Lihat sumber Integral Fresnel

[[File:Fresnel_Integrals_(Unnormalised).svg|thumb|right|280px|Fresnel Integrals (Unnormalised)]]

[[Gambar:Fresnel Integrals (Unnormalised).svg|250px|thumb|
Plot dari nilai  dan . Maksimum  di sekitar nilai . Jika nilai  di integral kan dan nilai  didefinisikan  bukan nilai , maka gambar akan diperkecil secara vertikal dan horizontal (lihat di bawah).]]

'''Integral Fresnel''' pada nilai ''S''(''x'') dan ''C''(''x'') adalah dua fungsi ''[[transendental]]'' yang ditemukan oleh [[Augustin-Jean Fresnel]] yang digunakan dalam [[Optika|optik]] dan terkait erat dengan fungsi kesalahan (erf). Ketika muncul dalam deskripsi fenomena [[difraksi Fresnel]] pada medan terdekat dan dapat didefinisikan melalui representasi integral, sebagai berikut:

: <math>S(x) = \int_0^x \sin(t^2)\,dt, \quad C(x) = \int_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>

Dari rumus di atas [[plot parametrik]] simulasi dari nilai ''S''(''x'') dan nilai ''C''(''x'') adalah hasil nilai [[spiral Euler]] atau juga dikenal sebagai ''spiral'' ''Cornu'' atau ''clothoid''. Baru-baru ini, mereka telah digunakan dalam desain jalan raya dan proyek teknik lainnya.<ref>.</ref>

== Definisi ==
[[Gambar:Fresnel Integrals (Normalised).svg|250px|thumb|
Integral Fresnel dengan nilai argumen ''t''<sup>2</sup>/2 bukan nilai ''t''<sup>2</sup> konvorgumen 0.5.]]
Integral Fresnel menerima ekspansi [[deret pangkat]] berikut yang menyatu untuk semua yaitu nilai ''x'':

:<math>
\begin{align}
S(x) & =\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}. \\
C(x) & =\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.
\end{align}
</math>

Beberapa tabel yang banyak digunakan adalah<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Fresnel&oldid=28020067 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>.</ref> nila <math>\pi t^2 / 2</math> saat digantikan oleh nilai <math>t^2</math> untuk argumen integral yang merumuskan nilai ''S''(''x'') dan ''C''(''x'').  Hal tersebut dapat mengubah [[limit tak hingga]] dari nilai <math>\textstyle (1/2) \cdot \sqrt{\pi/2}</math> untuk nilai <math>1/2</math> dan panjang busur yang digunakan untuk putaran spiral pertama <math>(2\pi)</math> to 2 (at <math>t=2</math>). Fungsi alternatif saat ini biasanya dikenal sebagai '''Integral Fresnel yang Dinormalisasi'''.

== Spiral Euler ==
[[Gambar:Cornu Spiral.svg|250px|thumb|
Spiral euler <math>(x,y) = (C(t), S(t))</math>. Spiral menyatu ke tengah lubang pada gambar karena <math>t</math> cenderung positif atau negatif tak terhingga.]]
'''[[Spiral]] Euler''', atau dikenal juga sebagai '''Cornu spiral''' atau '''clothoid''', adalah kurva yang dihasilkan oleh [[plot parametrik]] dari <math>S(t)</math> melawan <math>C(t)</math>. Spiral Cornu diciptakan oleh [[Marie Alfred Cornu]] sebagai [[nomogram]] untuk komputasi difraksi dalam sains dan teknik.

Dari definisi integral Fresnel, [[infinitesimal]] <math>dx</math> dan <math>dy</math> demikian:
:<math>\begin{align}
dx &= C'(t)\,dt = \cos(t^2)\,dt, \\
dy &= S'(t)\,dt = \sin(t^2)\,dt.
\end{align}</math>

Dengan demikian panjang spiral yang diukur dari [[Asal (matematika)|asal]] dapat dinyatakan sebagai

: <math>L = \int_0^{t_0} \sqrt {dx^2 + dy^2} = \int_0^{t_0} dt = t_0. </math>

Artinya, parameter <math>t</math> adalah panjang kurva yang diukur dari titik asal <math>(0,0)</math>, dan spiral Euler memiliki panjang [[tak hingga|tak terbatas]]. The vector <math>(\cos(t^2), \sin(t^2))</math> juga mengekspresikan [[vektor satuan|satuan]] [[vektor tangen]] di sepanjang spiral, memberi <math>\theta = t^2</math>. Karena ''t'' adalah panjang kurva, maka kelengkungan tersebut <math>\kappa</math> dapat dinyatakan sebagai
: <math> \kappa = \frac{1}{R} = \frac{d\theta}{dt} = 2t. </math>

Dengan demikian laju perubahan kelengkungan terhadap panjang kurva adalah
: <math>\frac{d\kappa}{dt} = \frac {d^2\theta}{dt^2} = 2. </math>

Spiral Euler memiliki sifat bahwa [[kelengkungan]] pada titik mana pun sebanding dengan jarak sepanjang spiral, diukur dari titik awalnya.  Properti ini membuatnya berguna sebagai [[kurva transisi lintasan|kurva transisi]] dalam teknik jalan raya dan perkeretaapian: Jika kendaraan mengikuti spiral dengan kecepatan satuan, parameter <math>t</math> di turunan di atas juga mewakili waktu. Akibatnya, kendaraan yang mengikuti spiral dengan kecepatan konstan akan memiliki laju konstan [[percepatan sudut]].

Bagian dari spiral Euler biasanya digabungkan ke dalam bentuk loop roller coaster untuk membuat apa yang dikenal sebagai [[lingkaran clothoid]].

== Properti ==
* ''C''(''x'') dan  ''S''(''x'') adalah [[fungsi ganjil]] dari ''x''.
* Asimtot integral Fresnel sebagai <math>x \to \infty</math> diberikan oleh rumus:

:: <math>
\begin{align}
S(x) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} - \left[1+O(x^{-4}) \right] \left( \frac{\cos{(x^{2})}}{x \sqrt{2 \pi}} + \frac{\sin{(x^2)}}{ x^3 \sqrt{8 \pi}} \right) \right), \\
C(x) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} + \left[1+O(x^{-4}) \right] \left( \frac{\sin{(x^2)}}{x \sqrt{2 \pi}} - \frac{\cos{(x^{2})}}{ x^3 \sqrt{8 \pi}} \right) \right).
\end{align}
</math>

* Dengan menggunakan ekspansi deret pangkat di atas, integral Fresnel dapat diperpanjang ke domain [[bilangan kompleks]] s, di mana mereka menjadi [[fungsi analitik]] dari variabel kompleks.
* ''C(z)'' dan  ''S(z)'' adalah [[seluruh fungsi]] dari variabel kompleks ''z''.
* Integral Fresnel dapat diekspresikan menggunakan [[fungsi kesalahan]] sebagai berikut:<ref>functions.wolfram.com, [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/FresnelS/27/01/ Fresnel integral S: Representations through equivalent functions] and [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/FresnelC/27/01/ Fresnel integral C: Representations through equivalent functions]. Note: Wolfram uses the Abramowitz & Stegun convention, which differs from the one in this article by factors of \sqrt{\pi/2} .</ref>

:: <math>
\begin{align}
S(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1+i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) -i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right], \\
C(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1-i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) + i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right].
\end{align}
</math>

:atau

:: <math>
\begin{align}
C(z) + i S(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right), \\
S(z) + i C(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right).
\end{align}
</math>

== Generalisasi ==
Integral
: <math>\int x^m \exp(ix^n)\,dx = \int\sum_{l=0}^\infty\frac{i^lx^{m+nl}}{l!}\,dx
 = \sum_{l=0}^\infty \frac{i^l}{(m+nl+1)}\frac{x^{m+nl+1}}{l!}</math>

Integral adalah [[fungsi hipergeometrik konfluen]] dan juga [[fungsi gamma tidak lengkap]].<ref>.</ref>

: <math>
\begin{align}
\int x^m \exp(ix^n)\,dx & =\frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c} \frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid ix^n\right) \\
& =\frac{1}{n} i^{(m+1)/n}\gamma\left(\frac{m+1}{n},-ix^n\right),
\end{align}
</math>

Integral direduksi menjadi integral Fresnel jika bagian nyata atau imajiner diambil:

: <math>\int x^m\sin(x^n)\,dx = \frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}
\,_1F_2\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{m+1}{2n}\\
\frac{3}{2}+\frac{m+1}{2n},\frac{3}{2}\end{array}\mid -\frac{x^{2n}}{4}\right)</math>.

Istilah utama dalam ekspansi asimtotik adalah:

: <math> _1F_1 \left(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n} \end{array}\mid ix^n\right)\sim \frac{m+1}{n}\,\Gamma\left(\frac{m+1}{n}\right) e^{i\pi(m+1)/(2n)} x^{-m-1},</math>

Oleh karena itu, dapat diberikan kesimpulan bahwa:
: <math>\int_0^\infty x^m \exp(ix^n)\,dx = \frac{1}{n} \,\Gamma\left(\frac{m+1}{n}\right)e^{i\pi(m+1)/(2n)}.</math>

Untuk ''m''&nbsp;=&nbsp;0, bagian imajiner dari persamaan ini secara khusus adalah:

: <math>\int_0^\infty\sin(x^a)\,dx = \Gamma\left(1+\frac{1}{a} \right) \sin\left(\frac{\pi}{2a}\right),</math>

Dengan sisi kiri menyatu untuk ''a''> 1 dan sisi kanan menjadi ekstensi analitiknya ke seluruh bidang kurang di mana letak kutub <math>\Gamma(a^{-1})</math>.

Transformasi Kummer dari fungsi hipergeometrik konfluen adalah

: <math> \int x^m \exp(ix^n)\,dx = V_{n,m}(x)e^{ix^n},</math>

Dengan
: <math>V_{n,m} := \frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 + \frac{m+1}{n} \end{array}\mid -ix^n\right).</math>

== Penggunaan Integral Fresnel ==
Penggunaan Integral Fresnel pada awalnya digunakan dalam perhitungan intensitas medan elektromagnetik di lingkungan di mana cahaya membelok di sekitar objek buram.<ref>.</ref><ref>.</ref>

Baru-baru ini, mereka telah menggunakan perhitungan ini sebagai desain jalan raya dan rel kereta api, khususnya zona transisi kelengkungannya, lihat kurva transisi lintasan.<ref>.</ref> developed a set of efficient approximations based on rational functions that give relative errors down to . atau menghitung transisi pada trek velodrome untuk memungkinkan masuknya cepat ke tikungan dan keluar secara bertahap.<ref>.</ref> .<ref>.</ref>

== Lihat pula ==
* [[Integral Böhmer]]
* [[Zona Fresnel]]
* [[Lacak kurva transisi]]
* [[Spiral euler]]
* [[Pelat zona]]
* [[Integral Dirichlet]]
* [[Fungsi Kerucut dan Parabola]]
* [[Fungsi Bessel]]
* [[Rumus Vieta]]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Fresnel&oldid=28020067 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28020067 (2025-10-16T13:32:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->