Lihat sumber Lapangan terurut

Dalam [[matematika]], '''lapangan terurut''' atau '''medan terurut''', adalah [[Lapangan (matematika)|lapangan]] dengan [[urutan total]] pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan [[bilangan rasional]] dan [[Bilangan riil|bilangan real]], masin-masing dengan pengurutan standar mereka.

Setiap [[Perluasan lapangan|sublapangan]] dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang [[Isomorfisme|isomorfik]] ke (sistem) bilangan rasional. Setiap lapangan terurut [[lengkap-Dedekind]] isomorfik ke bilangan real. [[Kuadrat (aljabar)|Kuadrat]] harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan [[bilangan kompleks]] tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari [[unit imajiner]] <math>i</math> adalah <math display="inline">-1</math> (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). [[Lapangan hingga]] tidak dapat diurutkan.

Dari aspek sejarah, [[Sistem aksioma|aksiomatisasi]] lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari [[sistem bilangan]] real, oleh para matematikawan yang meliputi [[David Hilbert]], [[Otto Hölder]], dan [[Hans Hahn (matematikawan)|Hans Hahn]]. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi [[teorema Artin–Schreier]] untuk lapangan terurut dan lapangan real yang formal (''formally real field)''.

== Definisi ==
Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan ''urutan total'' muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi [[Logika predikat tingkat pertama|tingkat-pertama]] dari urutan <math display="inline">\leq</math> sebagai [[Relasi biner|predikat biner]]. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan ''kerucut positif'' di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.

=== Urutan total ===
Sebarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math display="inline">(F, +, \cdot\,)</math> dengan suatu urutan total <math display="inline"> \leq  </math> pada <math display="inline">F</math> disebut sebagai ''lapangan terurut'' jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang <math display="inline">a, b, c \in F:</math>

* Jika <math display="inline">a \leq b</math> maka <math display="inline">a + c \leq b + c,</math> dan
* Jika <math display="inline">0 \leq a </math> dan <math display="inline">0  \leq b</math> maka <math display="inline">0 \leq a \cdot b. </math>

Seperti biasa, notasi <math display="inline">a < b</math> digunakan untuk merujuk <math display="inline">a\le b </math> dan <math display="inline">a\ne b</math>. Notasi <math>b\ge a</math> dan <math>b> a</math> masing-masing mengartikan <math>a\le b</math> dan <math>a<b</math>. Elemen-elemen <math>a\in F</math> dengan <math>a>0</math> disebut positif.

=== Kerucut positif ===
''Kerucut prepositif'' atau ''pra-pengurutan'' dari sebarang lapangan <math display="inline">F</math> adalah suatu [[subset]] <math display="inline">P \subseteq F</math> yang memenuhi sifat-sifat berikut:<ref>Lam (2005) p. 289</ref>

* Untuk <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>P,</math> elemen <math>x + y</math> dan <math>x \cdot y</math> berada di <math>P.</math>
* Jika <math>x \in F,</math> maka <math>x^2 \in P.</math>  Secara khusus, <math>0 = 0^2 \in P</math>  dan  <math>1 = 1^2 \in P.</math>
* Elemen <math>- 1</math> tidak ada di <math>P.</math>

Suatu ''lapangan pra-terurut'' adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan <math>P.</math> Elemen-elemen tak-nol <math>P^*</math> membentuk suatu [[subgrup]] dari grup multiplikatif dari <math>F.</math> Jika, sebagai tambahan, himpunan <math display="inline">F</math> adalah gabungan dari <math>P</math> dan <math>- P,</math> subset <math>P</math> disebut sebagai suatu ''kerucut positif'' dari <math>F.</math>  Elemen-elemen tak-nol di <math>P</math> disebut elemen ''positif'' dari <math>F.</math> Lapangan terurut adalah lapangan <math display="inline">F</math> yang dilengkapi kerucut positif <math>P.</math>

Pra-pengurutan pada <math>F</math> adalah irisan dari kerucut-kerucut positif pada <math>F.</math> Kerucut positif adalah maksimal dari pra-pengurutan.<ref>Lam (2005) p. 289</ref>

=== Kesetaraan kedua definisi ===
Misalkan <math>F</math> merupakan lapangan. Terdapat suatu [[bijeksi]] antara pengurutan lapangan dari <math>F</math> dengan kerucut-kerucut positif dari <math>F.</math>

Dari definisi pertama, <math>F</math> memiliki pengurutan <math display="inline"> \leq  </math>, dan himpunan semua elemen <math>x \geq 0</math> membentuk suatu kerucut positif dari <math>F.</math> Kebalikannya, dari definisi kedua, <math>F</math> memiliki kerucut positif <math>P</math>, dan suatu pengurutan total <math>\leq_P</math> pada <math>F</math> dapat disusun dengan menetapkan <math>x \leq_P y</math> untuk mengartikan <math>y - x \in P.</math> Hal ini mengartikan <math>\leq_P</math> memenuhi sifat-sifat dari definisi pertama. <math>\square</math>

== Contoh ==
Beberapa contoh lapangan terurut antara lain:

* Lapangan [[bilangan rasional]] <math>\Q</math> dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
* Lapangan [[bilangan real]] <math>\R</math> dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
* Sebarang sublapangan dari lapangan terurut; seperti [[bilangan aljabar]] dan [[bilangan terhitung]] real, merupakan lapangan terurut dengan membatasi pengurutan ke sublapangan tersebut.
* Lapangan [[fungsi rasional]] real <math display="inline">p(x)/q(x),</math> dengan <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> berupa [[polinomial]] dengan koefisien rasional dan <math>q(x) \ne 0\,</math>, dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan menetapkan suatu [[bilangan transenden]] <math>\alpha</math> dan mendefinisikan  <math>p(x)/q(x) > 0</math> jika dan hanya jika <math>p(\alpha)/q(\alpha) > 0.</math> Cara tersebut setara dengan menyisipkan <math>\mathbb{Q}(x)</math> ke <math>\mathbb{R}</math> lewat <math>x\mapsto \alpha</math> dan membatasi pengurutan dari <math>\mathbb{R}</math> ke suatu pengurutan dari bayangan dari <math>\mathbb{Q}(x)</math>. Dalam gaya ini, kita dapat mendapatkan banyak pengurutan dari <math>\mathbb{Q}(x)</math>.
* Lapangan <math>\mathbb{R}(x)</math> dari [[fungsi rasional]] <math>p(x)/q(x)</math>, dengan <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> berupa polinomal dengan koefisien real dan <math>q(x) \ne 0</math>, dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan mendefinisikan <math>p(x)/q(x) > 0</math> untuk mengartikan <math>p_n/q_m > 0</math>, dengan <math>p_n \neq 0</math> dan <math>q_m \neq 0</math> masing-masing adalah koefisien terdepan dari polinomial <math>p(x) = p_n x^n + \dots + p_0</math> dan <math>q(x) = q_m x^m + \dots + q_0</math>. Cara lain yang setara: untuk setiap fungsi rasional <math>f(x), g(x)\in \mathbb{R}(x)</math> kita memiliki <math>f(x) < g(x)</math> jika dan hanya jika <math>f(t) < g(t)</math> untuk semua <math>t\in\mathbb{R}</math> yang cukup besar. Dalam lapangan terurut ini, polinomial <math>p(x)=x</math> lebih besar dari sebarang polinomial konstan, mengakibatkan lapangan terurut tidak [[Sifat Archimedes|bersifat Archimedes]].
* Lapangan <math>\mathbb{R}((x))</math> dari [[Deret pangkat formal|deret Laurent formal]] dengan koefisien real dan <math>x</math> dianggap ''infitesimal'' dan positif.

== Sifat ==
Untuk sebarang lapangan terurut <math display="inline">F</math> dan sebarang <math>a,b,c,d</math> di <math>F</math>, sifat-sifat ini berlaku untuk <math display="inline">F</math>:

* Antara <math>-a \leq 0 \leq a</math> atau <math>a \leq 0 \leq -a.</math>
* [[Pertidaksamaan]] dapat "dijumlahkan": jika <math>a \le b</math> dan <math>c \le d</math>, maka <math>a + c \le b + d</math>.
* Pertidaksamaan dapat "dikalikan dengan elemen positif": jika <math>a \le b</math> dan <math>0 \le c</math>, maka <math>ac \le bc</math>.
* "Mengalikan dengan elemen negatif akan membalik pertidaksamaan": jika <math>a \le b</math> dan <math>c \le 0</math>, maka <math>ac \ge bc</math>.
* [[Sifat transitif|Transitivitas]] dari pertidaksamaan: jika <math>a < b</math> dan <math>b < c</math>, maka <math>a < c</math>.
* Jika <math>a < b</math> dan <math>a, b > 0</math>, maka <math display="inline">1/b < 1/a </math>.
* Penguadratan selalu non-negatif: <math>0\le a^2 </math>. Secara khusus, karena <math>1=1^2,</math> kita dapatkan <math>0\le 1.</math> Tapi <math>0\ne1,</math> sehingga kita simpulkan <math>0\le1.</math>
* Medan terurut memiliki [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] 0. (Karena <math>1>0,</math>, maka <math>1 + 1 > 0,</math> dan <math>1 + 1 + 1 > 0,</math> dst., sehingga tidak ada jumlah terhingga dari <math>1</math> yang dapat bernilai <math>0</math>). Secara khusus, ini mengartikan [[lapangan hingga]] tidak dapat diurutkan.
* Setiap jumlah tak-trivial dari penguadratan bernilai tak-nol. Secara matematis, <math display="inline">\sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math><ref>Lam (2005) hlm. 41</ref><ref>Lam (2005) hlm. 232</ref>

Semua sublapangan dari sebarang lapangan terurut <math>F</math> juga merupakan lapangan terurut (mewarisi pengurutan yang digunakan <math>F</math>). Sublapangan terkecil dari <math>F</math> [[Isomorfisme|isomorfik]] ke [[Bilangan rasional|rasional]] (sama seperti semua lapangan dengan karakteristik 0 lainnya), dan urutan pada sublapangan rasional ini akan sama dengan urutan pada bilangan rasional. Lapangan terurut <math>F</math> isomorfik ke lapangan bilangan real <math display="inline">\R</math> [[jika dan hanya jika]], setiap subset tak-kosong dari <math>F</math> dengan batas atas di <math>F</math> memiliki [[Infimum dan supremum|batas atas terkecil]] di <math>F</math>.

Jika setiap elemen dari suatu lapangan terurut selalu terletak di antara dua elemen dari sublapangan rasionalnya, maka lapangan tersebut dikatakan bersifat [[Sifat Archimedes|Archimedes]]. Tapi jika tidak, lapangan bersifat non-Archimedes dan mengandung [[infinitesimal]]. Sebagai contoh, [[Bilangan riil|bilangan real]] membentuk suatu lapangan Archimedes, tetapi bilangan hiperreal tidak, karena sistem bilangan ini [[Perluasan lapangan|memperluas]] bilangan real dengan elemen-elemen yang lebih besar daripada semua [[bilangan asli]] standar.<ref>Bair, Jaques. [http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf Implicit differentiation with microscopes]. University of Liège.</ref>

=== Ruang vektor atas lapangan terurut ===
[[Ruang vektor]] (khususnya ruang koordinat) atas suatu lapangan terurut memiliki beberapa sifat penting dan memiliki struktur yang khusus, yakni: [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]], [[Analisis konveks|kecembungan]], dan [[Ruang hasil-kali dalam|hasil-kali dalam]] yang definit-positif.

== Keterurutan lapangan ==
Semua lapangan terurut merupakan lapangan real yang formal (''formally real field''), artinya, elemen 0 tidak dapat dituliskan sebagai jumlah dari kuadrat-kuadrat elemen tak-nol.<ref>Lam (2005) hlm. 41</ref><ref>Lam (2005) hlm. 232</ref> Kebalikannya, semua lapangan real yang formal dapat dilengkapi dengan suatu urutan total (yang sesuai), yang mengubahnya menjadi lapangan terurut. Bukti hubungan ini memerlukan [[Lemma Zorn|lema Zorn]].<ref>Lam (2005) p. 236</ref>

[[Lapangan terhingga|Lapangan hingga]] dan secara umum lapangan dengan karakteristik positif, tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut, karena <math display="inline">-1</math> adalah kuadrat dari unit imajiner <math>i</math>. Selain itu, [[bilangan p-adik]] tidak dapat diurutkan karena berdasarkan [[Lemma Hensel|lema Hensel]], <math>\Q_2</math> mengandung [[akar kuadrat]] dari <math display="inline">-7</math> sehingga <math display="inline">1^2+1^2+1^2+2^2+(\sqrt{-7})^2=0, </math> dan <math>\Q_p</math> dengan <math>p>2</math> mengandung akar kuadrat dari <math display="inline">1-p</math> sehingga <math display="inline">(p-1)\cdot1^2 + (\sqrt{1-p})^2 = 0.</math>

== Lihat pula ==
* [[Gelanggang terurut]]
* [[Ruang vektor terurut]]

== Pustaka ==
* 
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lapangan+terurut&oldid=29425849 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29425849 (2026-07-06T13:59:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->