Lihat sumber Homomorfisme aljabar

Pada matematika, '''homomorfisme aljabar'''  adalah homomorfisme di antara dua [[aljabar asosiatif]]. Lebih tepatnya, jika  dan  adalah [[:en:Algebra_over_a_field|aljabar]] atas suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] (atau [[:en:Commutative_ring|gelanggang komutatif]]) , fungsi<math>F\colon A\to B</math> merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap  anggota  dan  anggota ,<ref>David S. Dummit. [https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm_k3c6 Abstract Algebra]. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.</ref><ref>Serge Lang. ''Algebra''. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.</ref>

* <math>F(kx) = kF(x)</math>
* <math>F(x + y) = F(x) + F(y)</math>
* <math>F(xy) = F(x) F(y)</math>

Dua kondisi pertama merupakan syarat agar  menjadi pemetaan linier-''K'' (atau [[Homomorfisme modul|homomorfisme modul-''K'']] jika ''K'' adalah gelanggang komutatif), dan kondisi terakhir merupakan syarat agar fungsi  menjadi [[homomorfisme gelanggang]] (nonunit).

Jika [[Fungsi invers|invers]] dari  merupakan homomorfisme atau dengan kata lain  [[Bijeksi|bijektif]], maka fungsi  merupakan [[isomorfisme]] antara   dan .

== Homomorfisme aljabar unital ==
Misalkan ''A'' dan ''B''  adalah dua aljabar dengan unsur satuan. Homomorfisme aljabar  disebut homomofisme unital jika  memetakan unsur satuan di  ke unsur satuan di . Homomorfisme aljabar sering kali diasumsikan juga bersifat unital, sekalipun tidak secara eksplisit disebut unital.

Homomorfisme aljabar unital merupakan bagian dari [[homomorfisme gelanggang]] yang unital.

== Contoh ==
* Setiap gelanggang adalah aljabar-'''Z.''' Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik . Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-'''Z''' merupakan gelanggang'''.''' 
* Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan  menginduksi struktur aljabar-''R'' komutatif pada ''S.''  Sebaliknya, jika ''S'' merupakan aljabar-''R'' komutatif, maka pemetaan    merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, ''overcategory'' gelanggang-''R'' komutatif adalah kategori aljabar-''R'' komutatif.
* Misalkan ''A'' adalah [[subaljabar]] dari ''B,'' maka untuk setiap unsur unit ''b,'' fungsi yang mengirim setiap elemen ''a'' di ''A'' ke ''b''<sup>−1</sup>''ab'' merupakan homomorfisme aljabar''.'' (Jika , homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari ''B'' ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh ''b''. Misalkan pula ''A'' adalah aljabar sederhana dan ''B'' merupakan ''central simple algebra'', maka semua homomorfisme dari ''A'' ke ''B'' merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .

== Lihat pula ==
* Morfisme
* 
* Spektrum gelanggang
* Augmentasi (aljabar)

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme+aljabar&oldid=29466135 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29466135 (2026-07-16T15:26:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->