adalah fungsi genap.
* Produk dari dua fungsi ganjil adalah fungsi genap.
* Hasil kali dari fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.
* [[Pembagian (matematika)|hasil bagi]] dari dua fungsi genap adalah fungsi genap.
* Hasil bagi dari dua fungsi ganjil adalah fungsi genap.
* Hasil bagi dari fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.

==== Sifat yang melibatkan komposisi ====
* [[Komposisi fungsi|komposisi]] dari dua fungsi genap adalah genap.
* Komposisi dua fungsi ganjil adalah ganjil.
* Komposisi fungsi genap dan fungsi ganjil genap.
* Komposisi fungsi ganjil atau genap dengan fungsi genap adalah genap (tetapi tidak sebaliknya).

==== Sifat aljabar lainnya ====
* Setiap [[kombinasi linear]] dari fungsi genap, dan fungsi genap membentuk [[ruang vektor]] di atas [[bilangan real|nyata]]. Demikian pula, kombinasi linear dari fungsi ganjil adalah ganjil, dan fungsi ganjil juga membentuk ruang vektor di atas real. Faktanya, ruang vektor dari '' semua '' fungsi bernilai riil adalah [[jumlah langsung ruang vektor|jumlah langsung]] dari [[subruang linear|subruang]] fungsi genap dan ganjil. Dengan kata lain, setiap fungsi '' f ''('' x '') dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dari fungsi genap dan fungsi ganjil:
::
:: <math>f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x)\,,</math>
: dimana
:: <math>f_\text{e}(x) = \tfrac12[f(x)+f(-x)]</math>
: adalah genap dan
:: <math>f_\text{o}(x) = \tfrac12[f(x)-f(-x)]</math>
: aneh. Misalnya, jika '' f '' adalah exp, maka ''f''<sub>e</sub> adalah cosh dan ''f''<sub>o</sub> is&nbsp;sinh.

* Fungsi genap membentuk [[aljabar di atas bidang|aljabar komutatif]] di atas real. Namun, fungsi ganjil tidak '' tidak '' membentuk aljabar di atas real, karena mereka tidak [[Penutup (matematika)|tertutup]] dalam perkalian.

=== Sifat kalkulus ===
==== Sifat kalkulus dasar ====
* [[Turunan]] dari sebuah fungsi genap adalah fungsi ganjil.
* Turunan dari sebuah fungsi ganjil adalah fungsi genap.
* [[Integral]] dari sebuah fungsi ganjil dari −''A'' ke +''A'' adalah [[nol]] (di mana ''A'' adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −''A'' dan ''A'').
* [[Integral]] dari sebuah fungsi genap dari −''A'' ke +''A'' adalah dua kali integral dari 0 ke +''A'' (di mana''A'' adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −''A'' dan ''A''. Ini juga benar ketika ''A'' adalah bilangan tak terhingga, tetapi hanya jika integral itu konvergen).

==== Sifat deret ====
* [[Deret Maclaurin]] dari sebuah fungsi genap hanya terdiri dari pangkat genap.
* Deret Maclaurin dari sebuah fungsi ganjil hanya terdiri dari pangkat ganjil.
* [[Deret Fourier]] dari sebuah fungsi genap [[:periodic function|periodik]] hanya terdiri dari fungsi [[kosinus]].
* Deret Fourier dari sebuah fungsi ganjil periodik hanya terdiri dari fungsi [[sinus]].

== Harmonik ==
Dalam [[pemrosesan sinyal]], [[distorsi harmonik]] terjadi ketika sinyal [[gelombang sinus]] dikirim melalui [[sistem nonlinear]] tanpa memori, yaitu, sistem yang keluarannya pada waktu <math> t </math> hanya bergantung pada masukan pada saat <math> t </math> dan tidak bergantung pada masukan pada waktu sebelumnya. Sistem seperti itu dijelaskan oleh fungsi respons <math>V_\text{out}(t) = f(V_\text{in}(t))</math>. Jenis [[harmonik]] yang dihasilkan bergantung pada fungsi respons <math>f</math>:<ref>[http://www.uaudio.com/webzine/2005/october/content/content2.html Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics].</ref>
* Ketika fungsi respon genap, sinyal yang dihasilkan hanya akan terdiri dari harmonisa gelombang sinus masukan; <math>0f, 2f, 4f, 6f, \dots \ </math>
** [[Frekuensi fundamental|fundamental]] juga merupakan harmonik ganjil, jadi tidak akan ada.
** Contoh sederhananya adalah [[penyearah gelombang penuh]].
** Komponen <math> 0f </math> mewakili DC offset, karena sifat satu sisi dari fungsi transfer simetris genap.
* Jika ganjil, sinyal yang dihasilkan hanya terdiri dari harmonik ganjil dari gelombang sinus masukan; <math>1f, 3f, 5f, \dots \ </math>
** Sinyal keluaran akan menjadi setengah gelombang [[simetris]].
** Contoh sederhananya adalah [[kliping (audio)|guntingan]] secara simetris [[Electronic amplifier|push-pull amplifier]].
* Jika asimetris, sinyal yang dihasilkan dapat berisi harmonisa genap atau ganjil; <math>1f, 2f, 3f, \dots \ </math>
** Contoh sederhana adalah penyearah setengah gelombang, dan kliping dalam [[penguat kelas-A]] asimetris.

Perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk bentuk gelombang yang lebih kompleks. Sebuah [[gelombang gigi gergaji]] berisi harmonik genap dan ganjil, misalnya Setelah penyearah gelombang penuh simetris genap, ini menjadi [[gelombang segitiga]], yang selain offset DC, hanya berisi harmonik ganjil.

== Lihat pula ==
* [[Fungsi Hermitian]] untuk generalisasi [[bilangan kompleks]]
* [[Deret Taylor]]
* [[Deret Fourier]]
* [[Metode Holstein–Herring]]

== Pustaka ==
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+ganjil+dan+genap&oldid=28752862 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28752862 (2025-12-29T04:23:48Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->