Lihat sumber Teorema nilai purata

'''Teorema nilai purata''' atau '''teorema nilai rata-rata''' menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana [[turunan]] (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut.<ref>"[http://demonstrations.wolfram.com/MeanValueTheorem/ Mean Value Theorem]" by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project.</ref> [[Teorema]] ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100&nbsp;km dalam satu jam, sehingga ''rata-rata'' kecepatannya dalam waktu itu adalah 100&nbsp;km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu [[laju sesaat]] mobil haruslah tepat 100&nbsp;km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460) dari [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]] dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] and [[Bhaskara II]].<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html Paramesvara] , ''MacTutor History of Mathematics archive''.</ref> Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam [[kalkulus diferensial]], dan juga salah satu teorema penting dalam [[analisis matematika]], dan esensial dalam membuktikan [[teorema dasar kalkulus]].

== Sejarah ==
Kasus khusus [[teorema]] ini pertama kali dijelaskan oleh [[Parameshvara]] (1370–1460), dari [[Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala]] di [[India]], dalam komentarnya tentang [[Govindasvāmi]] dan [[Bhāskara II]].<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html Paramesvara] , ''Arsip Sejarah Matematika MacTutor''.</ref> Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh [[Michel Rolle]] pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai [[Teorema Rolle]], dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh [[Augustin Louis Cauchy]] pada tahun 1823.<ref>Ádám Besenyei. [http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf Historical development of the mean value theorem].</ref>

== Pernyataan formal ==
: Misalkan ''f'': [''a'', ''b''] → '''R''' adalah [[fungsi kontinu]] pada selang tertutup [''a'', ''b''], and dan [[turunan|terdiferensialkan]] pada selang terbuka (''a'', ''b''), di mana  Maka terdapat suatu ''c'' dalam (''a'', ''b'') sehingga
::<math>f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.</math>

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi [[teorema Rolle]], yang menganggap ''f''(''a'') = ''f''(''b''), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa ''f'':[''a'', ''b''] → '''R''' adalah [[fungsi kontinu|kontinu]] dalam selang [''a'', ''b''], dan untuk setiap ''x'' dalam (''a'', ''b''), [[limit fungsi|limitnya]] adalah

:<math>\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan ''f'&nbsp;''(''x''). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan ''x'' ke ''x''<sup>1/3</sup>, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan <math>f(x) = e^{ix}</math> untuk semua ''x'' bernilai riil. Maka

:<math>f(2\pi) - f(0) = 0 = 0 (2\pi - 0)</math>,
sedangkan
:<math>|f '(x)| = 1</math>.

== Bukti ==
Pernyataan (''ƒ''(''b'')&nbsp;−&nbsp;''ƒ''(''a''))&nbsp;/&nbsp;(''b''&nbsp;−&nbsp;''a'') memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (''a'',&nbsp;''ƒ''(''a'')) dan (''b'',&nbsp;''ƒ''(''b'')), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi ''f'', sementara ''ƒ''&nbsp;′(''x'') memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (''x'',&nbsp;''ƒ''(''x'')). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.

Definisikan ''g''(''x'')&nbsp;= ''ƒ''(''x'')&nbsp;−&nbsp;''rx'', di mana ''r'' adalah konstanta. Karena ''ƒ'' kontinu pada [''a'',&nbsp;''b''] dan terdiferensialkan pada(''a'',&nbsp;''b''), hal yang sama juga berlaku buat ''g''. Kita sekarang ingin memilih ''r'' sedemikian sehingga ''g'' memenuhi syarat [[teorema Rolle]], yaitu

:<math>\begin{align}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\end{align}</math>

Menurut teorema Rolle, karena ''g'' kontinu, dan ''g''(''a'')&nbsp;= ''g''(''b''), terdapat suatu ''c'' dalam (''a'',&nbsp;''b'') sedemikian sehingga ''g''&nbsp;′(''c'') = 0, dan dari persamaan ''g''(''x'')&nbsp;= ''ƒ''(''x'')&nbsp;−&nbsp;''rx'' berarti

:<math>f '(c)=g '(c)+r=0+r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

seperti yang hendak dibuktikan.

== Teorema nilai purata untuk integral ==
== Pranala luar ==
*  [http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html PlanetMath: Mean-Value Theorem] 
*  [http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html Mathworld: Mean-Value Theorem]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+nilai+purata&oldid=29151363 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29151363 (2026-04-21T18:48:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->