Lihat sumber Persamaan fungsional Cauchy

'''Persamaan fungsional Cauchy''' adalah [[persamaan fungsional]] dari [[kebebasan linear]]:
:<math> f(x+y)=f(x)+f(y). \ </math>

Solusi untuk ini disebut [[peta aditif|fungsi aditif]]. Melalui [[bilangan rasional]], dapat ditunjukkan menggunakan [[aljabar dasar]] bahwa terdapat satu kelompok solusi, yaitu <math>f:x\mapsto cx</math> untuk setiap konstanta rasional <math> c </math>. Selama [[bilangan riil]], <math>f:x\mapsto cx</math>, sekarang dengan <math> c </math> konstanta nyata arbitrer, juga sekumpulan solusi; tetapi ada solusi lain yang sangat rumit. Namun, dari sejumlah kondisi keteraturan, beberapa di antaranya cukup lemah, akan menghalangi adanya solusi patologis ini. Misalnya, fungsi aditif <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> linier jika:
* <math> f </math> adalah [[fungsi kontinu|kontinu]] (dibuktikan oleh [[Cauchy]] pada tahun 1821). Kondisi ini semakin melemah pada tahun 1875 oleh [[Darboux]] yang menunjukkan bahwa hanya perlu fungsi tersebut untuk berlanjut pada satu titik.
* <math> f </math> adalah [[fungsi monotonik|monotonik]] pada interval apa pun.
* <math>f</math> adalah [[fungsi terikat|dibatasi]] pada interval apa pun.
* <math> f </math> adalah [[Lebesgue terukur]].
Di sisi lain, jika tidak ada kondisi lebih lanjut yang diberlakukan <math>f</math>, kemudian (dengan asumsi [[aksioma pilihan]]) ada banyak fungsi lain yang memenuhi persamaan tersebut. Ini dibuktikan pada tahun 1905 oleh [[Georg Hamel]] menggunakan [[basis Hamel]]. Fungsi semacam itu terkadang disebut '' Fungsi Hamel''.<ref>Kuczma (2009), p.130</ref>

[[Masalah kelima Hilbert|Masalah kelima]] pada [[Masalah Hilbert|Daftar Hilbert]] adalah generalisasi dari persamaan ini. Fungsi di mana terdapat [[bilangan riil]] <math>c</math> such that <math> f(cx) \ne cf(x) \ </math> dikenal sebagai fungsi Cauchy-Hamel dan digunakan dalam invarian Dehn-Hadwiger yang digunakan dalam perluasan [[masalah ketiga Hilbert]] dari 3-D ke dimensi yang lebih tinggi.<ref>V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington</ref>

== Solusi atas bilangan rasional ==
Argumen sederhana, yang hanya melibatkan manipulasi aljabar dasar, menunjukkan bahwa himpunan peta aditif ''<math>f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}</math>'' identik dengan kumpulan peta linier.

'''Teorema:''' ''Karena <math>f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}</math> menjadi fungsi aditif. Kemudian <math> f </math> adalah linear.''

'''''Bukti:''''' Kami ingin membuktikan solusi apa pun <math>f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}</math> untuk persamaan fungsional Cauchy, <math>f(x+y) = f(x) + f(y)</math>, mengambil bentuknya <math> f(q) = cq,\ c \in \mathbb{Q}</math>.  Akan lebih mudah untuk mempertimbangkan kasus-kasus tersebut <math>q=0,\ q>0,\ q<0</math>.

''<u>Kasus I:</u>'' (<math>q=0</math>)

Menyetel <math> y = 0 </math>, kami menyimpulkan itu
:<math>f(x)=f(x)+f(0),\quad x\in\mathbb{Q} </math>
:<math>\Rightarrow f(0) = 0</math>.

''<u>Kasus II:</u>'' (<math>q>0</math>)

Dengan penerapan berulang dari persamaan Cauchy ke <math>f\left(x + x + \cdots + x\right) = f\left(\alpha x\right)</math>, kami dapatkan

:<math>\alpha f\left(x\right) = f\left(\alpha x\right), \quad \alpha \in \mathbb{N},\ x\in\mathbb{Q}.\quad\quad (*) </math>

Substitusi dari <math> x </math> oleh <math>\frac{x}{\alpha}</math> dalam (*), dan perkalian hasilnya dengan <math>\frac{\beta}{\alpha}</math>, dimana <math>\beta\in\mathbb{N} </math>, yields

:<math>\beta f\left(\frac{x}{\alpha}\right) = \frac{\beta}{\alpha} f\left(x\right), \quad \alpha,\beta \in \mathbb{N},\ x\in\mathbb{Q}.
\quad\quad(**) </math>

Penerapan (*) ke sisi kiri (**) lalu memungkinkan

:<math>f\left(\frac{\beta }{\alpha}x\right) = \frac{\beta}{\alpha} f\left(x\right), \quad \alpha, \beta \in \mathbb{N},\ x\in\mathbb{Q} </math>
:<math>\Rightarrow f\left(qx\right) = q f\left(x\right), \quad q,x \in \mathbb{Q},\ q>0 </math>
:<math>\Rightarrow f\left(q\right) = q f\left(1\right)=cq, \quad q \in \mathbb{Q}^+ </math>,

dimana <math>c=f(1)\in\mathbb{Q} </math> adalah konstanta rasional yang sewenang-wenang.

''<u>Kasus III:</u>'' (<math>q<0</math>)

Menyetel <math> y = -x </math> dalam persamaan fungsional dan mengingat bahwa <math> f (0) = 0 </math>, kita memperoleh
:<math>f(-x) = -f(x),\quad x\in\mathbb{Q}</math>.

Menggabungkan ini dengan kesimpulan yang diambil untuk bilangan rasional positif (`` Kasus II '') memberikan

:<math>f(q)=-f\left(-q\right) = -\big(c(-q)\big)=cq, \quad q \in \mathbb{Q}^- </math>.

Dipertimbangkan bersama, ketiga kasus di atas memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa solusi lengkap persamaan fungsional Cauchy atas bilangan rasional diberikan oleh:

:<math>f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q},\quad q\mapsto cq,\ c=f(1)\in\mathbb{Q}.\quad\quad\blacksquare </math>

== Properti solusi linier atas bilangan real ==
Kami membuktikan di bawah bahwa solusi lain harus memiliki fungsi [[Patologis (matematika)|patologis]] yang tinggi. Khususnya,
kami menunjukkan bahwa solusi lain harus memiliki properti yang grafik <math>y = f(x)</math> adalah
[[himpunan padat|padat]] masuk <math>\mathbb{R}^2</math>, yaitu bahwa setiap disk pada bidang (namun
kecil) berisi titik dari grafik.  Dari sini mudah untuk membuktikan berbagai kondisi
diberikan di paragraf pengantar.

Misalkan tanpa kehilangan keumuman itu <math>f(q) = q \  \forall q \in \mathbb{Q}</math>,
dan <math>f(\alpha) \neq \alpha</math> untuk beberapa <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>.

Kemudian letakkan <math>f(\alpha) = \alpha + \delta, \delta \neq 0</math>.

Kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan titik dalam lingkaran acak, pusat <math>(x,y)</math>,
radius <math>r</math> dimana <math>x,y,r \in \mathbb{Q}, r > 0, x \neq y</math>.

Taruh <math>\beta = \frac{y - x}{\delta}</math> dan pilih bilangan rasional
<math>b\neq 0</math> dekat dengan <math>\beta</math> dengan:

:<math>\left|  \beta - b  \right| < \frac{r}{2 \left|\delta\right|}</math>

Kemudian pilih bilangan rasional <math>a</math> dekat dengan <math>\alpha</math> dengan:

:<math>\left|  \alpha - a  \right| < \frac{r}{2\left|b\right|} </math>

Sekarang taruh:

:<math>X = x + b (\alpha - a) \ </math>
:<math> Y = f(X)  \ </math>

Kemudian menggunakan persamaan fungsional, kita dapatkan:

:<math> Y = f(x + b (\alpha - a)) \ </math>
:<math> = x + b f(\alpha) - b f(a) \ </math>
:<math> = y - \delta \beta + b f(\alpha) - b f(a) \ </math>
:<math> = y - \delta \beta + b (\alpha + \delta) - b a \ </math>
:<math> = y + b (\alpha - a) - \delta (\beta - b) \ </math>

Karena pilihan kita di atas, titik <math> (X, Y) </math> ada di dalam lingkaran.

== Adanya solusi nonlinear atas bilangan riil ==
== Pranala luar ==
* Solution to the Cauchy Equation [http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf Rutgers University]
* [http://cofault.com/2010/01/hunt-for-addictive-monster.html The Hunt for Addi(c)tive Monster] 
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+fungsional+Cauchy&oldid=28483525 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28483525 (2025-11-14T08:25:31Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->