Lihat sumber Pembagian dengan nol

[[File:Reciprocal_function.png|thumb|right|280px|Reciprocal function]]

Dalam [[matematika]], '''pembagian dengan nol''', [[pembagian]] di mana bilangan yang dibagi (penyebut atau denominator) adalah [[nol]], merupakan kasus spesial yang bermasalah. Dengan menggunakan notasi [[pecahan]], contoh umumnya dapat ditulis sebagai ⁠, di mana  adalah pembilang atau numerator.

Definisi umum dari [[hasil bagi]] dalam [[aritmetika dasar]] adalah bilangan yang menghasilkan pembilang ketika [[perkalian|dikali]] dengan penyebut. Artinya  sama dengan . Dengan definisi ini, hasil bagi  menjadi tidak masuk akal, karena hasil  selalu menjadi  dan bukannya bilangan lain seperti . Mengikuti aturan umum dari [[aljabar elementer|aljabar tingkat dasar]] dengan memperbolehkan pembagian dengan nol dapat menyebabkan [[kekeliruan dalam matematika]], kesalahan kecil yang dapat menyebabkan hasil yang absurd. Untuk mencegah hal ini, aritmatika dengan [[bilangan riil]] dan struktur bilangan yang lebih umum yang disebut [[lapangan (matematika)|lapangan]] membiarkan pembagian dengan nol [[tidak terdefinisi (matematika)|tidak terdefinisi]], dan situasi di mana pembagian dengan nol dapat terjadi harus ditangani dengan hati-hati. Karena bilangan apa saja yang dikali dengan 0 adalah 0, maka pernyataan [[0/0|0/0]] juga dianggap tidak terdefinisi.

[[Kalkulus]] mempelajari perilaku [[fungsi (matematika)|fungsi]] dalam [[limit (matematika)|limit]] ketika inputnya condong menghasilkan nilai tertentu. Ketika suatu fungsi riil dapat dinyatakan sebagai pecahan yang penyebutnya cenderung ke nol, hasil fungsi tersebut menjadi sangat besar, dan dikatakan "cenderung ke tak terhingga", salah satu bentuk [[singularitas matematika]]. Misalnya, [[invers perkalian|fungsi kebalikan]], ⁠ cenderung menuju tak terhingga seiring ⁠ condong menuju . Ketika  pembilang dan penyebut sama-sama mendekati nol pada input yang sama, pernyataan tersebut dikatakan memiliki [[bentuk tak tentu]], karena limit yang dihasilkan bergantung pada fungsi spesifik yang membentuk pecahan tersebut dan tidak dapat ditentukan dari limit masing-masing fungsi secara terpisah.

Sebagai alternatif dari konvensi umum dalam bekerja dengan lapangan seperti bilangan riil dan membiarkan pembagian dengan nol tidak terdefinisi, maka mendefinisikan hasil pembagian dengan nol dengan cara lain dapat dimungkinkan, menghasilkan sistem bilangan yang berbeda. Misalnya, hasil bagi ⁠ bisa⁠ didefinisikan sama dengan titik eksplisit baru di tak terhingga, terkadang dilambangkan dengan [[simbol takhingga]] ⁠, atau dapat didefinisikan menghasilkan tak terhingga bertanda, dengan tanda positif atau negatif tergantung pada tanda pembilang. Dalam sistem bilangan ini, pembagian dengan nol bukan lagi pengecualian khusus, tetapi titik di takhingga melibatkan jenis perilaku pengecualian baru yang tersendiri.

Dalam [[komputer]], kesalahan (galat atau ''error'') dapat terjadi akibat upaya pembagian dengan nol. Tergantung pada konteks dan [[jenis data]] yang terlibat, pembagian dengan nol dapat menghasilkan tak terhingga positif atau negatif, mengembalikan nilai khusus [[NaN|yang bukan angka]], menyebabkan [[perangkat lunak|program]] [[mogok (komputasi)|berhenti bekerja]], atau kemungkinan lainnya. Beberapa [[pembukti teorema]] mendefinisikan hasil bagi sama dengan nol agar pembagian menjadi [[fungsi total]].

==Aritmatika dasar==
===Arti pembagian===
[[Pembagian]]  dapat secara konsep diinterpretasi dalam beberapa cara.

Dalam ''pembagian hasil bagi'', pembilang  dapat dibayangkan terbagi menjadi potongan seukuran  (penyebut), dan hasil bagi  adalah jumlah bagian yang dihasilkan. Misalnya, bayangkan sepuluh lembar roti akan dibuat menjadi [[roti lapis]] (''sandwich'') yang masing-masing membutuhkan dua lembar roti. Maka, lima roti lapi dapat dibuat (atau jika ditulis secara matematika, ). Sekarang, bayangkan jika tidak ada satu lembar roti pun yang dibutuhkan untuk setiap sandwich (misalnya karena roti lapis tersebut dibungkus [[selada (tumbuhan)|selada]]). Maka logikanya, banyak sekali roti lapis seperti itu dapat dibuat dari sepuluh lembar roti, karena keberadaan roti tidak lagi relevan atau dibutuhkan.

Konsep pembagian semacam itu juga berlaku sama jika dihitung dengan [[pengurangan]] berulang: pembagian merupakan penghitungan berapa kali pembilang dikurangi oleh penyebut hingga pembilang habis. Karena pengurangan dengan nol tidak akan pernah menghabiskan pembilang, menghitung pembagian dengan nol dengan cara ini menghasilkan pengurangan yang [[Perulangan takterhingga|tidak pernah berakhir]]. [[Algoritma]] pembagian dengan nol yang takterhingga seperti itu dapat diunjukkan oleh beberapa [[kalkulator mekanik]].<ref>Ralph J. Kochenburger. [https://archive.org/details/computersinmoder00koch/page/147/mode/1up?q=%22don%27t+try+to+divide+by+zero%22 Computers in Modern Society]. Hamilton. 1974. Untuk video yang mendemonstrasikannya, lihat: [https://www.youtube.com/watch?v=s_hbvRTGcUI What happens when you divide by zero on a mechanical calculator?]. 7 March 2021.</ref>

Dalam ''pembagian partitif'', pembilang  dibayangkan terbagi menjadi ⁠ bagian, dan hasil bagi  adalah hasil dari masing-masing bagian. Misalnya, bayangkan sepuluh kue akan dibagi di antara dua teman. Setiap teman akan menerima lima kue (). Bayangkan jika sepuluh kue tersebut dibagi kepada nol teman. Berapa banyak kue yang akan diterima setiap teman? Karena tidak ada teman, ini adalah suatu hal yang tidak masuk akal.<ref>, memberi contoh bagaimana pewaris takhta membagi rata warisannya sebanyak 12 permata, dan bertanya apa yang akan terjadi jika semua pewaris takhta mati sebelum wasiat raja dapat dijalankan.</ref>

Dalam pemaknaan lain, hasil bagi ⁠ melambangkan [[rasio]] .<ref>Jane-Jane Lo. ''Developing Ratio Concepts: An Asian Perspective''. ''Mathematics Teaching in the Middle School''. 2004. Vol. 9. hlm. 362–367. doi:10.5951/MTMS.9.7.0362.</ref> Misalnya, suatu resep kue mungkin membutuhkan sepuluh sendok tepung dan dua sendok gula, yang dilambangkan dalam rasio ⁠ atau setara dengan . Untuk menyesuaikan resep yang sama untuk membuat jumlah kue yang lebih banyak atau lebih sedikit, rasio tepung dan gula yang setara ⁠⁠ dapat dipertahankan, misalnya satu sendok tepung dan seperlima sendok gula, atau lima puluh sendok tepung dan sepuluh sendok gula.<ref>Nesrin Cengiz. ''Making Sense of Equivalent Ratios''. ''Mathematics Teaching in the Middle School''. 2018. Vol. 24. hlm. 148–155. doi:10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148.</ref> Sekarang bayangkan resep kue bebas gula yang membutuhkan sepuluh cangkir tepung dan nol cangkir gula. Rasio ⁠ atau setara dengan  sangat masuk akal<ref>Matthew R. Clark. ''A comparison of ratios and fractions and their roles as tools in proportional reasoning''. ''The Journal of Mathematical Behavior''. 2003. Vol. 22. hlm. 297–317. doi:10.1016/S0732-3123(03)00023-3.</ref> karena rasio tersebut hanya berarti bahwa kue tersebut tidak mengandung gula. Namun, pertanyaan "Berapa bagian tepung untuk setiap bagian gula?" masih belum memiliki jawaban dalam bilangan yang bermakna.

===Kebalikan dari perkalian===
Pembagian pada dasarnya adalah pembalikan dari [[perkalian]], yang artinya mengali dan kemudian membagi dengan nilai bukan nol yang sama ataupun sebaliknya, akan menghasilkan nilai yang sama; contohnya .<ref>K. M. Robinson. ''The inverse relation between multiplication and division: Concepts, procedures, and a cognitive framework''. ''Educational Studies in Mathematics''. 2012. Vol. 79 (3). hlm. 409–428. doi:10.1007/s10649-011-9330-5.</ref> Maka soal pembagian seperti "berapakah 6 dibagi 3?" dapat dijawab dengan menulisnya ulang sebagai persamaan yang ekuivalen dengan melibatkan perkalian, "bilangan berapa yang dikali 3 sama dengan 6?", dan mencari nilai yang benar untuk tiap pernyataan. Soal tersebut dapat ditulis dalam simbol  atau secara ekuivalen , di mana  melambangkan nilai yang sama dalam tiap persamaan; dalam hal ini nilai tersebut diketahui sebagai , karena , sehingga .<ref>;</ref>

Soal sejenis yang melibatkan pembagian dengan nol, , mengharuskan penjawabnya menentukan nilai yang dapat memenuhi persamaan . Namun, setiap angka yang dikalikan dengan nol hasilnya sama dengan nol, bukan enam, sehingga tidak ada angka yang dapat menggantikan  untuk membuat persamaan yang benar.

Ketika soal diganti menjadi , pernyataan yang ekuivalen dalam perkalian menjadi ; dalam hal ini nilai ''berapa pun'' dapat menggantikan tanda tanya untuk menghasilkan persamaan yang benar, sehingga tidak ada satu bilangan yang dapat menjawab hasil bagi .

Karena kerumitan semacam ini, hasil bagi di mana penyebutnya sama dengan nol biasanya dianggap sebagai ''tidak terdefinisi'', dan pembagian dengan nol tidak diizinkan.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagian+dengan+nol&oldid=29482887 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

=== Kesesatan ===
Salah satu alasan kuat untuk tidak mengizinkan pembagian dengan nol adalah karena mengizinkannya akan menyebabkan [[kesesatan]].

Dengan menggunakan angka, mudah untuk mengenali pembagian dengan nol yang ilegal. Misalkan:

Kesesatan di sini muncul dari asumsi bahwa boleh untuk mencoret  sama seperti bilangan lain, di mana sesungguhnya melakukan hal tersebut merupakan bentuk lain dari pembagian dengan .

Dengan [[aljabar elementer|aljabar]], seseorang dapat menyamarkan pembagian dengan nol<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagian+dengan+nol&oldid=29482887 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> untuk menghasilkan persamaan yang tidak sah. Contoh:<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagian+dengan+nol&oldid=29482887 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

Ini pada dasarnya penghitungan yang salah sama seperti perhitungan sebelumnya, namun pembagian dengan nol disamarkan karena kita menulis  sebagai .

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagian+dengan+nol&oldid=29482887 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29482887 (2026-07-21T11:33:31Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->