Lihat sumber Teorema Bohr–van Leeuwen

'''Teorema Bohr–van Leeuwen''' menyatakan bahwa ketika [[mekanika statistik]] dan [[mekanika klasik]] diterapkan secara konsisten, rata-rata termal dari [[magnetisasi]] akan selalu bernilai nol.<ref>John Hasbrouck van Vleck menyatakan teorema Bohr–van Leeuwen sebagai "Pada suhu berapa pun yang berhingga, dan dalam semua medan listrik atau medan magnet terukur yang diterapkan, magnetisasi neto dari kumpulan elektron dalam kesetimbangan termal akan lenyap secara identik." (Van Vleck, 1932)</ref> Hal ini menjadikan magnetisme pada zat padat murni sebagai efek [[mekanika kuantum]], yang berarti bahwa fisika klasik tidak dapat menjelaskan [[paramagnetisme]], [[diamagnetisme]], dan [[ferromagnetisme]]. Ketidakmampuan fisika klasik untuk menjelaskan [[Efek tribolistrik|triboelektrisitas]] juga berakar dari teorema Bohr–van Leeuwen.<ref>Robert Alicki. [https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.125.186101 Quantum Theory of Triboelectricity]. ''Physical Review Letters''. 30 Oktober 2020. Vol. 125 (18). doi:10.1103/PhysRevLett.125.186101.</ref>

== Sejarah ==
Apa yang saat ini dikenal sebagai teorema Bohr–van Leeuwen ditemukan oleh [[Niels Bohr]] pada tahun 1911 dalam disertasi doktornya<ref>Niehls Bohr. ''Early Works (1905-1911)''. Elsevier. 1972. Vol. 1. hlm. 163, 165–393. doi:10.1016/S1876-0503(08)70015-X. ISBN 978-0-7204-1801-9.</ref> dan kemudian ditemukan kembali oleh [[Hendrika Johanna van Leeuwen]] dalam tesis doktornya pada tahun 1919.<ref>Hendrika Johanna Van Leeuwen. [https://hal.science/jpa-00204299/file/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf Problèmes de la théorie électronique du magnétisme]. ''Journal de Physique et le Radium''. 1921. Vol. 2 (12). hlm. 361–377. doi:10.1051/jphysrad:01921002012036100.</ref> Pada tahun 1932, [[John Hasbrouck van Vleck|J. H. Van Vleck]] memformalkan dan memperluas teorema awal Bohr tersebut dalam sebuah buku yang ditulisnya mengenai suseptibilitas listrik dan magnetik. Ia menyebut hasil tersebut sebagai "teorema Nona van Leeuwen", meskipun ia juga mengakui bahwa Bohr telah memperoleh banyak hasil yang sama dengan Van Leeuwen sebelum dirinya sendiri.<ref>J. H. Van Vleck. ''The theory of electric and magnetic susceptibilities''. Clarendon Press. 1932. ISBN 0-19-851243-0.</ref>

Signifikansi dari penemuan ini adalah bahwa fisika klasik tidak memungkinkan hal-hal seperti [[paramagnetisme]], [[diamagnetisme]], dan [[ferromagnetisme]], sehingga [[fisika kuantum]] diperlukan untuk menjelaskan peristiwa magnetik tersebut.<ref>Amikam Aharoni. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 Introduction to the Theory of Ferromagnetism]. Clarendon Press. 1996. hlm. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7]. ISBN 0-19-851791-2.</ref> Hasil ini, "mungkin publikasi paling deflasioner sepanjang masa,"<ref>J. H. Van Vleck. [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1977/vleck-lecture.html Nobel Lectures in Physics 1971-1980]. World Scientific. 1992. ISBN 981-02-0726-3.</ref> mungkin telah berkontribusi pada pengembangan [[Model Bohr|teori kuasi-klasik atom hidrogen]] oleh Bohr pada tahun 1913.

== Kasus paramagnetisme klasik ==
[[Fungsi Langevin]] sering kali dipandang sebagai teori klasik paramagnetisme,<ref>B. D. Cullity & C. D. Graham. ''Introduction to magnetic materials (2nd ed.)''. Wiley (IEEE press). 2009. hlm. 91–99. ISBN 978-0471-47741-9.</ref> sedangkan [[fungsi Brillouin]] merupakan teori kuantum paramagnetisme.<ref>B. D. Cullity & C. D. Graham. ''Introduction to magnetic materials (2nd ed.)''. Wiley (IEEE press). 2009. hlm. 99–113. ISBN 978-0471-47741-9.</ref> Langevin menerbitkan teori paramagnetisme pada tahun 1905<ref>Paul Langevin. [https://hal.science/jpa-00241050/file/ajp-jphystap_1905_4_678_0.pdf Sur la théorie du magnétisme]. ''J. Phys. Theor. Appl''. 1905. Vol. 4 (1). hlm. 678–693. doi:10.1051/jphystap:019050040067800.</ref><ref>Paul Langevin. [https://fr.wikisource.org/wiki/Magn%C3%A9tisme_et_th%C3%A9orie_des_%C3%A9lectrons Magnétisme et théorie des électrons]. ''Annales di chimie et di physique''. 1905. Vol. 8 (5). hlm. 68–125.</ref> sebelum diadopsinya fisika kuantum, yang berarti bahwa Langevin hanya menggunakan konsep-konsep fisika klasik.<ref>Navinder Singh. ''The story of magnetism: from Heisenberg, Slater, and Stoner to Van Vleck, and the issues of exchange and correlation''. 2018.</ref>

Meskipun demikian, [[Niels Bohr]] menunjukkan dalam tesisnya bahwa mekanika statistik klasik tidak dapat digunakan untuk menjelaskan paramagnetisme dan teori kuantum harus digunakan<ref>Navinder Singh. ''The story of magnetism: from Heisenberg, Slater, and Stoner to Van Vleck, and the issues of exchange and correlation''. 2018.</ref> (dalam hal yang kelak menjadi teorema Bohr–van Leeuwen). Hal ini kelak mengarah pada penjelasan magnetisasi yang didasarkan pada teori kuantum, seperti fungsi Brillouin yang menggunakan [[Magneton Bohr]] (<math>\mu_B</math>) dan menganggap energi suatu sistem bukanlah variabel kontinu.

Terdapat perbedaan dalam pendekatan Langevin dan Bohr karena Langevin mengasumsikan polarisasi magnetik <math>\mu</math> sebagai dasar penurunan rumus, sedangkan Bohr memulai penurunan tersebut dari gerakan elektron dan model atom (Langevin masih mengasumsikan momen dipol magnetik yang terkuantisasi dan tetap).<ref>Navinder Singh. ''The story of magnetism: from Heisenberg, Slater, and Stoner to Van Vleck, and the issues of exchange and correlation''. 2018.</ref> Hal ini diungkapkan oleh J. H. Van Vleck: "Ketika Langevin mengasumsikan bahwa momen magnetik atom atau molekul memiliki nilai tetap <math>\mu</math>, ia sedang menguantisasi sistem tersebut tanpa menyadarinya."<ref>Navinder Singh. ''The story of magnetism: from Heisenberg, Slater, and Stoner to Van Vleck, and the issues of exchange and correlation''. 2018.</ref> Hal ini membuat fungsi Langevin berada di perbatasan antara mekanika statistik klasik dan teori kuantum (baik sebagai semi-klasik maupun semi-kuantum).<ref>Navinder Singh. ''The story of magnetism: from Heisenberg, Slater, and Stoner to Van Vleck, and the issues of exchange and correlation''. 2018.</ref>

== Pembuktian ==
=== Pembuktian intuitif ===
Teorema Bohr–van Leeuwen berlaku untuk sistem terisolasi yang tidak dapat berputar. Jika sistem terisolasi tersebut diizinkan berputar sebagai respons terhadap medan magnet yang diterapkan dari luar, teorema ini tidak berlaku.<ref>Richard P. Feynman. ''The Feynman Lectures on Physics''. Basic Books. 2006. Vol. 2. hlm. 34–8. ISBN 978-0-465-02494-0.</ref> Selain itu, jika hanya ada satu keadaan [[kesetimbangan termal]] pada suhu dan medan tertentu, serta sistem diberi waktu untuk kembali ke keadaan setimbang setelah medan diterapkan, magnetisasi tidak akan terjadi.

Probabilitas bahwa sistem akan berada dalam keadaan gerak tertentu diprediksi oleh [[statistik Maxwell–Boltzmann]] berbanding lurus dengan <math>\exp(-U/k_\text{B} T)</math>, dengan <math>U</math> adalah energi sistem, <math>k_\text{B}</math> adalah [[konstanta Boltzmann]], dan <math>T</math> adalah [[Suhu termodinamika|suhu mutlak]]. Energi ini sama dengan jumlah dari [[energi kinetik]] (<math>m v^2/2</math> untuk partikel bermassa <math>m</math> dan kelajuan <math>v</math>) dan [[energi potensial]].<ref>Richard P. Feynman. ''The Feynman Lectures on Physics''. Basic Books. 2006. Vol. 2. hlm. 34–8. ISBN 978-0-465-02494-0.</ref>

Medan magnet tidak berkontribusi pada energi potensial. [[Gaya Lorentz]] pada partikel dengan [[muatan listrik|muatan]] <math>q</math> dan [[kecepatan]] <math>\mathbf{v}</math> adalah<br/>
:<math>\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),</math>
dengan <math>\mathbf{E}</math> adalah [[medan listrik]] dan <math>\mathbf{B}</math> adalah [[Medan magnet|rapat fluks magnetik]]. Laju [[Usaha (fisika)|usaha]] yang dilakukan adalah <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}</math> dan tidak bergantung pada <math>\mathbf{B}</math>. Oleh karena itu, energi tidak bergantung pada medan magnet, sehingga distribusi gerak juga tidak bergantung pada medan magnet.<ref>Richard P. Feynman. ''The Feynman Lectures on Physics''. Basic Books. 2006. Vol. 2. hlm. 34–8. ISBN 978-0-465-02494-0.</ref>

Dalam kondisi tanpa medan magnet, tidak akan ada gerak neto dari partikel bermuatan karena sistem tidak dapat berputar. Oleh karena itu, momen magnetik rata-ratanya akan bernilai nol. Karena distribusi gerak tidak bergantung pada medan magnet, momen dalam kesetimbangan termal akan tetap bernilai nol dalam medan magnet apa pun.<ref>Richard P. Feynman. ''The Feynman Lectures on Physics''. Basic Books. 2006. Vol. 2. hlm. 34–8. ISBN 978-0-465-02494-0.</ref>

=== Pembuktian yang lebih formal ===
Untuk mengurangi kerumitan pembuktian, suatu sistem dengan <math>N</math> elektron akan digunakan.

Hal ini tepat karena sebagian besar magnetisme pada zat padat dibawa oleh elektron, dan pembuktian ini dapat digeneralisasi dengan mudah untuk lebih dari satu jenis partikel bermuatan.

Setiap elektron memiliki muatan negatif <math>e</math> dan massa <math>m_\text{e}</math>.

Jika posisinya adalah <math>\mathbf{r}</math> dan kecepatannya adalah <math>\mathbf{v}</math>, elektron tersebut menghasilkan [[Arus listrik|arus]] <math>\mathbf{j} = e\mathbf{v}</math> dan sebuah [[momen magnetik]]<ref>Amikam Aharoni. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 Introduction to the Theory of Ferromagnetism]. Clarendon Press. 1996. hlm. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7]. ISBN 0-19-851791-2.</ref><br/>
:<math> \mathbf{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}.</math>

Persamaan di atas menunjukkan bahwa momen magnetik merupakan fungsi linear dari koordinat kecepatan, sehingga total momen magnetik dalam arah tertentu harus berupa fungsi linear berbentuk<br/>
:<math> \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,</math>
dengan tanda titik mewakili turunan terhadap waktu dan <math>\mathbf{a}_i</math> adalah koefisien vektor yang bergantung pada koordinat posisi <math>\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}</math>.<ref>Amikam Aharoni. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 Introduction to the Theory of Ferromagnetism]. Clarendon Press. 1996. hlm. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7]. ISBN 0-19-851791-2.</ref>

[[Statistik Maxwell–Boltzmann]] memberikan probabilitas bahwa partikel ke-n memiliki momentum <math>\mathbf{p}_n</math> dan koordinat <math>\mathbf{r}_n</math> sebagai berikut:<br />
:<math> dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)}{k_\text{B}T}\right]}d\mathbf{p}_1,\ldots,d\mathbf{p}_Nd\mathbf{r}_1,\ldots,d\mathbf{r}_N, </math>
dengan <math>\mathcal{H}</math> adalah [[Mekanika Hamiltonian|Hamiltonian]], yaitu energi total dari sistem.<ref>Amikam Aharoni. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 Introduction to the Theory of Ferromagnetism]. Clarendon Press. 1996. hlm. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7]. ISBN 0-19-851791-2.</ref>

Rata-rata termal dari fungsi <math>f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)</math> apa pun dari [[koordinat tergeneralisasi]] ini adalah<br />
:<math>\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.</math>

Dengan keberadaan medan magnet,<br/>
:<math> \mathcal{H} = \frac{1}{2m_\text{e}}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),</math>
dengan <math>\mathbf{A}_i</math> adalah [[potensial vektor magnetik]] dan <math>\phi(\mathbf{q})</math> adalah [[Potensial listrik|potensial skalar listrik]]. 

Untuk setiap partikel, komponen dari momentum <math>\mathbf{p}_i</math> dan posisi <math>\mathbf{r}_i</math> dihubungkan oleh persamaan [[Mekanika Hamiltonian]]:<br/>
:<math> \begin{align}
\dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\
\dot{\mathbf{r}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.
\end{align}</math>
Oleh karena itu,<br/>
:<math> \dot{\mathbf{r}}_i \propto \mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i,</math>
sehingga momen <math>\mu</math> merupakan fungsi linear dari koordinat momentum <math>\mathbf{p}_i</math>.<ref>Amikam Aharoni. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 Introduction to the Theory of Ferromagnetism]. Clarendon Press. 1996. hlm. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7]. ISBN 0-19-851791-2.</ref>

Momen rata-rata termal,<br />
:<math>\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},</math>
merupakan jumlah dari suku-suku yang sebanding dengan integral berbentuk<br />
:<math> \int_{-\infty}^\infty (\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i) dP, </math>
dengan <math>p</math> mewakili salah satu koordinat momentum.

Integrannya merupakan fungsi ganjil dari <math>p</math>, sehingga nilainya lenyap.

Oleh karena itu, <math>\langle\mu\rangle=0</math>.<ref>Amikam Aharoni. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 Introduction to the Theory of Ferromagnetism]. Clarendon Press. 1996. hlm. [https://archive.org/details/introductiontoth00ahar/page/6 6–7]. ISBN 0-19-851791-2.</ref>′

==Pranala luar==
* [https://web.archive.org/web/20141213123845/http://www.tcd.ie/Physics/Magnetism/Guide/understanding.php The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Bohr%E2%80%93van+Leeuwen&oldid=29470800 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29470800 (2026-07-18T04:11:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->