Lihat sumber Fungsi invers trigonometri

'''Fungsi invers trigonometri''' adalah [[fungsi invers]] suatu [[fungsi trigonometri]] (dengan [[domain fungsi|domain]] yang terbatas). Dengan kata lain, fungsi invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi [[sinus]], [[kosinus]], [[tangen]], [[kotangen]], [[sekan]] dan [[kosekan]], dan digunakan untuk mencari suatu sudut dari rasio trigonometri sudut yang lain. Fungsi invers trigonometri deretng digunakan di bidang teknik, navigasi, fisika dan [[geometri]].

== dalam kalkulus ==
===Turunan dari fungsi invers trigonometri ===
:

[[Turunan]] untuk nilai kompleks '' z '' adalah sebagai berikut:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin(z) &{} = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;   &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos(z) &{} = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;  &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arctan(z) &{} = \frac{1}{1+z^2} \; ;          &z &{}\neq -i, +i\\
\frac{d}{dz} \arccot(z) &{} = -\frac{1}{1+z^2} \; ;         &z &{}\neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec(z) &{} = \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;   &z &{}\neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;  &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}</math>
Hanya untuk nilai riil <math>x</math>:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ;  & |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc(x) &{} = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ; & |x| > 1
\end{align}</math>

Untuk contoh turunannya: bila <math>\theta = \arcsin(x)</math>, kita mendapatkan:
:<math>\frac{d \arcsin(x)}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin(\theta)} = \frac{d \theta}{\cos(\theta) \, d \theta} = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

=== Ekspresi sebagai integral pasti ===
Mengintegrasikan turunan dan menetapkan nilai pada satu titik memberikan ekspresi untuk fungsi trigonometri terbalik sebagai integral pasti:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arccos(x) &{}= \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arctan(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arccot(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arcsec(x) &{}= \int_1^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \pi + \int_x^{-1} \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz\; , & x &{} \geq 1\\
\arccsc(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \int_{-\infty}^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz \; , & x &{} \geq 1\\
\end{align}</math>
Jika <math>x</math> sama dengan 1, integral dengan domain terbatas adalah [[integral tak tentu]], tetapi masih terdefinisi dengan baik.

=== Deret tak terbatas ===
Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi trigonometri terbalik juga dapat dihitung menggunakan [[deret pangkat]], sebagai berikut. Untuk busur, deret dapat diturunkan dengan memperluas turunannya, <math display="inline">\tfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math>, sebagai [[deret binomial]], dan mengintegrasikan istilah demi istilah (menggunakan definisi integral seperti di atas). Deret untuk arctangen juga bisa diturunkan dengan memperluas turunan <math display="inline">\frac{1}{1+z^2}</math> dalam sebuah [[deret geometris]], dan menerapkan definisi integral di atas (lihat [[deret Leibniz]]).

: <math>
\begin{align}
\arcsin(z) & = z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{z^7}{7} + \cdots \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1} \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1
\end{align}
</math>

:<math>\arctan(z)
= z - \frac{z^3}{3} +\frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1 \qquad z \neq i,-i</math>

Deret untuk fungsi trigonometri terbalik lainnya dapat diberikan dalam hal ini sesuai dengan hubungan yang diberikan di atas. Sebagai contoh, <math>\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x)</math>, <math>\arccsc(x) = \arcsin(1/x)</math>, dan seterusnya. Deret lainnya diberikan oleh:<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+invers+trigonometri&oldid=27842498 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

:<math>2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n^2\binom {2n} n}.</math>

[[Leonhard Euler]] menemukan deret untuk invers tangen yang menyatu lebih cepat daripada [[deret Taylor]]:

: <math>\arctan(z) = \frac z {1 + z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k + 1)(1 + z^2)}.</math><ref>Hwang Chien-Lih. ''Derivasi dasar deret Euler untuk fungsi arktangen''. ''The Mathematical Gazette''. 2005. Vol. 89 (516). hlm. 469–470. doi:10.1017/S0025557200178404.</ref>
(Suku dalam jumlah untuk '' n '' = 0 adalah [[produk kosong]], jadi 1.)

Atau, ini dapat dinyatakan sebagai

:<math>\arctan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n + 1)!} \frac{z^{2n + 1}}{(1 + z^2)^{n + 1}}.</math>

Deret lain untuk fungsi arctangent diberikan oleh

:<math>\arctan(z) = i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n - 1}\left(\frac{1}{(1 + 2i/z)^{2n-1}} - \frac{1}{(1 - 2i/z)^{2n - 1}}\right),</math>

dimana <math>i=\sqrt{-1}</math> adalah [[bilangan imajiner]].

==== Pecahan lanjutan untuk invers tangen ====
Dua alternatif dari deret pangkat untuk invers tangen adalah [[pecahan lanjutan umum]] berikut:

: <math>\arctan(z) =
\frac z {1 + \cfrac{(1z)^2}{3 - 1z^2 + \cfrac{(3z)^2}{5 - 3z^2 + \cfrac{(5z)^2}{7 - 5z^2 + \cfrac{(7z)^2}{9-7z^2 + \ddots}}}}} =
\frac{z}{1 + \cfrac{(1z)^2}{3 + \cfrac{(2z)^2}{5 + \cfrac{(3z)^2}{7 + \cfrac{(4z)^2}{9 + \ddots}}}}}
</math>

Yang kedua ini berlaku di [[bidang kompleks]] potong. Ada dua potongan, dari - '''i''' ke titik tak terhingga, menuruni sumbu imajiner, dan dari '''i''' ke titik tak terhingga, menuju berfungsi paling baik untuk [[Bilangan riil|bilangan real]] yang berjalan dari −1 hingga 1. Penyebut parsial adalah bilangan asli ganjil, dan pembilang parsial (setelah yang pertama) hanya (''nz'')<sup>2</sup>, dengan setiap kotak sempurna muncul sekali. Yang pertama dikembangkan oleh [[Leonhard Euler]]; yang kedua oleh [[Carl Friedrich Gauss]] menggunakan [[deret hipergeometrik Gaussian]].

=== Integral tak tentu dari fungsi invers trigonometri ===
Untuk nilai nyata dan kompleks ''z'':
:<math>\begin{align}
\int \arcsin(z) \, dz &{}= z \, \arcsin(z) + \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arccos(z) \, dz &{}= z \, \arccos(z) - \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arctan(z) \, dz &{}= z \, \arctan(z) - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arccot(z) \, dz &{}= z \, \arccot(z) + \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arcsec(z) \, dz &{}= z \, \arcsec(z) - \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C\\
\int \arccsc(z) \, dz &{}= z \, \arccsc(z) + \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C
\end{align}</math>

untuk riil ''x'' ≥ 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C
\end{align}</math>

untuk semua riil ''x'' tidak antara -1 dan 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C
\end{align}</math>

Nilai mutlak diperlukan untuk mengimbangi nilai negatif dan positif dari fungsi arcsekan dan arckosekan. Fungsi signum juga diperlukan karena [[Nilai absolut|nilai mutlak]] dalam [[#Turunan|turunan]] dari kedua fungsi tersebut, yang membuat dua solusi berbeda untuk nilai positif dan negatif x. Ini dapat disederhanakan lebih lanjut menggunakan definisi logaritmik dari [[Fungsi hiperbolik invers#Representasi logaritmik|fungsi hiperbolik invers]]:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\end{align}</math>

Nilai mutlak dalam argumen fungsi arcosh menciptakan setengah negatif grafiknya, membuatnya identik dengan fungsi logaritmik signum yang ditunjukkan di atas.

Semua antiturunan ini dapat diturunkan menggunakan [[integrasi oleh bagian]] dan bentuk turunan sederhana yang ditunjukkan di atas.

==== Contoh ====
Menggunakan <math>\int u \, dv = u v - \int v \, du</math> (yaitu [[integrasi oleh bagian]]),

:<math>\begin{align}
u &= \arcsin(x) & dv &= dx \\
du &= \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & v &= x
\end{align}</math>

Kemudian

:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx,</math>

yang dengan sederhana [[Integral substitusi|substitusi]] <math>w=1-x^2,\ dw = 2x\,dx</math> menghasilkan hasil akhir:

:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C </math>

== Daftar ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!Nama
!Notasi
!Definisi
!Domain ''x'' untuk bilangan riil
!Kisaran<br /> ([[radian]])
!Kisaran<br /> (derajat)
|-
| '''sinus invers''' || ''y'' =  || ''x'' = || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || − ≤ ''y'' ≤  || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
| '''kosinus invers''' || ''y'' =  || ''x'' = || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤  || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''tangen invers''' || ''y'' =  || ''x'' = || -∞ ≤ x ≤ ∞ || − < ''y'' <  || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''kotangen invers''' || ''y'' =  ||''x'' = || -∞ ≤ x ≤ ∞ || 0 < ''y'' <  || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''sekan invers''' || ''y'' =  || ''x'' = || ''x'' ≤ −1 atau ''x'' ≥ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ ; y ≠  || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°; y ≠ 90°
|-
| '''kosekan invers''' || ''y'' =  || ''x'' = || ''x'' ≤ −1 atau ''x'' ≥ 1 || − ≤ ''y'' ≤ ; y ≠ 0 || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°; y ≠ 0°
|-
|}

== Hubungan antara fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri ==
{|class="wikitable"
|-
!<math>\theta</math>
!<math>\sin(\theta)</math>
!<math>\cos(\theta)</math>
!<math>\tan(\theta)</math>
!Diagram
|-
!<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\sin(\arcsin(x)) = x </math>
|<math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|
|-
!<math>\arccos(x)</math>
|<math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos(\arccos(x)) = x </math>
|<math>\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|
|-
!<math>\arctan(x)</math>
|<math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arctan(x)) = x</math>
|
|-
!<math>\arccsc(x)</math>
|<math>\sin(\arccsc(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos(\arccsc(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\tan(\arccsc(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|
|-
!<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\sin(\arcsec(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\cos(\arcsec(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan(\arcsec(x)) = \sqrt{x^2-1}</math>
|
|-
!<math>\arccot(x)</math>
|<math>\sin(\arccot(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arccot(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arccot(x)) = \frac{1}{x}</math>
|
|-
|}

== Pranala luar ==
* 
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi+invers+trigonometri&oldid=27842498 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27842498 (2025-09-18T09:22:48Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->