Lihat sumber Konstruksi bilangan riil

Dalam [[matematika]], ada beberapa cara mendefinisikan [[bilangan riil]], salah satunya adalah membentuknya menjadi suatu [[medan terurut lengkap]] yang tidak mengandung setiap medan terurut lengkap yang lebih kecil. Terdapat suatu definisi yang tidak membuktikan bahwa suatu medan terurut lengkap itu ada, dan keberadaan akan bukti tersebut melibatkan konstruksi struktur matematika yang memenuhi definisi.

== Definisi aksiomatik ==
Bilangan riil didefinisikan [[Aksioma|secara aksiomatik]] sebagai unsur-unsur medan terurut lengkap. Definisi yang lebih presisinya adalah sebagai berikut: ''Model bilangan riil'' terdiri dari himpunan <math>\R</math>, dua unsur 0 dan 1 dari <math>\R</math>, dua [[operasi biner]] <math>+</math> (penambahan) dan <math>\cdot</math> (perkalian) di <math>\R</math>, dan [[relasi biner]] <math>\leq</math> di <math>\R</math>. Model tersebut memenuhi sifat-sifat berikut.

# <math>(\R, +, \cdot)</math> membentuk suatu [[Medan (matematika)|medan]]. Dengan kata lain, 
#* Untuk semua <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> di <math>\R</math>, berlaku [[Sifat asosiatif|asosiatif]] penambahan dan perkalian <math>(x+y)+z = x+(y+z)</math> dan <math>(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)</math>.
#* Untuk semua <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>\R</math>, berlaku [[Sifat komutatif|komutatif]] penambahan dan perkalian <math>x + y = y + x</math> dan <math>x \cdot y = y \cdot x</math>.
#* Untuk semua <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> di <math>\R</math>, berlaku [[Sifat distributif|distributif]] penambahan dan perkalian <math>x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)</math>.
#* Untuk semua <math>x</math> di <math>\R</math>, berlaku identitas penambahan <math>x+0=x</math> dan identitas perkalian <math>x \cdot 1 = x</math>.
#* Untuk setiap <math>x</math> di <math>\R</math>, terdapat unsur <math>-x</math> di <math>\R</math>, sehingga <math>x + (-x) = 0</math>.
#* Untuk setiap <math>x \ne 0</math> di <math>\R</math>, terdapat unsur <math>x^{-1} = \tfrac{1}{x}</math> di <math>\R</math>, sehingga <math>x \cdot \tfrac{1}{x} = 1</math>.
# <math>(\R, \le)</math> membentuk suatu [[himpunan terurut total]]. Dengan kata lain,
#* Untuk semua <math>x</math> di <math>\R</math>, <math>x \le x</math>. ([[Relasi refleksif|refleksivitas]])
#* Untuk semua <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>\R</math>, jika <math>x \le y</math> dan <math>y \le x</math>, maka <math>x = y</math>. ([[Relasi antisimetri|antisimetri]])
#* Untuk semua <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> di <math>\R</math>, jika <math>x \le y</math> dan <math>y \le z</math>, maka <math>x \le z</math>. ([[Relasi transitif|transitif]])
#* Untuk semua <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>\R</math>, <math>x \le y</math> atau <math>y \le x</math>. ([[Urutan total|totalitas]])
# Operasi <math>+</math> dan <math>\cdot</math> di medan <math>\R</math> dikatakan kompatible (''compatible'') dengan urutan <math>\le</math>. Dengan kata lain, 
#* Untuk semua <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> di <math>\R</math>, jika <math>x \le y</math>, maka <math>x+z\le y+z</math>.
#* Untuk semua <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> di <math>\R</math>, jika <math>0\le x</math> dan <math>0\le y</math>, maka <math>0 \le x\cdot y</math>.
# Urutan <math>\le</math> dikatakan ''lengkap'' dalam artian berikut: setiap subhimpunan tak kosong dari [[batas atas]] <math>\R</math> mempunyai [[batas atas terkecil]]. Dengan kata lain, jika <math>A</math> mempunyai batas atas, maka <math>A</math> setidaknya mempunyai batas atas <math>u</math>, sehingga untuk setiap batas atas <math>v</math> dari <math>A</math>, <math>u \le v</math>.

=== Aksiomatisasi bilangan riil Tarski ===
Terdapat aksiomatisasi bilangan riil dan aritmetikanya lain yang dibuat dan dihimpun oleh [[Alfred Tarski]]. Aksiomatisasi ini terdiri dari delapan aksioma terdiri dari empat [[gagasan primitif]].

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstruksi+bilangan+riil&oldid=26454627 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26454627 (2024-10-24T23:20:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->