Lihat sumber Ruang topologis

Dalam [[topologi]] dan subbidang [[matematika]] terkait, '''ruang topologi''' dapat didefinisikan sebagai sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan titik-titik]] beserta hubungan [[Persekitaran (matematika)|persekitaran]] antara titik-titik tersebut. Pentingnya konsep topologi adalah, ia dapat memberikan ide yang persis tapi umum kepada konsep-konsep kedekatan dan kekontinuitasan. Ruang topologi adalah struktur yang memperkenankan kita untuk memformalkan konsep seperti [[Kekonvergenan (matematika)|kekonvergenan]], [[keterhubungan]] dan [[Fungsi kontinu|kontinuitas]].

Terdapat beberapa cara lain yang setara dalam mendefinisikan sebuah [[topologi]] atas sebuah himpunan, misalnya melalui [[himpunan terbuka]] atau melalui [[himpunan tertutup]]. Definisi-definisi ini mungkin tidak seintuitif definisi persekitaran, tetapi sering kali definisi lain secara logis lebih sederhana dan untuk beberapa kasus memberikan metode yang paling baik untuk mendefinisikan sebuah topologi atas sebuah himpunan.<ref>Brown, Ronald,. [https://www.worldcat.org/oclc/712629429 Topology and Groupoids]. CreateSpace. June 2006. ISBN 9781419627224.</ref>

== Definisi ==
Kebergunaan konsep topologi ditunjukkan dengan banyaknya definisi yang setara, sehingga diperlukan pemilihan definisi yang cocok untuk masing-masing aplikasi. Definisi yang paling sering digunakan adalah melalui [[himpunan terbuka]], tetapi definisi yang lebih intuitif mungkin melalui hubungan [[Persekitaran (topologi)|persekitaran]].

=== Definisi melalui hubungan persekitaran ===
[[Aksiomatisasi]] ini dicetuskan oleh [[Felix Hausdorff]]. Misalkan <math>X</math> suatu himpunan (yang kemungkinannya kosong). Anggota dari <math>X</math> sering kali disebut ''titik'', meskipun anggota tersebut sebenarnya dapat dianggap sebagai objek matematika apapun. Misalkan <math>\mathcal N</math> suatu fungsi yang menetapkan pada setiap titik <math>x</math>di dalam <math>X</math> suatu koleksi tak kosong <math>\mathcal N(x)</math> dari subhimpunan dari <math>X</math>. Anggota dari <math>\mathcal N(x)</math> disebut persekitaran dari ''<math>x</math>'' terhadap '''<math>\mathcal N</math>''' (atau cukup disebut persekitaran dari ''<math>x</math>''). Fungsi '''<math>\mathcal N</math>''' disebut [[Persekitaran (topologi)|topologi persekitaran]] jika aksioma-aksioma di bawah terpenuhi; dan pasangan <math>(X, \mathcal N)</math> adalah suatu ruang topologis:

# Jika <math>N</math> adalah persekitaran dari ''<math>x</math>'', yaitu <math>N \in \mathcal N (x)</math>, maka <math>x \in N</math>. Dalam kata lain, tiap-tiap titik dari himpunan <math>X</math> merupakan anggota dari persekitarannya terhadap '''<math>\mathcal N</math>'''.
# Jika ''<math>N</math>'' adalah subhimpunan dari ''<math>X</math>'' dan memuat suatu persekitaran dari ''<math>x</math>'', maka ''<math>N</math>'' adalah persekitaran dari ''<math>x</math>''. Maksudnya adalah setiap [[superhimpunan]] dari persekitaran suatu titik <math>x \in X</math> merupakan persekitaran suatu ''<math>x</math>'' pula.
# [[Irisan (teori himpunan)|Irisan]] dua persekitaran dari ''<math>x</math>'' adalah suatu persekitaran dari ''<math>x</math>'' juga.
# Sebarang persekitaran <math>N</math> dari ''<math>x</math>'' memuat persekitaran <math>M</math> dari ''<math>x</math>'' sehingga ''<math>N</math>'' adalah suatu persekitaran dari tiap-tiap titik di ''<math>M</math>''.

Tiga aksioma pertama menggunakan persekitaran memiliki maksud yang jelas. [[Aksioma]] keempat memiliki peran penting dalam menentukan struktur teori, yang mengaitkan persekitaran titik-titik yang berbeda dari <math>X</math>.

Contoh umum dari hubungan persekitaran adalah sistem persekitaran pada [[Garis bilangan real|garis bilangan riil]] <math>\R</math>, dengan subhimpunan <math>N</math> adalah persekitaran dari suatu bilangan riil ''<math>x</math>'' jika ia memuat sebuah interval terbuka yang memiliki ''<math>x</math>'' sebagai anggotanya.

Dengan struktur demikian, sebuah subhimpunan <math>U</math> dari <math>X</math> disebut subhimpunan ''terbuka'' jika <math>U</math> merupakan persekitaran bagi seluruh anggotanya. Sebaliknya, ketika diketahui himpunan terbuka suatu ruang topologis, persekitarannya yang memenuhi aksioma-aksioma di atas dapat dinyatakan kembali dengan mendefinisikan <math>N</math> suatu persekitaran dari ''<math>x</math>'' jika <math>N</math> menyertakan suatu himpunan terbuka <math>U</math> sehingga <math>x \in U</math>.

=== Definisi melalui himpunan terbuka ===
Diberikan himpunan tak-kosong ''X'', suatu koleksi ''<math>\tau</math>'' yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari ''X'' dikatakan topologi pada ''X'', jika ia memenuhi

* ''X'' dan himpunan kosong ''<math>\emptyset</math>'' termuat di dalam ''<math>\tau</math>''.
* Sembarang gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di ''<math>\tau</math>'' termuat di ''<math>\tau</math>'' pula.
* Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di ''<math>\tau</math>'' berada di ''<math>\tau</math>'' pula.

Pasangan ''<math>\left(X,\tau\right)</math>'' dikatakan '''ruang topologi''', dengan koleksi ''<math>\tau</math>'' disebut sebagai '''topologi''' pada ''X'', serta anggota ''<math>\tau</math> ''disebut sebagai '''himpunan terbuka''' dari ''X''.

=== Definisi melalui himpunan tertutup ===
Menggunakan [[hukum de Morgan]], aksioma-aksioma di atas yang menggunakan himpunan terbuka dapat diubah menjadi aksioma-aksioma menggunakan '''himpunan tertutup''':

# [[Himpunan kosong]] dan ''X'' merupakan himpunan tertutup.
# Sembarang Irisan dari himpunan tertutup juga tertutup.
# Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup juga tertutup.

Menggunakan aksioma-aksioma ini topologi pada ''X'' ditentukan oleh koleksi ''<math>\tau</math>'' keluarga subhimpunan tertutup dari ''X'' dengan komplemennya adalah himpunan terbuka.

=== Definisi lain ===
Ada banyak cara lain yang setara untuk mendefinisikan topologi pada sebuah himpunan, atau dengan kata lain, definisi melalui hubungan persekitaran, himpunan terbuka, maupun himpunan tertutup dapat dibangun kembali dari konsep lain dan masih mematuhi aksioma-aksioma tersebut. Misalnya, melalui [[aksioma penutupan Kuratowski]], dan [[Titik akumulasi|titik-titik akumulasi]] dari kumpulan [[Jala (Matematika)|jala]].

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+topologis&oldid=28593142 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28593142 (2025-11-21T20:04:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->