Lihat sumber Perkalian vektor

[[File:Right_hand_rule_cross_product.svg|thumb|right|280px|Right hand rule cross product]]

'''Perkalian vektor''' adalah operasi perkalian dengan dua ''operand'' (objek yang dikalikan) berupa [[vektor (spasial)|vektor]]. Namun, hasil operasi ini tidak selalu adalah vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu [[Perkalian titik|'''perkaian titik''' atau '''perkalian skalar''']] (, '''[[perkalian silang]]''' () dan '''perkalian langsung''' ().

== lar ==
[[Produk skalar]] (atau "perkalian titik") dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

:<math>\! \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot  (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})</math>

:<math> = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \!</math>

Untuk [[vektor satuan]] terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

:<math>\hat{i} \cdot \hat{i} = 1</math>

:<math>\hat{j} \cdot \hat{j} = 1</math>

:<math>\hat{k} \cdot \hat{k} = 1</math>

dan

:<math>\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0</math>

:<math>\hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = 0</math>

:<math>\hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0</math>

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi [[delta Kronecker]] <math>\!\delta_{mn}</math>, yaitu

:<math>\hat{m} \cdot \hat{n} = \delta_{mn}</math>

== Perkalian silang ==
Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. [[Perkalian silang]] bersifat tidak komutatif.

:<math>\vec{A} \times \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \times (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})</math>

:<math> = (a_y b_z - a_z b_y) \hat{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{k}</math>

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

:<math>\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}</math>
:<math>\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}</math>
:<math>\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}</math>

dan

:<math>\hat{j} \times \hat{i} = - \hat{k}</math>
:<math>\hat{k} \times \hat{j} = - \hat{i}</math>
:<math>\hat{i} \times \hat{k} = - \hat{j}.</math>

== Perkalian langsung ==
Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah [[tensor]] atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

:<math>\vec{A} \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})</math>

:<math> = \hat{i} (a_x b_x) \hat{i} + \hat{i} (a_x b_y) \hat{j} +  \hat{i} (a_x b_z) \hat{k}</math>
:<math> + \hat{j} (a_y b_x) \hat{i} + \hat{j} (a_y b_y) \hat{j} +  \hat{j} (a_y b_z) \hat{k}</math>
:<math> + \hat{k} (a_z b_x) \hat{i} + \hat{k} (a_z b_y) \hat{j} +  \hat{k} (a_z b_z) \hat{k}</math>

Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

:<math>(\hat{a})(\hat{b}) = \hat{a} \hat{b}</math>
:<math>\hat{a} \hat{b} \neq \hat{b} \hat{a}</math>

== Lihat pula ==
* [[Perkalian]] (aritmetika dasar)
* [[Perkalian matriks]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perkalian+vektor&oldid=27529145 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27529145 (2025-07-12T01:36:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->