Lihat sumber Hukum logaritma teriterasi

[[File:Law_of_large_numbers.gif|thumb|right|280px|Plot dari S_n/n (merah), simpangan bakunya 1/\sqrt{n} (biru) dan batasnya \sqrt{2\log\log n/n} sesuai dengan LIL (hijau). Perhatikan bagaimana nilainya secara acak berpindah dari batas atas ke batas bawah. Kedua sumbu pada grafik ini telah diubah secara non-linier (seperti dijelaskan dalam ringkasan gambar) untuk membuat pola ini lebih mudah terlihat]]

Dalam [[Teori peluang|teori probabilitas]], '''hukum logaritma berulang''' menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah [[Langkah acak|pergerakan acak]]. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924.<ref>[./Aleksandr_Khinchin A. Khinchine]. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", ''[./Fundamenta_Mathematicae Fundamenta Mathematicae]'' 6 (1924): pp. 9–20 ''(The author's name is shown here in an alternate transliteration.)''</ref> Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|AN Kolmogorov]] pada tahun 1929.<ref>[./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0101 "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. ''Mathematische Annalen'', 101: 126–135, 1929.</ref>

== Pernyataan ==
Misalkan {''Y<sub>n</sub>''} adalah [[variabel acak]] yang saling bebas dan terdistribusi identik, dengan [[nilai harapan]] nol dan varians satu. Misalkan ''S<sub>n</sub>'' = ''Y''<sub>1</sub> + ... + ''Y<sub>n</sub>''. Maka

: <math>
    \limsup_{n \to \infty} \frac{|S_n|}{\sqrt{2n \log\log n}} = 1 \quad \text{a.s.},
  </math>
Di sini, "log" adalah [[Logaritma alami|logaritma natural]], "lim sup" menyatakan ''limit superior'', dan "a.s." berarti "[[hampir pasti]]" (''almost surely'').<ref>Leo Breiman. ''Probability''. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)</ref><ref>R. Durrett. ''Probability: Theory and Examples''. Fourth edition published by Cambridge University Press in 2010. (See Theorem 8.8.3.)</ref>

Pernyataan lain yang diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|A. N. Kolmogorov]] pada 1929<ref>[./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0101 "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. ''Mathematische Annalen'', 101: 126–135, 1929.</ref> sebagai berikut.

Misalkan <math> \{ Y_n \} </math> adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: <math> S_n = Y_1 + \dots + Y_n </math> dan <math> B_n = \operatorname{Var}(Y_1) + \dots + \operatorname{Var}(Y_n) </math>. Jika <math> B_n \to \infty </math> dan terdapat suatu barisan konstanta positif <math> \{ M_n \} </math> sedemikian sehingga: <math> |Y_n| \le M_n </math> a.s. dan
: <math>
    M_n \;=\; o \left( \sqrt{\frac{B_n}{\log \log B_n}} \right),
  </math>
maka berlaku:
: <math>
    \limsup_{n \to \infty} \frac{|S_n|}{\sqrt{2 B_n \log\log B_n}} = 1 \quad \text{a.s.}
  </math>

Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus [[distribusi normal]] standar, tetapi pernyataan kedua tidak.

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum+logaritma+teriterasi&oldid=27843430 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27843430 (2025-09-18T09:37:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->