Lihat sumber Konstanta Gelfond–Schneider

'''Konstanta Gelfond–Schneider''' atau '''bilangan Hilbert'''<ref>R. Courant. ''What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods''. Oxford University Press. 1996. hlm. 107.</ref> adalah [[2 (angka)|dua]] yang [[Eksponensiasi|dipangkatkan]] dengan [[Akar kuadrat dari 2|akar 2]]
<math display="block">2^{\sqrt{2}} = 2.665 \, 144 \, 142 \, 690 \, 225 \, 188 \, 650 \, 297 \, 249 \, 8731 \dots</math>
yang terbukti sebagai [[Bilangan transendental]] oleh [[Rodion Kuzmin]] pada tahun 1930.<ref>R. O. Kuzmin. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 On a new class of transcendental numbers]. ''Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem''. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.</ref> Pada tahun 1934, [[Aleksandr Gelfond]] dan [[Theodor Schneider]] secara terpisah berhasil membuktikan ''[[teorema Gelfond–Schneider]]'' yang lebih umum,<ref>Aleksandr Gelfond. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924 Sur le septième Problème de Hilbert]. ''Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na''. 1934. Vol. VII (4). hlm. 623–634.</ref> yang sekaligus memecahkan bagian dari [[masalah ketujuh Hilbert]].

== Sifat-sifat ==
Hasil [[akar kuadrat]] dari Konstanta Gelfond–Schneider adalah bilangan transendental<math display="block">\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = 1.632 \, 526 \, 919 \, 438 \, 152 \, 844 \, 77 \dots</math>

Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka<math display="block">\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math>

adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti.<ref>D. Jarden. ''Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational''. ''Scripta Mathematica''. 1953. Vol. 19. hlm. 229..</ref><ref>J. P. Jones. ''Irrational numbers''. ''American Mathematical Monthly''. 1973. Vol. 80 (4). hlm. 423–424. doi:10.2307/2319091.</ref> Metode pembuktiannya termasuk [[Bukti konstruktif|tak konstruktif]], karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari [[Rodion Kuzmin]].

== Masalah ketujuh Hilbert ==
Bagian ketujuh dari [[Masalah Hilbert|23 masalah Hilbert]] yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari [[contoh tandingan]] dari, klaim kalau <math>a^b</math> selalu transendental, untuk [[bilangan aljabar]] <math>a \neq \left\{ 0, 1 \right\}</math> dan bilangan irasional aljabar <math>b</math>. Dalam pidatonya, [[David Hilbert|Hilbert]] memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider <math>2^{\sqrt{2}}</math>.

Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai [[teori bilangan]] dan membicarakan tiga [[konjektur]], yaitu [[hipotesis Riemann]], [[Teorema Terakhir Fermat]], dan transendentalnya bilangan <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.<ref>David Hilbert, ''Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920''.</ref> Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930,<ref>R. O. Kuzmin. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 On a new class of transcendental numbers]. ''Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem''. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.</ref> tahun di mana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen <math>b</math> merupakan [[Bilangan kuadratik irasional|Bilangan riil kuadratik irasional]], yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar <math>b</math> oleh Gelfond dan oleh Schneider.

== Lihat juga ==
* [[Konstanta Gelfond]]

== Bacaan lanjutan ==
* 
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta+Gelfond%E2%80%93Schneider&oldid=28428308 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428308 (2025-11-12T11:09:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->