Lihat sumber Teorema dimensi untuk ruang vektor

Pada [[matematika]], '''teorema dimensi untuk ruang vektor''' menyebutkan bahwa semua [[Basis (aljabar linear)|basis]] dari [[ruang vektor]] memiliki jumlah elemen yang sama. Jumlah elemen ini dapat berupa hingga atau takhingga (dengan kasus terakhir, jumlahnya adalah [[bilangan kardinal]]), dan mendefinisikan [[Ruang vektor berdimensi hingga|dimensi]] dari ruang vektor tersebut.

Secara formal, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa:

Karena sebuah basis  yang [[Kebebasan linear|bebas secara linear]], dimensi dari teorema tersebut adalah konsekuensi dari [[teorema]] berikut, yang juga berguna:

Secara khusus, jika  [[Modul yang dibangkitkan secara hingga|dibangkitkan secara hingga]], maka seluruh basisnya bernilai hingga dan memiliki jumlah elemen yang sama.

Meskipun [[Pembuktian matematika|pembuktian]] dari keberadaan dari basis pada seluruh ruang vektor pada kasus umum memerlukan [[lema Zorn]] dan sama dengan [[aksioma pemilihan]], keunikan dari basis kardinalitas hanya memerlukan [[lema ultrafilter]].<ref>P. Howard. ''Consequences of the axiom of choice''. ''Mathematical Surveys and Monographs''. 1998. Vol. 59.</ref> lema ini jauh lebih lemah, dengan [[Teorema dimensi untuk ruang vektor#Pembuktian|pembuktian]] yang diberikan di bawah, tetapi dengan mengasumsikan trikotonomi. Teorema ini dapat digeneralisasi pada [[Modul (matematika)|modul-]] untuk gelanggang  yang memiliki [[bilangan basis tak berubah]]. Pada kasus pembangkitan hingga, pembuktian hanya menggunakan argumentasi dasar dari [[aljabar]], dan tidak memerlukan aksioma pemilihan ataupun variannya yang lebih lemah.

== Pembuktian ==
Misalkan  adalah ruang vektor,  adalah himpunan [[kebebasan linear]] dari elemen , dan  adalah . Perlu pembuktian bahwa [[kardinalitas]] dari  tidak bernilai lebih besar dari .

Jika  bernilai hingga, maka hasilnya berasal dari [[lema pertukaran Steinitz]]. Jika  bernilai hingga, pembuktian yang berdasarkan teori [[Matriks (matematika)|matriks]] juga dimungkinkan.<ref>K. Hoffman. [https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0 Linear Algebra]. Prentice-Hall. 1971. (Teorema 4 pada Bab 2).</ref>

Asumsikan bahwa  bernilai [[takhingga]]. Jika  bernilai hingga, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Maka, kita asumsikan bahwa  juga bernilai tak hingga. Kita asumsikan bahwa kardinalitas dari  lebih besar dari . Kita harus membuktikan bahwa hal ini menghasilkan kontradiksi.

Dengan [[lema Zorn]], setiap himpunan independen linear terkanding pada himpunan independen linear maksimal . Maksimalitas ini menyiratkan bahwa  mengembangkan  dan maka adalah sebuah [[Basis (aljabar linear)|basis]]. Karena kardinalitas dari  bernilai lebih besar atau sama dengan kardinalitas , kita dapat mengubah  dengan . Maka, kita dapat mengasumsikan, tanpa menghilangkan generalisasi, bahwa  adalah sebuah basis.

Maka, setiap  dapat ditulis sebagai penjumlahan hingga

dengan  adalah subhimpunan dari . Karena  bernilai takhingga, maka  memiliki kardinalitas yang sama dengan . Maka  memiliki kardinalitas yang lebih kecil dari . Maka, terdapat beberapa  yang tidak muncul pada  mana pun. Nilai  yang sesuai dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , yang akhirnya dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , tanpa . Maka,  bergantung secara linear pada , yang memberikan kontradiksi yang diperlukan.

==Teorema perpanjangan kernel untuk ruang vektor==
Aplikasi ini untuk teorema dimensi kadang dikenal sebagai ''teorema dimensi''. Misalkan:

adalah [[peta linear]]. Maka,

yaitu, dimensi dari  bernilai sama dengan dimensi dari [[Rentang dari fungsi|rentang]] transformasi ditambah dengan dimensi dari [[Kernel (aljabar)|kernel]]. Lihat [[teorema kenolan peringkat]] untuk diskusi lebih lengkap.

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+dimensi+untuk+ruang+vektor&oldid=27255848 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27255848 (2025-05-11T03:38:21Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->