Lihat sumber Kekisi dikomplemenkan

[[File:Fano_plane_Hasse_diagram.svg|thumb|right|280px|Fano plane Hasse diagram]]

Dalam [[matematika]] disiplin [[teori tatanan]], sebuah '''kisi dikomplemenkan''' adalah [[kisi (tatanan)|kisi]] dengan [[elemen terkecil]] 0 dan [[elemen terbesar]] 1, di mana setiap elemen ''a'' memiliki '''dikomplemenkan''', yaitu elemen ''b'' memuaskan ''a'' ∨ ''b'' = 1 dan ''a'' ∧ ''b'' = 0.
Dikomplemen tidak menggunakan sifat unik.

Sebuah '''kisi dikomplemenkan relatif''' adalah kisi sedemikian rupa untuk setiap [[Interval (tatanan parsial)|interval]] ['' c '', '' d ''], dipandang sebagai kisi hingga sendiri, adalah kisi dikomplemenkan.

Sebuah '''ortokomplementasi''' pada kisi dikomplemenkan adalah [[involusi (matematika)|involusi]] yang merupakan [[tatanan invers]] dan memetakan setiap elemen menjadi pelengkap. Kisi ortokomplementasi yang memenuhi bentuk lemah [[kisi modular|hukum modular]] disebut '''kisi ortomodular'''.

Dalam [[kisi distributif]], komplemen bersifat unik. Setiap kisi distributif komplementer memiliki ortokomplementasi unik dan sebenarnya adalah [[Aljabar Boolean (struktur)|aljabar Boolean]].

== Definisi dan sifat dasar ==
Sebuah '''kisi dikomplemenkan''' adalah kisi terbatas dengan [[elemen terkecil]] 0 dan [[elemen terbesar]] 1, di mana setiap elemen ''a'' memiliki '''dikomplemen''', yaitu elemen ''b'' sedemikian rupa maka
::''a'' ∨ ''b'' = 1 dan ''a'' ∧ ''b'' = 0.

Secara umum suatu elemen mungkin memiliki lebih dari satu komplemen. Namun, dalam sebuah [[kisi distributif]] (terbatas) setiap elemen akan memiliki paling banyak satu dikomplemen.<ref>Grätzer (1971), Lemma I.6.1, p. 47. Rutherford (1965), Teorema 9.3 hal. 25.</ref> Kisi di mana setiap elemen memiliki tepat satu pelengkap disebut '''kisi dikomplemenkan unik'''<ref>Manfred Stern. [https://books.google.com/books?id=VVYd2sC19ogC&pg=PA29 Semimodular Lattices: Theory and Applications]. Cambridge University Press. 1999. hlm. 29. ISBN 9780521461054..</ref>

Kisi dengan sifat yang dilengkapi setiap interval (dipandang sebagai sub kisi) disebut '''kisi dikomplemen relatif'''. Dengan kata lain, kisi dikomplemen relatif dicirikan dengan sifat bahwa untuk setiap elemen ''a'' dalam interval [''c'', ''d''] elemen ''b'' sedemikian rupa maka
::''a'' ∨ ''b'' = ''d'' dan ''a'' ∧ ''b'' = ''c''.
Unsur ''b'' disebut pelengkap dari ''a'' relatif terhadap interval.

Kisi distributif dikomplemenkan jika dan hanya jika dibatasi dan relatif komplekmen.<ref>Grätzer (1971), Lemma I.6.2, hal. 48. Hasil ini berlaku lebih umum untuk kisi modular, lihat Latihan 4, hal. 50.</ref><ref>Birkhoff (1961), Corollary IX.1, hal. 134</ref> Kisi subruang dari ruang vektor memberikan contoh kisi komplementer yang secara umum tidak distributif.

== Ortokomplementasi ==
Sebuah '''ortokomplementasi''' kisi terbatas adalah fungsi yang memetakan setiap elemen ''a'' sebagai "ortokomplemen" ''a''<sup>⊥</sup> sedemikian rupa maka aksioma berikut dipenuhi:<ref>, p. 11.</ref>
;Hukum komplekmen: ''a''<sup>⊥</sup> ∨ ''a'' = 1 dan ''a''<sup>⊥</sup> ∧ ''a'' = 0.
;Hukum involusi: ''a''<sup>⊥⊥</sup> = ''a''.
; Tatanan pembalik: jika ''a'' ≤ ''b'' maka ''b''<sup>⊥</sup> ≤ ''a''<sup>⊥</sup>.
Sebuah '''kisi ortokomplemenkan''' atau '''ortokisi''' adalah kisi terbatas yang dilengkapi dengan ortokomplementasi. Kisi subruang dari [[ruang hasilkali dalam]], dan operasi [[komplemen ortogonal]], memberikan contoh kisi ortokomplemenkan yang secara umum tidak distributif.<ref>[http://unapologetic.wordpress.com/2009/05/07/orthogonal-complements-and-the-lattice-of-subspaces/ Matentikawan Unapologetik: Pelengkap Ortogonal dan Kisi Subruang].</ref>

[[Aljabar Boolean (struktur)|Aljabar Boolean]] adalah kasus khusus kisi ortokomplemenkan, yang gilirannya merupakan kasus khusus kisi dikomplemenkan dengan struktur ekstra. Ortokisi paling sering digunakan di [[logika kuantum]], di mana [[Himpunan tertutup|tertutup]] [[Subruang linear|subruang]] dari [[Ruang terpisahkan|pisahan]] [[Ruang Hilbert]] mewakili proposisi kuantum dan sebagai kisi ortokomplementasi.

Kisi ortokomplementer, seperti aljabar Boolean yang memenuhi [[hukum de Morgan]]:

* (''a'' ∨ ''b'')<sup>⊥</sup> = ''a''<sup>⊥</sup> ∧ ''b''<sup>⊥</sup>
* (''a'' ∧ ''b'')<sup>⊥</sup> = ''a''<sup>⊥</sup> ∨ ''b''<sup>⊥</sup>.

== Kisi ortomodular ==
Sebuah kisi disebut [[kisi modular|modular]] jika untuk semua elemen ''a'', ''b'' dan ''c'' duimplikasikan sebagai
::jika ''a'' ≤ ''c'', maka ''a'' ∨ (''b'' ∧ ''c'') = (''a'' ∨ ''b'') ∧ ''c''
Ini lebih dari sifat [[kisi Distributif|distributivitas]], misalnya kisi yang ditunjukkan di atas ''M''<sub>3</sub> bersifat modular, tetapi tidak distributif. Pelemahan alami lebih lanjut dari kondisi ini untuk kisi ortokomplementer yang diperlukan untuk aplikasi dalam logika kuantum, hanya memerlukannya dalam kasus khusus ''b'' = ''a''<sup>⊥</sup>. Oleh karena itu, kisi ortomodular didefinisikan sebagai kisi ortokomemen sehingga untuk dua elemen apa pun implikasinya.
::jika ''a'' ≤ ''c'', maka ''a'' ∨ (''a''<sup>⊥</sup> ∧ ''c'') = ''c''.

Bentuk kisi sangat penting untuk mempelajari [[logika kuantum]], karena ini bagian dari aksiomisasi [[ruang Hilbert]] [[rumus matematika mekanika kuantum|rumus]] [[mekanika kuantum]]. [[Garrett Birkhoff]] dan [[John von Neumann]] mengamati bahwa kalkulus proposisional dalam logika kuantum "secara formal tidak dapat dibedakan dari kalkulus subruang linear [dari ruang Hilbert] sehubungan dengan hasil himpunan, jumlah linear, dan ortogonal dikomplemenkan" sesuai dengan peran ''dan'', ''atau'' dan ''tidak'' dalam kisi Boolean. Pernyataan ini telah memicu minat pada subruang tertutup dari ruang Hilbert yang membentuk kisi ortomodular.<ref>Ranganathan Padmanabhan. [https://books.google.com/books?id=JlXSlpmlSv4C&pg=PA128 Axioms for lattices and boolean algebras]. World Scientific. 2008. hlm. 128. ISBN 978-981-283-454-6.</ref>

== Lihat pula ==
* [[Kekisi pseudokomplemenkan]]

== Catatan ==
== Pranala luar ==
{| style="float:right"
| 
|}
* 
* 
* 
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kekisi+dikomplemenkan&oldid=28427255 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28427255 (2025-11-12T10:26:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->