Lihat sumber Teorema Euclid-Euler

Dalam [[teori bilangan]], '''Teorema Euclid-Euler''' adalah [[teorema]] yang menghubungkan [[bilangan sempurna]] dengan [[bilangan prima Mersenne]]. Teorema tersebut menyatakan bahwa suatu bilangan genap adalah bilangan sempurna [[jika dan hanya jika]] bilangan tersebut memiliki bentuk umum <math>2^{p-1} \left( 2^p - 1 \right)</math>, dengan <math>2^p - 1</math> adalah [[bilangan prima]]. Teorema ini dinamai dari [[Euclid]] dan [[Leonhard Euler]], yang berturut-turut membuktikan aspek "jika" dan "hanya jika" dari teorema ini.

Terdapat [[konjektur]] yang menyatakan bahwa terdapat tak terhingga banyaknya bilangan prima Mersenne. Walaupun kebenaran konjektur tersebut masih belum diketahui, menurut teorema Euclid-Euler, hal tersebut ekuivalen dengan konjektur bahwa terdapat tak terhingga banyaknya bilangan sempurna genap. Namun, tidak diketahui juga apakah terdapat setidaknya satu bilangan sempurna ganjil.<ref>John Stillwell. [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40 Mathematics and Its History]. Springer. 2010. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8..</ref>

== Definisi, Pernyataan, dan Contoh ==
Suatu [[bilangan asli]] disebut sebagai bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan jumlahan [[pembagi]] wajarnya, yaitu bilangan yang kurang dari dan habis membagi bilangan tersebut (atau dengan kata lain, [[sisa bagi|sisa pembagiannya]] adalah <math>0</math>). Sebagai contoh, pembagi wajar dari <math>6</math> adalah <math>1</math>, <math>2</math>, dan <math>3</math>, dan karena hasil jumlahnya sama dengan <math>6</math>, maka <math>6</math> adalah bilangan sempurna.

Suatu bilangan prima disebut bilangan prima Mersenne apabila bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai <math>2^p - 1</math>, dengan <math>p</math> adalah bilangan prima. Perhatikan bahwa tidak semua <math>p</math> akan menghasilkan bilangan prima Mersenne. Misalnya, <math>2^3 - 1 = 7</math> adalah bilangan prima Mersenne, tetapi <math>2^{11} - 1 = 2047 = 23 \cdot 89</math> bukan.

Teorema Euclid-Euler menyatakan bahwa suatu bilangan asli genap adalah bilangan sempurna jika dan hanya jika bilangan tersebut memiliki bentuk umum <math>2^{p-1} \cdot M_p</math>, dengan <math>M_p</math> adalah bilangan prima Mersenne.<ref>John Stillwell. [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40 Mathematics and Its History]. Springer. 2010. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8..</ref> Bilangan sempurna <math>6</math> diperoleh dengan memilih <math>p = 2</math>, sebab <math>M_2 = 2^2 - 1</math> dan <math>2^{2-1} \cdot M_2 = 2 \cdot 3 = 6</math>, dan bilangan prima Mersenne <math>7</math> berkorespondensi (dengan cara serupa) dengan bilangan sempurna <math>28</math>.

== Bukti ==
Bukti Euler tergolong pendek<ref>John Stillwell. [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40 Mathematics and Its History]. Springer. 2010. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8..</ref> dan mengandalkan fakta bahwa [[fungsi pembagi|fungsi jumlah pembagi]] <math>\sigma</math> bersifat [[fungsi multiplikatif|multiplikatif]]; yaitu, jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah dua bilangan bulat yang [[Koprima (bilangan)|relatif prima]], maka berlaku <math>\sigma (ab) = \sigma (a) \cdot \sigma (b)</math>. Agar rumus ini dapat digunakan, semua bilangan positif yang habis membagi bilangan tersebut harus dijumlahkan, termasuk bilangan itu sendiri. Dengan menggunakan fungsi ini, suatu bilangan asli adalah bilangan sempurna jika dan hanya jika hasil jumlah dari pembaginya bernilai dua kali bilangan tersebut.

=== Syarat Cukup ===
Salah satu arah dari teoremanya (bagian yang telah dibuktikan oleh Euclid) diakibatkan langsung dari sifat multiplikatif: setiap bilangan prima Mersenne akan menghasilkan bilangan sempurna genap. Saat <math>2^p - 1</math> adalah bilangan prima, maka <math>2^{p-1}</math> dan <math>2^p - 1</math> akan relatif prima, sehingga berlaku
<math display="block">\sigma (2^{p-1} \cdot \left( 2^p - 1 \right) ) = \sigma (2^{p-1}) \cdot \sigma (2^p - 1)</math>
Perhatikan bahwa
# Pembagi positif dari <math>2^{p-1}</math> adalah <math>\left\{ 1, \, 2, \, 4, \, 8, \, \ldots, \, 2^{p-1} \right\}</math>, sehingga hasil jumlah dari pembagi bilangan <math>2^{p-1}</math> adalah [[deret geometri]] yang nilainya adalah <math>2^p - 1</math>.
# Oleh karena <math>2^p - 1</math> adalah bilangan prima, maka pembagi positifnya ialah <math>\left\{ 1, \, 2^{p-1} - 1 \right\}</math>, sehingga hasil jumlah pembagi bilangan <math>2^p - 1</math> adalah <math>2^p</math>.
Dengan menggabungkan dua hasil di atas, jika bilangan asli <math>N</math> dapat dinyatakan sebagai <math>2^{p-1} \cdot \left( 2^p - 1 \right)</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
\sigma (N) &= \sigma (2^{p-1} \cdot \left( 2^p - 1 \right)) \\
&= \sigma (2^{p-1}) \cdot \sigma \left( 2^p - 1 \right) \\
&= \left( 2^p - 1 \right) \cdot \left( 2^p \right) \\
&= 2 \cdot 2^{p-1}(2^p - 1) \\
&= 2N
\end{align}</math>
Akibatnya, bilangan asli <math>N</math> adalah bilangan sempurna.<ref>Larry Gerstein. [https://books.google.com/books?id=qK9y768b1NQC&pg=PA339 Introduction to Mathematical Structures and Proofs]. Springer. 2012. ISBN 978-1-4614-4265-3..</ref><ref>Chris K. Caldwell. [https://primes.utm.edu/notes/proofs/EvenPerfect.html A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime]. ''Prime Pages''..</ref><ref>Giancarlo Travaglini. [https://books.google.com/books?id=mIaYAwAAQBAJ&pg=PA26 Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy]. Cambridge University Press. 2014. Vol. 81. hlm. 26–27. ISBN 978-1-107-04403-6..</ref>

=== Syarat Perlu ===
Untuk membuktikan arah lainnya, misalkan diberikan suatu bilangan sempurna genap <math>N</math>. Dari informasi tersebut, maka <math>N</math> dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">N = 2^k x</math>
dengan <math>x</math> adalah bilangan ganjil. Oleh karena <math>N</math> adalah bilangan sempurna, maka berlaku
<math display="block">\begin{align}
\sigma (N) &= 2N \\
\sigma \left( 2^k x \right) &= 2 \left( 2^k x \right) \\
\sigma \left( 2^k \right) \cdot \sigma (x) &= 2^{k+1} \cdot x \\
\left( 2^{k+1} - 1 \right) \cdot \sigma (x) &= 2^{k+1} \cdot x
\end{align}</math>
Perhatikan bahwa faktor <math>2^{k+1} - 1</math> pada ruas kiri bernilai ganjil, sehingga <math>2^{k+1} - 1 \mid x</math>, satu-satunya faktor ganjil pada ruas kanan. Berdasarkan definisi dari "habis membagi", maka terdapat suatu bilangan bulat <math>c</math> sedemikian sehingga <math>c \left( 2^{k+1} - 1 \right) = x</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
\left( 2^{k+1} - 1 \right) \cdot \sigma (x) &= 2^{k+1} \cdot x \\
c \left( 2^{k+1} - 1 \right) \cdot \sigma (x) &= 2^{k+1} \cdot cx \\
x \cdot \sigma (x) &= 2^{k+1} \cdot cx \\
\sigma (x) &= 2^{k+1} \cdot c
\end{align}</math>
Oleh karena nilai <math>2^{k+1} - 1</math> tidak kurang dari <math>3</math>, maka <math>c</math> adalah pembagi wajar dari <math>x</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
\sigma (x) &= x + c + \, \text{faktor-faktor lainnya} \\
\sigma (x) &= 2^{k+1} \cdot c + \, \text{faktor-faktor lainnya} \\
2^{k+1} \cdot c &= 2^{k+1} \cdot c + \, \text{faktor-faktor lainnya} \\
\end{align}</math>

Agar persamaan di atas bernilai benar, maka tidak ada faktor lain yang habis membagi <math>x</math> selain <math>c</math> dan <math>x</math> itu sendiri, sehingga <math>c</math> haruslah <math>1</math> dan <math>x</math> adalah bilangan prima dengan bentuk umum <math>2^{k+1} - 1</math>.<ref>Larry Gerstein. [https://books.google.com/books?id=qK9y768b1NQC&pg=PA339 Introduction to Mathematical Structures and Proofs]. Springer. 2012. ISBN 978-1-4614-4265-3..</ref><ref>Chris K. Caldwell. [https://primes.utm.edu/notes/proofs/EvenPerfect.html A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime]. ''Prime Pages''..</ref><ref>Giancarlo Travaglini. [https://books.google.com/books?id=mIaYAwAAQBAJ&pg=PA26 Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy]. Cambridge University Press. 2014. Vol. 81. hlm. 26–27. ISBN 978-1-107-04403-6..</ref>

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Euclid-Euler&oldid=26189355 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26189355 (2024-08-19T12:58:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->