Lihat sumber Matriks idempoten

Dalam [[aljabar linear]], '''matriks idempoten''' adalah sebuah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang tidak berubah nilainya ketika dikalikan dengan dirinya sendiri.<ref>Alpha C. Chiang. [https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/80 Fundamental Methods of Mathematical Economics]. McGraw–Hill. 1984. hlm. [https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/80 80]. ISBN 0070108137.</ref><ref>William H. Greene. [https://archive.org/details/econometricanaly0000gree_b5n1 Econometric Analysis]. Prentice–Hall. 2003. hlm. [https://archive.org/details/econometricanaly0000gree_b5n1/page/808 808]–809. ISBN 0130661899.</ref> Dengan kata lain, matriks <math>A</math> dikatakan idempoten jika dan hanya jika <math>A^2 = A</math>. Agar hasil perkalian <math>A^2</math> [[Perkalian matriks|terdefinisi]], <math>A</math> harus berupa [[matriks persegi]]. Matriks idempoten dapat dipandang sebagai [[unsur idempoten]] pada sebuah [[gelanggang matriks]].

== Contoh ==
Contoh dari matriks idempoten ukuran <math>2 \times 2</math> adalah:
<math display="block">
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
3 & -6 \\
1 &  -2
\end{bmatrix}
</math>

Contoh dari matriks idempoten ukuran <math>3 \times 3</math> adalah:
<math display="block">
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
 2 & -2 & -4 \\
-1 &  3 &  4 \\
 1 & -2 & -3
\end{bmatrix}
</math>

== Matriks riil ukuran 2 × 2 ==
Jika sebuah matriks riil idempoten <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>, maka entri-entrinya memiliki hubungan berikut:

* <math>a = a^2 + bc,</math>
* <math>b = ab + bd,</math> mensyaratkan <math>b(1 - a - d) = 0</math> sehingga <math>b = 0</math> atau <math>d = 1 - a,</math>
* <math>c = ca + cd,</math> mensyaratkan <math>c(1 - a - d) = 0</math> sehingga <math>c = 0</math> atau <math>d = 1 - a,</math>
* <math>d = bc + d^2.</math>

Dengan demikian, syarat perlu bagi matriks 2 × 2 dikatakan idempoten adalah berupa [[matriks diagonal]] atau [[Teras (aljabar linear)|terasnya]] bernilai 1. Untuk matriks diagonal idempoten, nilai <math>a</math> dan <math>d</math> harus bernilai 1 atau bernilai 0.

Jika <math>b=c</math>, matriks <math>\begin{pmatrix}a & b \\ b & 1 - a \end{pmatrix}</math> akan idempoten ketika  <math>a^2 + b^2 = a</math>. [[Persamaan kuadrat]] tersebut dapat diubah bentuknya menjadi

<math>a^2 - a + b^2 = 0 ,</math> atau <math>\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{1}{4}</math>,

yakni persamaan [[lingkaran]] dengan titik pusat (1/2, 0) dan radius 1/2. Menuliskan solusi dalam bentuk derajat &#x3B8;, matriks

<math>A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 - \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & 1 + \cos\theta \end{pmatrix}</math>

bersifat idempoten. Namun, <math>b=c</math> pada matriks di atas bukanlah syarat perlu: setiap matriks

<math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & 1 - a\end{pmatrix}</math> dengan <math>a^2 + bc = a</math> adalah matriks idempoten.

== Sifat ==
=== Singularitas dan regularitas ===
Satu-satunya matriks idempoten yang tidak [[Matriks singular|singular]] adalah [[matriks identitas]]. Hal ini dapat terlihat dari menuliskan persamaan <math>A^2 = A</math>; dengan mengasumsikan <math>A</math> memiliki peringkat penuh (tidak singular), dan mengalikan kedua ruas dengan <math>A^{-1}</math>, akan didapatkan bentuk  <math>A = IA = A^{-1}A^2 = A^{-1}A = I</math>. Hal ini juga mengartikan bahwa matriks idempoten yang bukan matriks identitas, memiliki jumlah baris (dan jumlah kolom) yang saling [[bebas linear]] lebih sedikit daripada total jumlah baris (dan kolom) pada matriks.

Ketika matriks identitas dikurangi dengan matriks idempoten, hasilnya juga berupa matriks idempoten, karena

<math>(I-A)(I-A) = I-A-A+A^2 = I-A-A+A = I-A.</math>

Jika sebuah matriks <math>A</math> idempoten, maka untuk setiap bilangan bulat positif <math>n</math> akan berlaku <math>A^n = A</math>. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan [[induksi matematika]]: Jelas hal ini berlaku untuk <math>n = 1</math>, karena <math>A^1 = A</math>. Anggap bahwa <math>A^{k-1} = A</math>. Selanjutnya <math>A^k</math> dapat dituliskan sebagai <math>A^k = A^{k-1}A = AA = A</math>, karena <math>A</math> idempoten. Berdasarkan prinsip induksi, pernyataan terbukti.

=== Nilai eigen ===
Matriks idempoten selalu [[Matriks yang dapat didiagonalkan|dapat didiagonalkan]] dan [[Nilai dan vektor eigen|nilai eigennya]] selalu bernilai 0 atau 1.<ref>Roger A. Horn. ''Matrix analysis''. Cambridge University Press. 1990. hlm. 148. ISBN 0521386322.</ref>

=== Teras ===
Nilai [[Teras (aljabar linear)|teras]] dari sebuah matriks idempoten — yakni jumlah semua elemen pada diagonal utamanya — sama dengan nilai [[Peringkat (aljabar linear)|peringkat]] dari matriks dan selalu berupa bilangan bulat. Hal ini memberikan cara mudah untuk menghitung nilai peringkat, atau sebagai cara alternatif menghitung teras dari matriks yang entri-entrinya tidak diketahui secara pasti. Dalam [[Statistika matematika|statistika]], sebagai contoh, hal tersebut dipakai dalam menentukan derajat [[Bias (statistika)|bias]] ketika menggunakan [[variansi sampel]] sebagai estimator [[variansi populasi]].

== Aplikasi ==
Matriks idempoten sering muncul dalam [[analisis regresi]] dan [[ekonometrika]]. Sebagai contoh, dalam ''ordinary least squares'', permasalahan regresi adalah mencari vektor koefisien <math>\beta</math> sehingga dapat meminimunkan kuadrat residu <math>e_i</math> (prediksi yang salah). Permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,

: Minimumkan <math>(y - X\beta)^\textsf{T}(y - X\beta) </math>

dengan <math>y</math> adalah vektor dari [[variabel terikat]] hasil observasi, dan <math>X</math> adalah sebuah matriks dengan setiap kolomnya adalah [[Variabel bebas|variabel-variabel bebas]] dalam observasi. Estimator untuk vektor <math>\beta</math> adalah

: <math>\hat\beta = \left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y </math>

dengan simbol <math>\textsf{T}</math> menunjukkan [[Transpos|operasi transpos]]; vektor residu dari observasi adalah<ref>William H. Greene. [https://archive.org/details/econometricanaly0000gree_b5n1 Econometric Analysis]. Prentice–Hall. 2003. hlm. [https://archive.org/details/econometricanaly0000gree_b5n1/page/808 808]–809. ISBN 0130661899.</ref>

: <math>
  \hat{e} = y - X \hat\beta
          = y - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y
          = \left[I - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}\right]y
          = My.
</math>

Dalam persamaan ini, baik matriks <math>M</math> dan <math>X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}</math> adalah matriks idempoten sekaligus matriks simetris, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan jumlah kuadrat residu:

: <math>\hat{e}^\textsf{T}\hat{e} = (My)^\textsf{T}(My) = y^\textsf{T}M^\textsf{T}My = y^\textsf{T}MMy = y^\textsf{T}My.</math>

Sifat idempoten dari <math>M</math> juga dipakai untuk menyederhanakan perhitungan lainnya, contohnya dalam menentukan variansi dari estimator <math>\hat{\beta}</math>.

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+idempoten&oldid=29525020 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525020 (2026-08-04T15:03:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->