Lihat sumber Identitas Jacobi

Dalam [[matematika]], '''identitas Jacobi''' adalah sifat dari [[operasi biner]] yang menjelaskan bagaimana urutan evaluasi, penempatan tanda kurung dalam beberapa produk, memengaruhi hasil operasi. Sebaliknya, untuk operasi dengan [[sifat asosiatif]], urutan evaluasi memberikan hasil yang sama (tidak menggunakan tanda kurung dalam beberapa produk). Identitas ini dinamai matentikawan asal Jerman [[Carl Gustav Jakob Jacobi]].

[[Produk silang]] <math>a\times b</math> dan [[aljabar Lie|operasi braket Lie]] <math>[a,b]</math> keduanya memenuhi identitas Jacobi. Dalam [[mekanika analitik]], identitas Jacobi menggunakan [[tanda kurung Poisson]]. Dalam [[mekanika kuantum]], digunakan oleh operasi [[Komutator#Teori gelanggang|komutator]] dengan [[ruang Hilbert]] dan ekuivalen dalam [[perumusan ruang fase]] mekanika kuantum oleh [[kurung siku]] Moyal.

== Definisi ==
Satu himpunan '''A''' dengan dua operasi biner + dan ''×'', dengan identitas aditif 0, memenuhi identitas Jacobi jika:

:<math>x \times (y \times z)  \ +\ z \times (x \times y) \ +\ y \times (z \times x)\ =\ 0 \quad \forall\ {x,y,z}\in A</math>.

Sisi kiri adalah jumlah dari semua permutasi genap dari : tanda kurung dibiarkan tetap, dan huruf saling dipertukarkan beberapa kali.

== Bentuk kurung siku komutator ==
Contoh informatif paling sederhana dari [[aljabar Lie]] digunakan gelanggang (asosiatif) <math>n\times n</math> matriks sebagai gerakan sangat kecil dari [[ruang vektor]] berdimensi-''n''. Operasi × adalah [[komutator]], yang mengukur kegagalan komutatif dalam [[perkalian matriks]]. Alih <math>X\times Y</math> sebagai notasi kurung siku Lie digunakan:
:<math>[X,Y]=XY-YX.</math>

Dalam notasi tersebut, identitas Jacobi adalah:

Digunakan dengan komputasi.

Lebih umum, jika '''A''' adalah [[aljabar asosiatif]] dan <math>V</math> adalah subruang dari '''A''' yang ditutup di bawah operasi kurung siku: <math>[X,Y]=XY-YX</math> sebagai <math>V</math> untuk semua <math>X,Y\in V</math>, identitas Jacobi tetap menggunakan ''V''.<ref>Contoh 3.3</ref> Maka, jika operasi biner <math>[X,Y]</math> memenuhi identitas Jacobi dikatakan bahwa seolah-olah diberikan oleh <math>XY-YX</math> dalam beberapa aljabar asosiatif meskipun sebenarnya tidak didefinisikan seperti itu.

Menggunakan [[antikomutatif|sifat antisimetri]] <math>[X,Y]=-[Y,X]</math>, identitas Jacobi dapat ditulis ulang sebagai modifikasi dari [[sifat asosiatif]]:

:<math>[[X, Y], Z] = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]]~.</math>

Jika <math>[X,Z]</math> adalah tindakan dari gerakan kecil ''X'' dengan ''Z'', dapat dinyatakan sebagai: 

Terdapat jumlah [[aljabardaya Lie#Sifat|identitas Jacobi bertingkat]] yang melibatkan [[antikomutator]] <math>\{X,Y\}</math>, contoh:

:<math>
[\{X,Y\},Z]+ [\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y] =0,\qquad
[\{X,Y\},Z]+ \{[Z,Y],X\}+\{[Z,
X],Y\} =0.
</math>
Lihat pula [[Kurung siku Lie bidang vektor]] dan [[rumus Baker–Campbell–Hausdorff]]

== Bentuk adjoin ==
Contoh umum dari identitas Jacobi berasal dari perkalian kurung siku <math>[x,y]</math> dengan [[aljabar Lie]] dan [[gelanggang Lie]]. Identitas Jacobi ditulis sebagai:

: <math>[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0</math>.

Karena perkalian kurung siku adalah [[antikomutatif|antisimetris]], identitas Jacobi sebagai dua reformulasi yang setara. Mendefinisikan [[representasi adjoin dari aljabar Lie|operasi adjoin]] <math>\operatorname{ad}_x: y \mapsto [x,y]</math> sebagai:
:<math>\operatorname{ad}_x[y,z]=[\operatorname{ad}_xy,z]+[y,\operatorname{ad}_xz]</math>.

Dengan demikian, identitas Jacobi untuk aljabar Lie menyatakan bahwa tindakan elemen pada aljabar adalah [[turunan (aljabar abstrak)|turunan]]. Bentuk identitas Jacobi digunakan untuk mendefinisikan pengertian [[aljabar Leibniz]].

Penataan ulang lain menunjukkan bahwa identitas Jacobi setara dengan identitas berikut antara operator wakilan adjoin:
:<math>\operatorname{ad}_{[x,y]}=[\operatorname{ad}_x,\operatorname{ad}_y].</math>

Di sana, kurung siku di sisi kiri adalah operasi dari aljabar asli, tanda kurung di sebelah kanan adalah komutator dari komposisi operator, dan identitas menyatakan bahwa <math>\mathrm{ad}</math> peta untuk setiap elemen ke tindakan adjoin adalah [[aljabar Lie homomorfisme]].

== Identitas terkait ==
[[Komutator#Identitas (teori grup)|Identitas Hall–Witt]] adalah identitas analog untuk operasi [[komutator]] dalam [[grup (matematika)|grup]].

Identitas berikut mengikuti dari antikomutativitas dan identitas Jacobi dan berlaku dalam aljabar Lie sembarang:<ref>Ilya Alekseev. ''Higher Jacobi Identities''. 18 April 2016.</ref>

: <math>[x,[y,[z,w]]] + [y,[x,[w,z]]] + [z,[w,[x,y]]] + [w,[z,[y,x]]] = 0</math>.

== Lihat pula ==
* [[Konstanta struktur]]
* [[Identitas Jacobi super]]
* [[Tiga subgrup lemma]] (identitas Hall–Witt)

== Pranala luar ==
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Jacobi&oldid=29539792 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29539792 (2026-08-08T09:48:31Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->