Lihat sumber Teorema Lagrange (teori grup)

[[File:Cyclic_group.svg|thumb|right|280px|Cyclic group]]

'''Teorema Lagrange''', dalam [[teori grup]], bagian dari [[matematika]], menyatakan bahwa jika  adalah [[subgrup]] dari [[grup terbatas]] , maka [[urutan (teori grup)|urutan]] dari  membagi urutan  (urutan grup adalah jumlah elemen yang dimilikinya). Teorema ini dinamai [[Joseph-Louis Lagrange]].  Varian berikut juga mengidentifikasi rasio <math>|G|/|H|</math>, sebagai [[indeks subgrup|indeks]] , didefinisikan sebagai jumlah [[kohimpunan]] kiri dari  dalam .

Varian ini berlaku meskipun  tidak terbatas, asalkan <math>|G|</math>, <math>|H|</math>, dan  ditafsirkan sebagai [[bilangan kardinal]].

== Bukti ==
[[Coset]] kiri dari  di  adalah [[kelas ekivalen]] dari [[hubungan ekivalen]] tertentu pada : khusus, panggil  dan  di  setara jika ada  di  sedemikian rupa sehingga . 
Oleh karena itu koset kiri membentuk [[Partisi himpunan|partisi]] dari .
Setiap koset kiri  memiliki kardinalitas yang sama dengan  karena <math>x \mapsto ax</math> mendefinisikan kebijaksanaan <math>H \to aH</math> (the inverse is <math>y \mapsto a^{-1}y</math>). Jumlah koset kiri adalah [[indeks subgrup|indeks]] .
Dengan tiga kalimat sebelumnya, 
:<math>\left|G\right| = \left[G : H\right] \cdot \left|H\right|.</math>

== Ekstensi ==
Teorema Lagrange dapat diperluas ke persamaan indeks antara tiga subgrup .<ref>Nicolas Bray. [https://mathworld.wolfram.com/LagrangesGroupTheorem.html Lagrange's Group Theorem]. MathWorld.</ref>

Jika kita ambil  ( adalah elemen identitas dari ), lalu  dan . Oleh karena itu kita dapat memulihkan persamaan aslinya .

== Aplikasi ==
Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa [[urutan (teori grup)|urutan elemen apa pun]]  dari grup berhingga (yaitu [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] terkecil  dengan , di mana  adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan  sama dengan urutan subgrup [[grup siklik|siklik]] [[kumpulan grup|dihasilkan]] dari . Jika grup memiliki elemen , maka grup akan mengikuti

:<math>\displaystyle a^n = e\mbox{.}</math>

Ini dapat digunakan untuk membuktikan [[teorema kecil Fermat]] dan generalisasinya, [[Teorema Euler]]. Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.

Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan [[grup sederhana|sederhana]]. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan [[teorema Wilson]], bahwa jika  adalah bilangan prima maka  adalah faktor dari <math>(p-1)!+1</math>.

Teorema Lagrange juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ada banyak [[bilangan prima]] yang tak terhingga: jika ada bilangan prima terbesar , kemudian pembagi prima  dari [[bilangan Mersenne]] <math>2^p -1</math> akan menjadi sedemikian rupa sehingga urutan  dalam [[grup perkalian]] <math>(\mathbb Z/q\mathbb Z)^*</math> (lihat [[aritmetika modular]]) membagi urutan <math>(\mathbb Z/q\mathbb Z)^*</math>, yaitu <math>q-1</math>. Karenanya , bertentangan dengan asumsi bahwa  adalah bilangan prima terbesar.<ref>Martin Aigner. ''Proofs from THE BOOK''. Springer. 2018. hlm. 3–8. ISBN 978-3-662-57264-1.</ref>

== Keberadaan subkelompok dengan urutan tertentu ==
Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup. Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas '' G '' dan pembagi '' d '' dari |''G''|, belum tentu ada subgrup '' G '' dengan urutan '' d ''. Contoh terkecil adalah ''A''<sub>4</sub> ([[grup bergantian]] dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.

"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan.  Diketahui bahwa grup CLT harus [[solvable group|solvable]] dan setiap [[grup selesaikan]] adalah grup CLT. Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya, '' A ''<sub> 4 </sub>) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya, '' S ''<sub> 4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).

Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, [[Teorema Cauchy (teori grup)|Teorema Cauchy]] menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup. [[Teorema Sylow]] memperluas hal ini hingga keberadaan subkelompok ordo yang sama dengan pangkat maksimal bilangan prima apa pun yang membagi ordo grup.  Untuk grup yang dapat dipecahkan, [[Subgrup Hall#Teorema Hall|Teorema Hall]] menegaskan keberadaan subgrup ordo yang sama dengan [[pembagi kesatuan]] mana pun dari urutan grup (yaitu, coprime pembagi untuk itu

=== Contoh kebalikan dari kebalikan dari teorema Lagrange ===
Kebalikan dari teorema Lagrange menyatakan bahwa jika  adalah [[pembagi]] dari urutan grup , maka terdapat subgrup di mana .

Jika memeriksa [[grup bergantian]] , himpunan genap [[grup Permutasi|permutasi]] sebagai subgrup dari [[Grup simetris]] .

:.

 jadi pembaginya adalah . Asumsikan sebaliknya bahwa terdapat subgrup  pada  dengan .

Misalkan  menjadi subgrup [[Cyclic group|non-cyclic]] dari  yang disebut [[Klein empat grup]].

:.

Maka . Karena  dan  adalah subgrup dari ,  juga merupakan subgrup dari .

Dari teorema Lagrange, urutan  harus membagi  dan , urutan  dan {{mvar | V} } masing-masing. Dua bilangan bulat positif yang membagi {{math | 6}} dan {{math | 4}} adalah {{math | 1}} dan {{math | 2}}. Begitu {{math|{{!}}''K''{{!}} {{=}} 1}} atau {{math|2}}.

Menganggap {{math|{{!}}''K''{{!}} {{=}} 1}}, menjadi {{math|''K'' {{=}} {{mset|''e''}}}}. Jika {{mvar | H}} tidak berbagi elemen apa pun dengan {{mvar | V}}, maka 5 elemen di {{mvar | H}} selain [[Elemen identitas]] {{mvar | e}} harus menjadi dari bentuk {{math|(''a b c'')}} di mana {{math|''a, b, c''}} adalah elemen berbeda di {{math|{{mset|1, 2, 3, 4}}}}.

Karena setiap elemen bentuk {{math|(''a b c'')}} kuadrat adalah {{math|(''a c b'')}}, dan {{math|(''a b c'')(''a c b'') {{=}} ''e''}}, any element of {{mvar|H}} dalam bentuk {{math|(''a b c'')}} harus dipasangkan dengan kebalikannya. Secara khusus, 5 elemen yang tersisa dari {{mvar | H}} harus berasal dari pasangan elemen yang berbeda di {{math|''A''<sub>4</sub>}} yang tidak ada di {{mvar | V}}. Hal ini tidak mungkin karena pasangan elemen harus genap dan tidak dapat berjumlah hingga 5 elemen. Jadi, asumsi {{math|{{!}}''K''{{!}} {{=}} 1}} salah, jadi {{math|{{!}}''K''{{!}} {{=}} 2}}.

Kemudian, {{math|''K'' {{=}} {{mset|''e'', ''v''}}}} di mana {{math|''v'' ∈ ''V''}}, {{mvar|v}} harus dalam bentuk {{math|(''a b'')(''c d'')}} di mana {{mvar|a, b, c, d}} adalah elemen yang berbeda dari {{math|{{mset|1, 2, 3, 4}}}}. Empat elemen lainnya dalam {{mvar | H}} adalah siklus dengan panjang 3.

Perhatikan bahwa coset [[Menghasilkan himpunan grup|dihasilkan]] oleh subgrup grup adalah partisi dari grup. Koset yang dihasilkan oleh subgrup tertentu bisa identik satu sama lain atau [[Disjoint sets|disjoint]]. Indeks subgrup dalam satu grup {{math|[''A''<sub>4</sub> : ''H''] {{=}} {{!}}''A''<sub>4</sub>{{!}}/{{!}}''H''{{!}}}} adalah jumlah koset yang dihasilkan oleh subkelompok itu. Karena {{math|{{!}}''A''<sub>4</sub>{{!}} {{=}} 12}} and {{math|{{!}}''H''{{!}} {{=}} 6}}, {{mvar|H}} akan menghasilkan dua koset kiri, yang satu sama dengan {{mvar | H}} dan yang lainnya, {{mvar | gH}}, yang panjangnya 6 dan menyertakan semua elemen di {{math|''A''<sub>4</sub>}} tidak termasuk {{mvar|H}}.

Karena hanya ada 2 koset berbeda yang dihasilkan oleh {{mvar | H}}, maka {{mvar | H}} harus normal. Karena, {{math|''H'' {{=}} ''gHg''<sup>−1</sup> (∀''g'' ∈ ''A''<sub>4</sub>)}}. Secara khusus, ini benar untuk {{math|''g'' {{=}} (''a b c'') ∈ ''A''<sub>4</sub>}}. Karena {{math|''H'' {{=}} ''gHg''<sup>−1</sup>, ''gvg''<sup>−1</sup> ∈ ''H''}}.

Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan {{math|''a'' {{=}} 1, ''b'' {{=}} 2, ''c'' {{=}} 3, ''d'' {{=}} 4}}. Kemudian {{math|''g'' {{=}} (1 2 3), ''v'' {{=}} (1 2)(3 4), ''g''<sup>−1</sup> {{=}} (1 3 2), ''gv'' {{=}} (1 3 4), ''gvg''<sup>−1</sup> {{=}} (1 4)(2 3)}}. Bertransformasi kembali, kita dapatkan {{math|''gvg''<sup>−1</sup> {{=}} (a d)(b c)}}. Karena {{mvar | V}} berisi semua transposisi terputus-putus dalam {{math|''A''<sub>4</sub>}}, {{math|''gvg''<sup>−1</sup> ∈ ''V''}}. Hence, {{math|''gvg''<sup>−1</sup> ∈ ''H'' ⋂ ''V'' {{=}} ''K''}}.

Karena {{math|''gvg''<sup>−1</sup> ≠ ''v''}}, kami telah menunjukkan bahwa ada elemen ketiga di {{mvar | K}}. Tapi sebelumnya kami berasumsi seperti itu {{math|{{!}}''K''{{!}} {{=}} 2}}, jadi kami memiliki kontradiksi.

Oleh karena itu, asumsi awal kita bahwa ada subgrup berorde 6 tidak benar dan akibatnya tidak ada subgrup orde 6 pada {{math|''A''<sub>4</sub>}} dan kebalikan dari teorema Lagrange belum tentu benar.
[[Q.E.D.]]

== Sejarah ==
Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan, dalam artikelnya tentang''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'',<ref>Joseph-Louis Lagrange. [https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA138 Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs]. ''Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin''. 1771. hlm. 138–254. ; see especially [https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA202#v=onepage&q&f=false pages 202-203.]</ref> bahwa jika [[polinomial]] dalam variabel {{mvar | '' n ''}} variabelnya diubah dalam semua cara {{math | '' n ''!}}, jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari {{math|''n''!}}.  (Misalnya, jika variabel {{mvar | '' x ''}}, {{mvar | '' y ''}}, dan {{mvar | '' z ''}} diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial {{math|''x'' + ''y'' &minus; ''z''}} maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: {{math|''x'' + ''y'' &minus; ''z'', ''x'' + ''z'' &minus; ''y'', dan ''y'' + ''z'' &minus; ''x''}}.  Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.) Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam [[grup simetris]] {{math|''S''<sub>n</sub>}} dari subkelompok {{mvar | '' H ''}} dari permutasi yang mempertahankan polinomial. (Misalnya {{math|''x'' + ''y'' &minus; ''z''}}, subgrup {{mvar | '' H ''}} pada {{math|''S''<sub>3</sub>}} berisi identitas dan transposisi {{math|(''x&nbsp;y'')}}.) So the size of {{mvar|''H''}} membagi {{math|''n''!}}. Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.

Dalam miliknya ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' pada tahun 1801, [[Carl Friedrich Gauss]] membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus <math>(\mathbb Z/p \mathbb Z)^*</math>, kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol [[Aritmetika modular|modulo]] {{mvar | '' p ''}}, dengan {{mvar | '' p ''}} adalah bilangan prima.<ref>Carl Friedrich Gauss. ''Disquisitiones Arithmeticae''. G. Fleischer. 1801., [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433070725894;view=1up;seq=63 pp. 41-45, Art. 45-49.]</ref>  In 1844, [[Augustin-Louis Cauchy]] proved Lagrange's theorem for the symmetric group {{math|''S''<sub>n</sub>}}.<ref>Augustin-Louis Cauchy, ''§VI. — Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées'' [Pada produk dari satu atau beberapa permutasi, dan pada sistem permutasi konjugasi] dari: ''"Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre"'' [Memoar tentang pengaturan yang dapat dibentuk dengan huruf tertentu, dan permutasi atau substitusi yang digunakan seseorang untuk berpindah dari satu pengaturan ke pengaturan lainnya] di: ''Exercises d'analyse et de physique mathématique'' [Exercises in analysis and mathematical physics], vol. 3 (Paris, France: Bachelier, 1844), [https://books.google.com/books?id=-c3fxufDQVEC&pg=PA183#v=onepage&q&f=false pp. 183-185.]</ref>

[[Camille Jordan]] akhirnya membuktikan teorema Lagrange untuk kasus [[grup permutasi]] mana pun pada tahun 1861.<ref>Camille Jordan. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433691p/f118.image.langEN Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions]. ''Journal de l'École Polytechnique''. 1861. Vol. 22. hlm. 113–194. Jordan's generalization of Lagrange's theorem appears on [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433691p/f171.image.r=Lagrange.langEN page 166.]</ref>

== Catatan ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* {{MathWorld |title=Lagrange's Group Theorem |id=LagrangesGroupTheorem |author=Bray, Nicolas }}

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Lagrange+%28teori+grup%29&oldid=28745852 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28745852 (2025-12-27T05:43:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->