Lihat sumber Segitiga Pascal

[[File:PascalTriangleAnimated2.gif|thumb|right|280px|Setiap nomor dalam segitiga adalah jumlah dua secara terus dengan yang di atas]]

<math>
\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
&1&&4&&6&&4&&1
\end{matrix}
</math>

Lima barisan pertama pada segitiga Pascal

Dalam [[matematika]], '''segitiga Pascal''' adalah suatu aturan geometri pada '''[[koefisien binomial]]''' dalam sebuah [[segitiga]]. Segitiga tersebut dinamai berdasarkan nama matematikawan [[Blaise Pascal]], meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di [[Sejarah India|India]], [[Sejarah Iran|Persia]], [[Sejarah Tiongkok|Tiongkok]], dan [[Italia]]. Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nomor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan keempat.

Pembinaan ini terkait dengan koefisien binomial oleh [[Peraturan Pascal]], yang menyatakan bahwa jika
:<math> {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} </math>
adalah koefisien binomial ke-''k'' dalam [[pengembangan binomial]] pada (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')<sup>''n''</sup>, di mana ''n''! adalah [[faktorial]] ''n'', oleh itu,

:<math>{n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}</math>

untuk setiap bilangan bulat bukan negatif'' n'' dan mana-mana bilangan bulat'' k'' di antara 0 dan'' n''.<ref>Pekali binomial \scriptstyle {n \choose k} adalah secara kebiasaan diletakkan kosong jika ''k'' sama ada kurang daripada kosong atau lebih besar daripada ''n''.</ref>

Segitiga Pascal memiliki pengitlakan [[dimensi]] lebih tinggi. Versi tiga-dimensi disebut '' [[Piramida Pascal]]'' atau ''Pascal 's tetrahedron'', sedangkan versi umum disebut'' [[simpleks Pascal]]'' - ini lihat [[piramida]], [[tetrahedron]] dan [[simpleks]].

== Segitiga Pascal dan pengembangan binomial ==
Segitiga Pascal menentukan koefisien yang menambahkan dalam [[pengembangan binomial]]. Misalnya, timbangkan pengembangan berikutnya.

:(''x'' + ''y'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> + 2''xy'' + ''y''<sup>2</sup> = '''1'''''x''<sup>2</sup>''y''<sup>0</sup> + '''2'''''x''<sup>1</sup>''y''<sup>1</sup> + '''1'''''x''<sup>0</sup>''y''<sup>2</sup>.

Perhatikan bahwa koefisien adalah angka dalam baris kedua segitiga Pascal: 1,&nbsp;2,&nbsp;1.
Pada umumnya, ketika sebuah [[binomial]] seperti ''x'' + ''y'' ditambahkan ke suatu [[bilangan bulat]] positif kita mendapat:

:(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> = ''a''<sub>0</sub>''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>1</sub>''x''<sup>''n''−1</sup>''y'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup> + … + ''a''<sub>''n''−1</sub>''xy''<sup>''n''−1</sup> + ''a''<sub>''n''</sub>''y''<sup>''n''</sup>,
yaitu [[koefisien]] ''a''<sub>''i''</sub> dalam pengembangan ini adalah tepatnya bilangan dalam baris ''n'' segitiga Pascal. Maknanya,

:<math>a_i = {n \choose i}.</math>

Ini adalah [[teorema binomial]].

Perhatikan bahwa keseluruhan [[diagonal]] kanan segitiga Pascal berhubungan dengan koefisien ''y''<sup>''n''</sup> dalam pengembangan binomial ini, sedangkan diagonal berikutnya berhubungan dengan koefisien ''xy''<sup>''n''-1</sup> dan sebagainya.

Untuk melihat bagaimana teorema binomial terkait dengan konstruksi sederhana segitiga Pascal, pertimbangkan masalah perhitungan koefisien pengembangan (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''+1</sup> dari segi koefisien yang berhubungan (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''</sup> (letakkan ''y'' = 1 untuk lebih mudah). Anggap setelah itu bahwa

:<math>(x+1)^n=\sum_{i=0}^n a_i x^i.</math>

Sekarang

:<math>(x+1)^{n+1} = (x+1)(x+1)^n = x(x+1)^n + (x+1)^n = \sum_{i=0}^n a_i x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i.</math>

Dua penjumlahan dapat diatur kembali sebagai berikut:

:<math>
\begin{align}
& \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n+1} a_{i-1} x^{i} + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n} a_{i-1} x^{i} + \sum_{i=1}^n a_i x^i + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n} (a_{i-1} + a_i)x^{i} + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n} (a_{i-1} + a_i)x^{i} + x^0 + x^{n+1}
\end{align}
</math>

(karena cara penambahan suatu polinomial ke suatu kekuasaan berhasil, ''a''<sub>0</sub> = ''a''<sub>''n''</sub> = 1).

Kita sekarang memiliki pernyataan untuk polinomial (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''+1</sup> dari segi koefisien (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''</sup> (ini adalah ''a''<sub>''i''</sub>s), yaitu kita perlu jika ingin menyatakan suatu baris dari kiri-atas ke kanan-bawah berkoresponden dengan energi yang sama ''x'', dan bahwa jangka-a adalah koefisien polinomial (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''</sup>, dan kita menentukan koefisien (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''+1</sup>. sekarang, untuk mana-mana ''i'' diberikan bukan 0 atau ''n''&nbsp;+&nbsp;1, pekali jangka ''x''<sup>''i''</sup> dalam polinomial (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>''n''+1</sup> adalah bersamaan dengan ''a''<sub>''i''</sub> (tokoh di atas dan di kanan tokoh untuk ditentukan, sejak ia adalah pada pepenjuru yang sama) + ''a''<sub>''i''−1</sub> (tokoh di kanan secara terus pada tokoh pertama). Ini sudah tentu peraturan mudah untuk pembinaan segitiga Pascal baris-demi-baris.

Adalah tidak susah untuk mengitarkan perdebatan ini ke dalam [[bukti (matematik)|bukti]] (oleh [[induksi matematik]]) pada teorem binomial.

Suatu akibat menarik pada teorem binomial didapatkan dengan memuatkan dua jenis ''x'' dan ''y'' bersamaan dengan satu. Dalam kes ini, kita tahu bahawa <math> (1+1)^n = 2^n </math>, dan oleh itu

:<math> {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n.</math>

Maknanya, jumlah kemasukan pada baris ke-''n'' pada segitiga Pascal adalah tenaga ke-''n'' pada 2.

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Segitiga+Pascal&oldid=28341071 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28341071 (2025-11-04T09:00:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->