Lihat sumber Perkalian skalar

[[File:Scalar_multiplication_by_r=3.svg|thumb|right|280px|Scalar multiplication by r=3]]

'''Perkalian skalar''' <ref>https://jagostat.com/aljabar-linear/definisi-notasi-dan-operasi-vektor</ref> () dalam [[matematika]], adalah salah satu operasi dasar yang mendefinisikan suatu [[ruang vektor]] dalam [[aljabar linear]]<ref>David C. Lay. [https://archive.org/details/studyguidetoline0000layd Linear Algebra and Its Applications]. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4.</ref><ref>Gilbert Strang. [https://archive.org/details/apu.512.5.sta.50262 Linear Algebra and Its Applications]. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6.</ref><ref>Sheldon Axler. ''Linear Algebra Done Right''. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2.</ref> (atau lebih umum, sebuah [[modul (matematika)|modul]] dalam [[aljabar abstrak]]<ref>David S. Dummit. [https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm_k3c6 Abstract Algebra]. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.</ref><ref>Serge Lang. ''Algebra''. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.</ref>). Dalam suatu konteks geometri intuitif, perkalian skalar dari suatu [[vektor (spasial)|vektor]] [[bilangan real|real]] dengan suatu bilangan real positif melipatgandakan besaran vektor itu tanpa mengubah arahnya. Istilah [[skalar (matematika)|"skalar"]] sendiri diturunkan dari penggunaan ini: suatu skalar adalah yang membagi suatu vektor dalam skala. Perkalian skalar adalah perkalian suatu vektor dengan suatu skalar (di mana produk atau hasilnya adalah sebuah vektor) dan harus dibedakan dengan "[[produk skalar]]" dua vektor (di mana hasilnya adalah suatu skalar).

== Definisi ==
Secara umum, jika ''K'' adalah sebuah [[:en:field (algebra)|''field'']] dan ''V'' adalah sebuah ruang vektor di atas ''K'', maka perkalian skalar adalah suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] dari ''K'' × ''V'' ke ''V''.
Hasil penerapan fungsi ini ke ''c'' dalam ''K'' dan '''''v''''' dalam ''V'' dilambangkan dengan ''c'''v'''''.

=== Sifat ===
Perkalian skalar menuruti kaidah-kaidah berikut ''(vektor ditulis dalam [[boldface]])'':
* [[Additive function|Additivity]] dalam skalar: (''c'' + ''d'')'''''v''''' = ''c'''v''''' + ''d'''v''''';
* Additivity dalam vektor: ''c''('''''v''''' + '''''w''''') = ''c'''v''''' + ''c'''w''''';
* Kompatibilitas produk skalar-skalar dengan perkalian skalar: (''cd'')'''''v''''' = ''c''(''d'''v''''');
* Mengalikan dengan 1 tidak mengubah suatu vektor: 1'''''v''''' = '''''v''''';
* Mengalikan dengan 0 menghasilkan [[vektor nol|vektor nol atau ''zero vector'']]: 0'''''v''''' = '''''0''''';
* Mengalikan dengan −1 menghasilkan [[additive inverse]]: (−1)'''''v''''' = −'''''v'''''.
Di sini + adalah [[penjumlahan]] baik dalam field atau dalam ruang vektor, sebagaimana layaknya; dan 0 adalah identitas penjumlahan dalam keduanya
Juxtaposition mengindikasikan baik perkalian skalar atau operasi [[perkalian]] dalam field.

==Interpretasi==
Perkalian skalar dapat dilihat sebagai [[eksternal (matematika)|eksternal]] [[operasi biner]] atau sebagai [[aksi kelompok|tindakan]] dari bidang pada ruang vektor. Interpretasi [[geometris]] dari perkalian skalar adalah bahwa perkalian skalar meregang, atau berkontraksi, vektor dengan faktor konstan.

Sebagai kasus khusus, '' V '' dapat dianggap sebagai '' K '' itu sendiri dan perkalian skalar kemudian dapat dianggap sebagai perkalian di lapangan.

Di mana ''V'' is ''K''<sup>''n''</sup>, perkalian skalar sama dengan perkalian setiap komponen dengan skalar, dan dapat didefinisikan seperti itu.

== Perkalian skalar matriks ==
'''Perkalian skalar''' dari sebuah matriks  dengan skalar  menghasilkan matriks lain yang berukuran sama . Maka dilambangkan dengan ,<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perkalian+skalar&oldid=29216228 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> terdiri dari entri  ditentukan oleh

:<math> (\lambda \mathbf{A})_{ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,</math>

secara eksplisit:

:<math> \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda A_{11} & \lambda A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \\
\lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \\
\end{pmatrix}\,.</math>

Similarly, the '''right scalar multiplication''' of a matrix  with a scalar  is defined to be

:<math> (\mathbf{A}\lambda)_{ij} = \left(\mathbf{A}\right)_{ij} \lambda\,, </math>

secara eksplisit:

:<math> \mathbf{A}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} \lambda & A_{12} \lambda & \cdots & A_{1m} \lambda \\
 A_{21} \lambda & A_{22} \lambda & \cdots & A_{2m} \lambda \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} \lambda & A_{n2} \lambda & \cdots & A_{nm} \lambda \\
\end{pmatrix}\,.</math>

Ketika [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang mendasari adalah [[komutatif]], misalnya, [[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks]] [[Medan (matematika)|medan]], kedua perkalian ini adalah sama, dan disebut '' perkalian skalar ''.

Untuk skalar dan matriks riil:

:<math> \lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} </math>

:<math> 2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \!\cdot\! a & 2 \!\cdot\! b \\
2 \!\cdot\! c & 2 \!\cdot\! d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \!\cdot\! 2 & b \!\cdot\! 2 \\
c \!\cdot\! 2 & d \!\cdot\! 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.</math>

Untuk skalar dan matriks quaternion:

:<math> \lambda = i, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix} </math>

:<math>
  i\begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i^2 & 0 \\
    0 & ij \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    -1 & 0 \\
     0 & k \\
  \end{pmatrix}
\ne \begin{pmatrix}
    -1 & 0 \\
    0 & -k \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i^2 & 0 \\
    0 & ji \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix}i\,,
</math>

di mana  adalah unit quaternion. Non-komutatif dari perkalian kuatnion mencegah transisi perubahan  to .

== Lihat pula ==
* [[Darab|Darab (hasil kali)]]
* [[Perkalian matriks]]
* [[Perkalian silang]]
* [[Perkalian vektor]]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perkalian+skalar&oldid=29216228 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29216228 (2026-05-11T17:01:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->