Lihat sumber Sistem persamaan linear

[[File:Secretsharing_3-point.svg|thumb|right|280px|Secretsharing 3-point]]

'''Sistem persamaan linear''' adalah sekumpulan [[persamaan linear]] yang terdiri dari beberapa variabel. Contohnya adalah:
:<math>\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; - \;&& 2y             &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}</math>
Sistem ini terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel . Solusi sistem linear ini adalah nilai yang dapat menyelesaikan persamaan ini. Solusinya adalah:
:<math>\begin{alignat}{2}
x &\,=\,& 1 \\
y &\,=\,& -2 \\
z &\,=\,& -2
\end{alignat}</math>
Kata "sistem" di sini penting karena menunjukkan bahwa persamaan-persamaannya perlu dipertimbangkan bersamaan dan tidak berdiri sendiri.

Dalam ilmu matematika, teori sistem linear merupakan dasar [[aljabar linear]]. Aljabar linear sangat diperlukan dalam bidang [[fisika]], [[kimia]], [[ilmu komputer]], dan [[ekonomi]].

== Contoh sederhana ==
Contoh sistem linear yang paling sederhana adalah sistem linear dengan dua persamaan dan dua variabel:
:<math>\begin{alignat}{5}
2x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 6 & \\
4x &&\; + \;&& 9y &&\; = \;&& 15&.
\end{alignat}</math>
Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem tersebut adalah dengan mengubah persamaan pertama menjadi seperti ini:
:<math>x = 3 - \frac{3}{2}y.</math>
Kemudian masukkan nilai ''x'' ke dalam persamaan kedua:
:<math>4\left( 3 - \frac{3}{2}y \right) + 9y = 15.</math>
Hasilnya adalah satu persamaan dengan satu variabel saja, yaitu <math>y</math>. Dari persamaan ini diketahui bahwa <math>y = 1</math>, dan ''y'' bisa dimasukkan ke dalam persamaan pertama untuk mencari <math>x</math>. Hasilnya adalah <math>x = 3/2</math>.

== Bentuk umum ==
Sistem persamaan linear ''m'' dengan ''n'' yang tidak diketahui dapat ditulis seperti ini
:<math>\begin{align}
a_{11} x_1 &+ a_{12} x_2  +\cdots+ a_{1n} x_n = b_1 \\
a_{21} x_1 &+a_{22} x_2  + \cdots + a_{2n} x_n  = b_2 \\
\vdots& \\
 a_{m1} x_1 &+a_{m2} x_2  + \cdots + a_{mn} x_n  = b_ m,
\end{align}</math>
<math>x_1, x_2,\ldots,x_n</math> adalah variabel yang tidak diketahui, <math>a_{11},a_{12},\ldots,a_{mn}</math> adalah koefisiennya dan <math>b_1,b_2,\ldots,b_m</math> adalah konstantanya.
:<math>\begin{align}
a_{11} &+ a_{12}  +\cdots+ a_{1n} = b_1 \\
a_{21} &+a_{22}  + \cdots + a_{2n}  = b_2 \\
\vdots& \\
 a_{m1} &+a_{m2}  + \cdots + a_{mn}  = b_ m,
\end{align}</math>

=== Persamaan vektor ===
:<math>
 x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
 x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
 \cdots +
 x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>

=== Persamaan matriks ===
:<math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math>
:
:<math>A=B</math>
''A'' di sini adalah matriks ''m''×''n'', '''x''' adalah [[vektor kolom]] dengan entri ''n'' dan '''b''' vektor kolom dengan entri ''m''.
:
: <code><math>
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
</math></code>
:
: <code><math>

A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{B}=

\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
</math></code>

== Cara menyelesaikan ==
=== Eliminasi variabel ===
Contohnya, dalam sistem berikut:
:<math>\begin{alignat}{7}
 x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\
3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 &
\end{alignat}</math>
Berdasarkan persamaan pertama, , dan nilai ini bisa dimasukkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga:
:<math>\begin{alignat}{5}
-4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\
-2y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& -2 &
\end{alignat}</math>
Dari persamaan pertama dapat diketahui bahwa , dan jika ''y'' dimasukkan ke dalam persamaan kedua, dapat diketahui bahwa . Dari sini ''z'' dapat dimasukkan ke persamaan yang lain dan hasilnya adalah  dan . Maka dari itu, .

=== Pengurangan baris ===
Metode pengurangan baris atau [[eliminasi Gauss]] menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mewakilkan persamaan-persamaan yang ada dalam bentuk matriks:
:<math>\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & -2 & 5 \\
3 & 5 & 6 & 7 \\
2 & 4 & 3 & 8
\end{array}\right]\text{.}
</math>
Matriks ini lalu diubah dengan menukar posisi baris, menambahkan atau mengurangi satu baris dengan baris yang lain, atau mengalikan satu baris dengan skalar. Berikut adalah contohnya:
:<math>\begin{align}\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & -2 & 5 \\
3 & 5 & 6 & 7 \\
2 & 4 & 3 & 8
\end{array}\right]&\sim
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & -2 & 5 \\
0 & -4 & 12 & -8 \\
2 & 4 & 3 & 8
\end{array}\right]\sim
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & -2 & 5 \\
0 & -4 & 12 & -8 \\
0 & -2 & 7 & -2
\end{array}\right]\sim
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & -2 & 5 \\
0 & 1 & -3 & 2 \\
0 & -2 & 7 & -2
\end{array}\right]
\\
&\sim
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & -2 & 5 \\
0 & 1 & -3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right]\sim
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & -2 & 5 \\
0 & 1 & 0 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right]\sim
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 3 & 0 & 9 \\
0 & 1 & 0 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right]\sim
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0 & -15 \\
0 & 1 & 0 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right].\end{align}</math>
Dari sini dapat disimpulkan bahwa , , dan .

=== Aturan Cramer ===
'''Aturan Cramer''' adalah rumus untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dengan memakai [[determinan]] suatu matriks dan matriks lain yang disusun dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah kanan persamaannya. Sebagai contoh:
:<math>\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\
3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\
2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8 
\end{alignat}</math>
Cara menyelesaikannya adalah
:<math>
x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}.
</math>

== Bacaan lebih lanjut ==
*  
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem+persamaan+linear&oldid=27155380 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27155380 (2025-04-17T10:41:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->