Lihat sumber Perkalian titik

'''Perkalian titik''' <ref>https://jagostat.com/aljabar-linear/perkalian-titik-dan-silang</ref> (, ) (juga disebut '''darab skalar''', '''produk dot''', '''darab bintik''', '''produk skalar''', atau "produk dalam" dalam konteks ruang Euclid) dalam [[matematika]] adalah suatu operasi aljabar yang memasukkan dua [[urutan]] bilangan dengan panjang yang sama (biasanya [[vektor koordinat]]) dan menghasilkan suatu bilangan tunggal. Operasi ini dapat didefinisikan menurut aljabar maupun geometri.
Menurut aljabar, produk skalar merupakan jumlah dari produk-produk masukan yang bersangkutan dari bilangan-bilangan pada dua urutan tersebut. Menurut geometri, produk skalar adalah produk dari [[Vektor (spasial)#Panjang|"besaran Euclidean" atau "panjang vektor"]] dua vektor dan [[kosinus]] sudut di antara keduanya. Nama "''produk dot''" diambil dari tanda [[Dot operator|''dot'', yaitu "tanda titik di tengah",]] "&nbsp;'''·'''&nbsp;" yang sering digunakan untuk melambangkan operasi ini; nama "produk skalar" menekankan sifat [[skalar (matematika)|skalar]] hasilnya (bukan [[Vektor (spasial)|vektorial]]).

Dalam ruang tiga dimensi, produk skalar dikontraskan dengan [[perkalian silang]] (en: ''cross product'') dua vektor, yang menghasilkan suatu [[pseudovector]]. Produk skalar berkaitan langsung dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor dalam ruang Euclidean dari seberapapun banyaknya dimensi.

== Definisi ==
Perkalian titik sering didefinisikan menurut satu dari dua cara: menurut aljabar atau menurut geometri. Definisi geometris didasarkan pada pengertian sudut dan jarak (besaran vektor). Persamaan dua definisi ini bergantung pada memiliki [[sistem koordinat Kartesius]] untuk ruang Euklides.

Dalam presentasi modern [[geometri Euclidean]], titik-titik ruang ditentukan berdasarkan koordinat Cartesiannya, dan [[ruang Euclidean]] itu sendiri umumnya diidentifikasikan dengan [[ruang kordinat nyata]] '''R'''<sup>''n''</sup>. Dalam presentasi seperti itu, pengertian panjang dan sudut tidaklah primitif. Mereka ditentukan melalui perkalian titik:  panjang vektor didefinisikan sebagai [[akar kuadrat]] dari hasil kali titik vektor itu sendiri, dan [[kosinus]] dari (tidak berorientasi) sudut dua vektor dengan panjang satu didefinisikan sebagai perkalian titik mereka.  Jadi kesetaraan dari dua definisi hasil perkalian titik adalah bagian dari kesetaraan klasik dan formulasi modern geometri Euklides.

=== Definisi menurut aljabar ===
Produk skalar dua vektor  dan  didefinisikan sebagai:<ref>S. Lipschutz, M. Lipson. [https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3 Linear Algebra (Schaum’s Outlines)]. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-154352-1.</ref>

:<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^n A_iB_i = A_1B_1 + A_2B_2 + \cdots + A_nB_n</math>

di mana Σ melambangkan [[Summation|summation notation]] dan ''n'' adalah dimensi [[ruang vektor]]. Misalnya, dalam [[ruang tiga dimensi]], produk skalar vektor-vektor  dan  adalah:

:<math>
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3.
\end{align}
</math>

=== Definisi menurut geometri ===
Dalam [[Ruang Euklides|ruang Euclidean]], suatu [[vektor (spasial)|vektor Euclidean]] adalah sebuah objek geometri yang memiliki baik besaran (''magnitude'') dan [[arah (geometri)|arah]] (''direction''). Sebuah vektor dapat digambarkan seperti sebuah anak panah. Besarannya adalah panjangnya, sedangkan arahnya adalah yang ditunjuk oleh ujung panah. Besaran vektor '''A''' dilambangkan dengan <math>\|\mathbf{A}\|</math>. Produk skalar dua vektor Euclidean '''A''' dan '''B''' didefinisikan sebagai<ref>M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman. [https://archive.org/details/vectoranalysisan0000lips Vector Analysis (Schaum’s Outlines)]. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-161545-7.</ref>
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,</math>
di mana θ adalah [[sudut]] di antara '''A''' dan '''B'''.

Secara khusus, jika '''A''' dan '''B''' adalah [[ortogonal]], maka sudut di antara keduanya adalah 90° dan
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B=0.</math>
Pada keadaan ekstrem lain, jika kedua vektor itu mempunyai arah yang sama (''codirectional''), maka sudut di antara keduanya adalah 0° dan
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|</math>
Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor '''A''' dengan dirinya sendiri adalah
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf A = \|\mathbf A\|^2,</math>
yang menghasilkan
: <math> \|\mathbf A\| = \sqrt{\mathbf A\cdot\mathbf A},</math>
rumus untuk [[panjang Euclidean]] vektor itu.

== Sifat ==
Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut jika '''a''', '''b''', dan '''c''' adalah [[vektor (spasial)|vektor]] [[bilangan real|real]] dan ''r'' adalah suatu [[skalar (matematika)|bilangan skalar]].<ref>S. Lipschutz, M. Lipson. [https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3 Linear Algebra (Schaum’s Outlines)]. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-154352-1.</ref><ref>M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman. [https://archive.org/details/vectoranalysisan0000lips Vector Analysis (Schaum’s Outlines)]. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-161545-7.</ref>

# '''[[Komutatif]]:'''
#: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math>
#: which follows from the definition (''θ'' is the angle between '''a''' and '''b'''):
#: <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta = \|\mathbf{b}\|\|\mathbf{a}\|\cos\theta = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} </math>
# '''[[Distributif property|Distributif]] over vector addition:'''
#: <math> \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}.</math>
# '''[[bilinear form|Bilinear]]''':
#: <math> \mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c})
    = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}).
</math>
# '''[[Perkalian skalar]]:'''
#: <math> (c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = c_1 c_2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) </math>
# '''[[Ortogonal]]:'''
#: Dua vektor bukan-nol '''a''' dan '''b''' adalah ''[[ortogonal]]'' [[jika dan hanya jika]] .
# '''Tidak ada [[:en:cancellation law|cancellation]]:'''
#: Berbeda dengan perkalian angka biasa, di mana jika , maka ''b'' selalu sama dengan ''c'' kecuali ''a'' sama dengan [[nol]], produk skalar tidak menuruti [[cancellation law]]:
#: Jika  dan , maka dapat ditulis:  dengan [[hukum distributif]]; hasil di atas mengatakan bahwa ini hanya berarti '''a''' tegak lurus dengan , di mana masih mengizinkan , sehingga .
# '''[[Product Rule]]:''' Jika '''a''' dan '''b''' adalah suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]], maka [[turunan]] ([[Notation for differentiation#Lagrange's notation|dilambangkan oleh tanda ''prime'']] ′) dari  adalah .

== Generalisasi ==
=== Tensor ===
Produk skalar antar suatu [[tensor]] pada ordo ''n'' dan suatu tensor pada ordo ''m'' adalah tensor pada ordo 

== Lihat pula ==
* [[Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]]
* [[Perkalian matriks]]
* [[Perkalian silang]]
* [[Perkalian skalar]]
* [[Perkalian vektor]]

== Pranala luar ==
* 
* 
* [http://www.mathreference.com/la,dot.html Explanation of dot product including with complex vectors]
* [http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ "Dot Product"] by Bruce Torrence, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perkalian+titik&oldid=29438056 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29438056 (2026-07-10T03:17:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->