Lihat sumber Gelanggang pembagian

Dalam [[aljabar]], sebuah '''gelanggang pembagian''' disebut juga '''medan miring''', adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] di mana [[pembagian (matematika)|pembagian]] dimungkinkan. Secara khusus, ini adalah gelanggang [[gelanggang nol|bukan nol]]<ref>Dalam artikel ini, gelanggang hanya memiliki 1.</ref> di mana setiap elemen bukan nol  memiliki [[invers perkalian]], yaitu elemen yang umumnya dilambangkan , misalnya . Jadi, ''pembagian'' dapat didefinisikan , tetapi notasi ini umumnya jarang digunakan, misalnya .

Gelanggang pembagian umumnya merupakan [[gelanggang nonkomutatif]]. Komutatif, jika dan hanya jika [[medan (matematika)|medan]], dalam hal ini istilah "gelanggang pembagian" jarang digunakan, kecuali untuk sifat gelanggang pembagian yang benar meskipun bersifat komutatif atau dalam bukti gelanggang pembagian tertentu bersifat komutatif. Misalnya, [[teorema kecil Wedderburn]] yang menyatakan bahwa semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan [[medan hingga]].

Semua gelanggang pembagian adalah [[gelanggang sederhana|sederhana]]. Artinya, mereka tidak memiliki dua sisi [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] selain [[nol ideal]] dan sendiri.

== Relasi dengan medan dan aljabar linear ==
Semua medan adalah gelanggang pembagian; contoh yang menarik adalah gelanggang pembagian non-komutatif. Contoh paling terkenal adalah gelanggang [[kuaternion]] '''H'''. Jika koefisien [[bilangan rasional|rasional]] dari [[bilangan riil|riil]] dalam konstruksi kuaternion, maka memperoleh gelanggang pembagian yang lain. Secara umum, jika ''R'' adalah gelanggang dan ''S'' adalah [[modul sederhana]] di atas ''R'', maka, [[lemma Schur]] dan [[gelanggang endomorfisme]] dari ''S'' adalah gelanggang pembagian,<ref>Lam (2001), .</ref> setiap gelanggang pembagian muncul dengan cara ini dari beberapa modul sederhana.

Banyak dari [[aljabar linear]] dirumuskan, dan tetap benar, untuk [[modul (matematika)|modul]] di atas gelanggang pembagian ''D'' sebagai alihan [[ruang vektor]] di atas medan. Melakukanya harus ditentukan apakah seseorang sedang mempertimbangkan modul kanan atau kiri, dan beberapa kehati-hatian diperlukan dalam membedakan kiri dan kanan dengan benar dalam rumus. Bekerja dalam koordinat, elemen modul kanan dimensi hingga diwakili oleh vektor kolom, yang dapat dikalikan di kanan dengan skalar, dan di sebelah kiri oleh matriks (mewakili peta linier), untuk elemen modul kiri berdimensi hingga, vektor baris harus digunakan yang dikalikan di kiri dengan skalar, dan di kanan dengan matriks. Rangkap dari modul kanan adalah modul kiri, dan sebaliknya. Transposisi matriks dilihat sebagai matriks di atas gelanggang pembagian ''D''<sup>op</sup> dalam tatanan berlawanan  untuk tetap valid.

Setiap modul di atas gelanggang pembagian adalah [[modul bebas|bebas]]; yaitu, memiliki basis, dan semua basis modul [[Bilangan basis invarian|memiliki jumlah elemen yang sama]]. Peta linear antara modul berdimensi hingga di atas gelanggang pembagian dijelaskan dengan [[matriks (matematika)|matriks]]; fakta bahwa peta linear dengan definisi perjalanan dengan perkalian skalar paling mudah diwakilankan dalam notasi dengan menuliskannya pada ''berlawanan'' sisi vektor sebagai skalar. Algoritma [[eliminasi Gaussian]] tetap dapat diterapkan. Peringkat kolom dari matriks adalah dimensi modul kanan yang dihasilkan oleh kolom, dan peringkat baris adalah dimensi modul kiri yang dihasilkan oleh baris; bukti yang sama untuk kasus ruang vektor dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa peringkat ini sama, dan menentukan peringkat matriks.

Faktanya, konversinya ini memberikan ''karakterisasi gelanggang pembagian'' melalui kategori modul: Gelanggang unital ''R'' adalah gelanggang pembagian jika dan hanya jika setiap [[Modul (matematika)|modul]]-R adalah [[Modul bebas|bebas]].<ref>Grillet, Pierre Antoine. Aljabar abstrak. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; bukti dapat ditemukan [http://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree di sini]</ref>

[[Pusat gelanggang|Pusat]] dari gelanggang pembagian adalah komutatif dan oleh karena itu merupakan medan.<ref>Gelanggang komutatif sederhana adalah medan. Lihat Lam (2001), dan .</ref> Oleh karena itu, setiap gelanggang pembagian adalah sebuah [[aljabar pembagian]] di atas pusatnya. Cincin pembagian dapat diklasifikasikan menurut dimensi hingga atau dimensi tak hingga di atas pusat. Pertama yang disebut ''hingga secara pusat'' dan yang terakhir ''tidak hingga secara pusat''. Setiap medan, tentu saja satu dimensi di atas pusat. Gelanggang [[kuaternion Hamiltonian]] membentuk aljabar 4 dimensi di atas pusat yang isomorfik terhadap bilangan riil.

== Contoh ==
* Seperti yang disebutkan di atas, semua [[medan (matematika)|medan]] adalah gelanggang pembagian.
* [[Kuaternion]] membentuk gelanggang pembagian nonkomutatif.
* Himpunan bagian dari kuaternion , maka , , , dan  termasuk dalam sub-medan tetap bagian [[bilangan riil]], adalah gelanggang pembagian nonkomutatif. Jika subbidang ini adalah bidang [[bilangan rasional]], ini adalah gelanggang pembagian dari ''kuaternion rasional''.
* Maka <math>\sigma: \Complex \to \Complex</math> sebagai medan [[automorfisme]]  Maka <math>\Complex((z,\sigma))</math> menunjukkan gelanggang [[deret Laurent formal]] dengan koefisien kompleks, di mana perkalian didefinisikan sebagai berikut: alihan hanya mengizinkan koefisien untuk komutatif secara langsung dengan tak tentu  untuk  menjelaskan <math>z^i\alpha := \sigma^i(\alpha) z^i</math> untuk setiap indeks  Jika <math>\sigma</math> adalah automorfisme non-trivial dari [[bilangan kompleks]] (sebagai [[konjugasi kompleks|konjugasi]]), maka gelanggang yang dihasilkan dari deret Laurent adalah gelanggang pembagian nonkomutatif ketat yang dikenal sebagai ''gelanggang pembagian Laurent miring '';<ref>Lam (2001), p. 10</ref> jika  maka fitur [[gelanggang deret Laurent formal|perkalian standar deret formal]]. Konsep ini dapat digeneralisasikan ke gelanggang deret Laurent di atas medan tetap  diberikan nontrivial  

== Teorema utama ==
'''[[Teorema kecil Wedderburn]]''': Semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan oleh karena itu [[medan hingga]]. [[Ernst Witt]] salah satu yang memberikan bukti sederhana.

'''[[Teorema Frobenius (aljabar pembagian riil)|Teorema Frobenius]]''': Satu-satunya aljabar pembagian asosiatif berdimensi-hingga di atas riil adalah riil sendiri, [[bilangan kompleks]], dan [[kuaternion]].

== Gagasan terkait ==
Gelanggang pembagian ''dulu'' disebut "medan" dalam penggunaan yang lebih lama. Dalam banyak bahasa, kata yang berarti "tubuh" digunakan untuk gelanggang pembagian, dalam beberapa bahasa menunjuk gelanggang pembagian komutatif atau non-komutatif, sementara di tempat lain secara khusus menunjuk gelanggang pembagian komutatif, dalam bahasa Indonesia yang sekarang kita sebut adalah "Medan". Perbandingan yang lebih lengkap ditemukan dalam artikel di [[Medan (matematika)|medan]].

Nama "Medan miring" memiliki fitur [[semantik leksikal|semantik]] yang menarik: pengubah (di sini "skew") ''memperluas'' cakupan istilah dasar (di sini "medan"). Jadi, medan adalah jenis medan miring tertentu, dan tidak semua medan miring adalah medan.

Sedangkan gelanggang pembagian dan aljabar seperti yang dibahas di sini diasumsikan memiliki perkalian asosiatif, [[Aljabar pembagian#Tidak harus menggunakan aljabar pembagian asosiatif|aljabar pembagian non asosiatif]] sebagai [[oktonion]].

[[Medan dekat (matematika)|Medan dekat]] adalah struktur aljabar yang mirip dengan gelanggang pembagian, kecuali hanya memiliki satu dari dua [[hukum distributif]].

== Catatan ==
== Lihat pula ==
* [[Identitas Hua]]

== Bacaan lebih lanjut ==
* 

== Pranala luar ==
*[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3627 Bukti Teorema Wedderburn di Planet Math] 
* [https://math.stackexchange.com/q/75866 Aljabar Abstrak Grillet, karakterisasi bagian VIII.5 dari gelanggang pembagian melalui modul bebas. ]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang+pembagian&oldid=28752905 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28752905 (2025-12-29T04:29:12Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->