Lihat sumber Teorema Heine–Borel

Dalam [[analisis real]], '''teorema Heine–Borel''' menyatakan bahwa untuk sembarang [[bilangan asli]] <math>n</math>, suatu [[himpunan bagian]] <math>H</math> dari [[ruang Euklides]] <math>\mathbb{R}^n</math> adalah [[ruang kompak|himpunan kompak]] [[jika dan hanya jika]] <math>H</math> merupakan [[himpunan tertutup]] dan [[himpunan terbatas|terbatas]]. Teorema ini dinamai dari [[Eduard Heine]] and [[Émile Borel]].

== Sejarah dan Motivasi ==
Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real. Inti dari teori ini adalah konsep [[kontinu seragam]] dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap [[fungsi kontinu]] pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam. [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya.<ref>Manya Raman-Sundström. [https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_august-september-2015_122_7/page/619 A Pedagogical History of Compactness]. ''American Mathematical Monthly''. August–September 2015. Vol. 122 (7). hlm. 619–635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619.</ref> Dirichlet menggunakan pembuktian ini pada kuliah tahun 1852 yang ia selenggarakan, yang baru dipublikasikan pada tahun 1904.<ref>Manya Raman-Sundström. [https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_august-september-2015_122_7/page/619 A Pedagogical History of Compactness]. ''American Mathematical Monthly''. August–September 2015. Vol. 122 (7). hlm. 619–635. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619.</ref> [[Eduard Heine]], [[Karl Weierstrass]], dan [[Salvatore Pincherle]] kemudian menggunakan teknik serupa. Pada tahun 1895, [[Émile Borel]] adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel. Formulasi yang dia buat dibatasi hanya untuk [[peliput (topologi)|peliput]] [[himpunan terhitung|terhitung]]. Pierre Cousin (1895), [[Henri Léon Lebesgue]] (1898), dan [[Arthur Moritz Schoenflies]] (1900) memperumumnya untuk sembarang [[peliput (topologi)|peliput]].<ref>Manya Raman Sundström. ''A pedagogical history of compactness''. 2010.</ref>

== Bukti ==
=== Implikasi "hanya jika" ===
Diambil sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math>. Diketahui <math>H \subset \mathbb{R}^n</math> adalah [[ruang kompak|himpunan kompak]]. Dengan kata lain, setiap peliput [[Himpunan terbuka|buka]] dari <math>H</math> memiliki subliput berhingga. Misalkan <math>B_r (a) = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \mid d(x, \, a) < r \right\}</math> menyatakan bola berjari-jari <math>r</math> yang berpusat pada titik <math>a \in \mathbb{R}^n</math>.

==== Sifat keterbatasan ====
Akan dibuktikan bahwa <math>H</math> bersifat terbatas. Perhatikan bahwa <math>B_1 (a)</math> merupakan [[himpunan terbuka]] pada <math>\mathbb{R}^n</math>, dan
<math display="block">H \subset \bigcup_{a \, \in \, H} B_1 (a)</math>
Akibatnya, <math>\bigcup_{a \, \in \, H} B_1 (a)</math> adalah peliput buka dari <math>H</math>. Oleh karena <math>H</math> adalah [[ruang kompak|himpunan kompak]], maka terdapat suatu titik <math>a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_k \in H</math> sedemikian sehingga
<math display="block">H \subset \bigcup_{i \, = \, 1}^k B_1 (a_i) = B_1 (a_1) \cup B_1 (a_2) \cup B_1 (a_3) \cup \ldots \cup B_1 (a_k)</math>
Misalkan <math>M = \max_{i \, \neq \, j} \left\{ d(a_i, \, a_j) \right\}</math> dengan <math>i, \, j \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, k \right\}</math>. Diambil sembarang titik <math>x, \, y \in H</math>. Jika <math>P_x</math> menyatakan titik pusat dari bola yang memuat titik <math>x</math>, maka menurut [[pertidaksamaan segitiga]] :
<math display="block">d(x, \, y) \leq d(x, \, P_x) + d(P_x, \, P_y) + d(P_y, \, y) \leq 1 + M + 1</math>
Akibatnya, diameter dari <math>H</math> terbatas oleh <math>M + 2</math>

==== Sifat ketertutupan ====
Akan dibuktikan bahwa <math>H</math> bersifat tertutup melalui kontradiksi. Andaikan <math>H</math> merupakan himpunan kompak, tetapi bukan merupakan himpunan tertutup, maka terdapat suatu [[titik limit]] <math>a \not\in H</math>. Didefinisikan
<math display="block">C(r) = \left\{ x \in H \mid d(x, \, a) > r \right\}</math>
dengan <math>r > 0</math>. Perhatikan bahwa <math>C(r)</math> merupakan himpunan terbuka  pada <math>H</math>, untuk sembarang <math>r > 0</math>, dan
<math display="block">\bigcup_{r \, > \, 0} C(r) = H</math>
Akibatnya, <math>\bigcup_{r \, > \, 0} C(r)</math> merupakan peliput buka dari himpunan <math>H</math>. Sekarang perhatikan sembarang subliput hingga dari peliput tersebut, yaitu
<math display="block">\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k) = C(r_1) \cup C(r_2) \cup C(r_3) \cup \ldots \cup C(r_n)</math>
[[Tanpa mengurangi keumuman]], diasumsikan bahwa <math>r_1 \leq r_2 \leq r_3 \leq \ldots \leq r_n</math>. Berdasarkan definisi dari <math>C(r)</math>, maka himpunan di atas dapat ditulis sebagai
<math display="block">\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k) = \left\{ x \in H \mid d(x, \, a) > r_n \geq r_{n - 1} \geq \ldots \geq r_2 \geq r_1 \right\} = C(r_1)</math>
Perhatikan bahwa
* di satu sisi, himpunan <math>\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k)</math> bersifat [[Himpunan saling lepas|saling lepas]] dengan suatu [[Persekitaran (matematika)|persekitaran]] dari titik <math>a</math>, yaitu <math>B_{\varepsilon} (a)</math>, dengan <math>\varepsilon = \dfrac{1}{3} \cdot \min \left\{ r_1, \, r_2, \, r_3, \, \ldots, \, r_n \right\}</math>. Dengan kata lain, <math display="block">\left( \bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k) \right) \cap \left( B_{\varepsilon} (a) \right) = \emptyset</math>
* di sisi lain, irisan dari himpunan <math>\bigcup_{k \, = \, 1}^n C(r_k)</math> dan himpunan <math>B_{\varepsilon} (a)</math> tidaklah kosong, sebab diketahui di awal bahwa titik <math>a</math> merupakan [[titik limit]].
Hal ini jelas mustahil terjadi, sebab suatu himpunan tidak mungkin kosong sekaligus tidak kosong. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan <math>H</math> bukan merupakan himpunan tertutup) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa <math>H</math> merupakan himpunan tertutup apabila <math>H</math> adalah himpunan kompak.

Dengan argumentasi serupa, maka dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan bagian kompak <math>S</math> dari suatu [[ruang Hausdorff|ruang topologis Hausdorff]] <math>X</math> bersifat tertutup pada <math>X</math>.

=== Implikasi "jika" ===
Diambil sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math> dan sembarang [[bilangan riil]] <math>k > 0</math>. Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math> merupakan himpunan [[ruang kompak|himpunan kompak]] melalui kontradiksi.

Andaikan <math>K</math> bukan merupakan himpunan kompak, maka terdapat suatu peliput buka
<math display="block">C = \bigcup_{i \, = \, 1}^{\infty} C_i</math>
dari <math>K</math> yang tidak memiliki subliput hingga. Himpunan <math>K</math> kemudian dipartisi menjadi <math>2^n</math> subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan <math>K</math>. Jika semua <math>2^n</math> subhimpunan dari himpunan <math>K</math> masing-masing dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math>, maka himpunan <math>K</math> juga dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math> (yaitu dengan menggabungkan semua subliput hingga dari masing-masing <math>2^n</math> subhimpunan yang telah dipartisi). Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi berdasarkan asumsi di awal (bahwasanya himpunan <math>K</math> bukan merupakan himpunan kompak). Akibatnya, setidaknya salah satu dari <math>2^n</math> subhimpunan dari himpunan <math>K</math> tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math>. Misalkan subhimpunan ini dinamai <math>K_1</math>.

Dengan proses serupa, himpunan <math>K_1</math> kemudian dipartisi menjadi <math>2^n</math> subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan <math>K_1</math>. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, hal ini mengakibatkan setidaknya salah satu dari <math>2^n</math> subhimpunan dari himpunan <math>K_1</math> tidak dapat diliput oleh suatu subliput berhingga dari <math>C</math>. Misalkan subhimpunan ini dinamai <math>K_2</math>. Proses ini terus dilanjutkan, sehingga terbentuk barisan
<math display="block">K \supset K_1 \supset K_2 \supset \ldots \supset K_p \supset \ldots</math>
Perhatikan bahwa ukuran diameter dari himpunan <math>K_p</math> ialah <math>(2k) \cdot 2^{-p}</math>, yang akan menuju 0 saat nilai <math>p</math> menuju tak hingga. Misalkan didefinisikan suatu barisan <math>\langle x_m \rangle</math> dengan sifat <math>x_m \in K_m</math>, untuk setiap <math>m \in \mathbb{N}</math>. Barisan ini adalah [[barisan Cauchy]], sehingga barisan ini akan konvergen ke suatu nilai limit <math>L</math>. Oleh karena <math>x_m \in K_p</math> untuk setiap <math>m \geq p</math> dan setiap himpunan <math>K_p</math> merupakan [[himpunan tertutup]], maka diperoleh <math>L \in K_p</math> untuk setiap <math>p \in \mathbb{N}</math>.

Berdasarkan definisi dari peliput suatu himpunan, maka berlaku <math>K \subseteq C</math>. Oleh karena <math>L \in K_p</math>, maka diperoleh <math>L \in C</math>. Dengan kata lain, himpunan <math>C = \bigcup_{i \, = \, 1}^{\infty} C_i</math> meliput titik <math>L</math>. Akibatnya, terdapat suatu <math>m \in \mathbb{N}</math> sedemikian sehingga <math>L \in \bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math>. Oleh karena <math>\bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math> adalah himpunan terbuka, maka terdapat suatu <math>\varepsilon > 0</math> sedemikian sehingga <math>B_{\varepsilon} (L) \subseteq \bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math>. Jika dipilih <math>p > \, ^2 \! \log \left( \dfrac{2k}{\varepsilon} \right)</math>, maka <math>(2k) \cdot 2^{-p} < \varepsilon</math>. Akibatnya, diperoleh
<math display="block">K_p \subset B_{\varepsilon} (L) \subset \bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t} \subset C</math>
Berdasarkan hasil di atas, himpunan <math>K_p</math> memiliki setidaknya satu peliput hingga, yaitu <math>\bigcup_{t \, = \, 1}^{m} C_{i_t}</math>. Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab telah diperoleh sebelumnya bahwa setiap himpunan <math>K_p</math> tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari <math>C</math>. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan <math>K</math> bukan merupakan himpunan kompak) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math> merupakan himpunan [[ruang kompak|himpunan kompak]].

Diketahui bahwa himpunan <math>H</math> adalah [[himpunan tertutup]] dan [[himpunan terbatas|terbatas]]. Oleh karena himpunan <math>H</math> adalah himpunan terbatas, maka terdapat suatu <math>k > 0</math> sedemikian sehingga <math>H \subseteq \left[ -k, \, k \right]^n</math>. Misalkan <math>\mathcal{C}_H</math> adalah suatu peliput buka dari himpunan <math>H</math>. Oleh karena himpunan <math>H</math> adalah himpunan tertutup, maka <math>H^{\complement}</math> adalah himpunan tertutup, dan himpunan
<math display="block">\mathcal{C}_K = \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math>
adalah peliput buka dari himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math>, sebab untuk sembarang elemen <math>x \in K</math>
# Jika <math>x \in H</math>, maka <math>x \in \mathcal{C}_H</math>, sehingga diperoleh <math>x \in \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math> (sebab <math>H \subseteq \mathcal{C}_H \subset \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math>)
# Jika <math>x \not\in H</math>, maka <math>x \in H^{\complement}</math>, sehingga diperoleh <math>x \in \mathcal{C}_H \cup H^{\complement}</math> (sebab <math>H^{\complement} \subset \mathcal{C}_H \cup H^c</math>)

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan <math>K = \left[ -k, \, k \right]^n</math> merupakan himpunan kompak. Akibatnya, peliput buka <math>\mathcal{C}_K</math> memiliki suatu subliput hingga <math>\mathcal{S}_K</math> yang sekaligus meliput himpunan <math>H</math>.
<math display="block">H \subseteq K \subseteq \mathcal{S}_K \subset \mathcal{C}_K</math>
Perhatikan bahwa setiap anggota pada himpunan <math>H^{\complement}</math> bukanlah anggota dari himpunan <math>H</math>. Akibatnya, himpunan <math>H</math> dapat diliput oleh
<math display="block">\mathcal{S}_H = \mathcal{S}_K \setminus H^{\complement}</math>
yang merupakan subliput hingga dari <math>\mathcal{C}_H</math>. Oleh karena <math>\mathcal{C}_H</math> adalah sembarang peliput buka dari himpunan <math>H</math>, maka terbukti bahwa himpunan <math>H</math> merupakan himpunan kompak.

== Sifat Heine–Borel ==
Teorema Heine-Borel tidak berlaku pada [[ruang vektor topologis]] dan [[ruang metrik]] secara umum, sehingga perlu adanya istilah khusus untuk menggambarkan ruang-ruang yang memenuhi proposisi ini. Ruang-ruang ini disebut memiliki '''sifat Heine-Borel'''.

=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang metrik]] ===
Suatu ruang metrik <math>(X, \, d)</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel''' jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas<ref>Suatu himpunan A pada ruang metrik (X, \, d) dikatakan ''terbatas'' jika A termuat pada suatu bola yang berjari-jari berhingga. Dengan kata lain, terdapat suatu c \in X dan r > 0 sedemikian sehingga A \subseteq \left\{ x \in X \mid d(x, \, c) \leq r \right\}</ref> pada <math>X</math> adalah himpunan kompak.

Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik [[bilangan rasional]] (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika [[garis bilangan real]] tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.

Suatu ruang metrik <math>(X, \, d)</math> memiliki metrik Heine-Borel (yang identik lokal Cauchy dengan <math>d</math>) jika dan hanya jika ruang tersebut [[Ruang metrik lengkap|lengkap]], [[ruang kompak σ|kompak <math>\sigma</math>]], dan [[ruang kompak lokal|kompak lokal]].

=== Sifat Heine-Borel pada [[ruang vektor topologis]] ===
Suatu [[ruang vektor topologis]] <math>X</math> dikatakan memiliki '''sifat Heine-Borel'''  jika setiap himpunan tertutup dan terbatas<ref>Suatu himpunan H pada ruang vektor topologis X dikatakan ''terbatas'' jika setiap persekitaran S dari vektor nol pada X , terdapat suatu skalar \lambda sedemikian sehingga berlaku H \subseteq \lambda \cdot S</ref> pada <math>X</math> adalah himpunan kompak<ref>Jika topologi dari suatu ruang vektor topologis X dibangkitkan dari suatu metrik d , definisi ini tidak ekuivalen dengan definisi dari sifat Heine-Borel pada X sebagai suatu ruang metrik, sebab konsep dari himpunan terbatas pada X sebagai suatu ruang metrik itu berbeda dengan konsep dari himpunan terbatas pada X sebagai suatu ruang topologis. Sebagai contoh, ruang \mathcal{C}^\infty \left[ 0, \, 1 \right] dari fungsi mulus pada selang \left[ 0, \, 1 \right] yang dilengkapi dengn metrik d(x, \, y) = \sum_{k \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \cdot \dfrac{\displaystyle \max_{t \, \in \, \left[ 0, \, 1 \right]} \left| x^{(k)}(t) - y^{(k)}(t) \right|}{1 + \displaystyle \max_{t \, \in \, \left[ 0, \, 1 \right]} \left| x^{(k)}(t) - y^{(k)}(t) \right|} (notasi x^{(k)} (t) menyatakan turunan ke- k dari fungsi x \in \mathcal{C}^\infty \left[ 0, \, 1 \right] ) memiliki sifat Heine-Borel sebagai ruang vektor topologis, tetapi sebagai ruang metrik, ruang tersebut tidak memiliki sifat Heine-Borel.</ref> (R. E. Edwards menggunakan istilah ''ruang kompak terbatas''). Tidak ada [[ruang Banach]] berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), tetapi beberapa [[ruang Fréchet]] memilikinya. Misalnya, ruang <math>C^{\infty} (\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^n</math> dan ruang <math>H(\mathcal{D})</math> dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka <math>\mathcal{D} \subset \mathbb{C}^n</math>.

== Lihat juga ==
* [[Teorema Bolzano–Weierstrass]]

== Catatan ==
== Pranala luar ==
* 
* 
* [http://mathworld.wolfram.com/Heine-BorelTheorem.html Mathworld "Teorema Heine-Borel"]
* [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-analysis-of-the-first-proofs-of-the-heine-borel-theorem-lebesgues-proof "Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Heine%E2%80%93Borel&oldid=29587258 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29587258 (2026-08-16T07:48:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->